Функции синус, косинус, тангенс, котангенс

1.

Функции синус, косинус,
тангенс, котангенс

2.

Вспомним:
0 90
с
а
a
sin
с
b
cos
c
a
tg
b
в
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике —
отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс — отношение противолежащего катета к
прилежащему.

3.

В XVIII веке Леонард Эйлер
дал современные, более
общие определения,
расширив область
определения этих функций
на всю числовую ось.
угол _ поворота
R

4.

у
1
0
х
1

5.

у
1
0
х
1

6.

y
Положительное направление
поворота:
против часовой стрелки.
47 0
497 0
O
+
x
–
3230
Отрицательное направление
поворота:
по часовой стрелке.

7.

Поворот
В т. М можем попасть,
выполнив множество
разных поворотов.
y
37 0
900
3230
M
1800
3970
00
3600
O
2700
x

8.

Р90 у
Р60
Р45
Р30
Р180
Р
1
0
х 0
1
Р270
Р360

9.

cos
у
1
P ( x; y)
у
sin
1
0
P (1;0)
х 0
1
х
1

10.

Единичная окружность
y
r=1
M(x;y)
MD
sin
OМ
у
sin
1
sin у
y
O
x
D
*
x cos OD
OМ
x
cos
1
cos х
*

11.

Единичная окружность
y
O
r=1
x
MD
tg
OD
у
tg
x
M(x;y)
sin
tg
cos
y
x ctg OD
DМ
D
x
ctg
y
cos
ctg
sin
*
*

12.

sin y
cos x
Косинус — абсцисса точки P
y
tg
Тангенс – отношение
ординаты к абсциссе
точки P x
x
Котангенс – отношение
ctgточки
абсциссы
к ординате
P y
Синус угла определяется как ордината
точки P

13.

Р90 у
Р60
1
Р45
sin
45
0,7
Р30
cos45 0,7
1
2
-1
1
sin 30
2
cos 30 0,9
Р180
Р
1
0
х 0
1
1
2
1
Р360
sin 60 0,9
1
cos 60
2
-1
Р270

14.

Запомним !
cos
tg
ctg
45
60
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
1
3
3
3
1
3
1
1
3
3
3
30
sin
3

15.

Р90 у
Р0 (1; 0)
Р90 (0; 1)
Р180
Р
1
0
х 0
1
Р360
Р180 (-1; 0)
Р270
Р270 (0;-1)

16.

sin a = y
cos a = x
y
0
sin 00 0,
0
cos 00 1,
M1(0;1)
90
sin 900 1,
0
cos 900 0,
180
M2(-1;0)
2700
0
sin 1800 0,
cos1800 1.
1800
900
M(1;0)
3600
x
O
270
0
sin 2700 1,
cos 2700 0.
360
M3(0;-1)
0
sin 3600 0,
cos 3600 1.

17.

Проверим:
180
270
0
-1
0
0
-1
0
1
0
-
0
-
0
-
0
-
0
-
sin
0
0
90
1
cos
1
tg
ctg
360

18.

Знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса
в координатных четвертях
у
у
+ +
х
1
- -
0
1
- +
+ 1
1
х
- +
+ 1
1
0
sin68 0
cos 76 0
sin 153 0
cos 236 0
sin 249 0
tg127 0
sin 315 0
ctg195 0
у
0
- +
- +
1
1
0
у
х
х

19.

Единичная окружность
1
r=1
y
x2 + y2 = 1
sin у
M(x;y)
cos х
y
O
x
x
D
cos sin a 1
2
2
Основное тригонометрическое тождество

20.

Если угол
y
sin 0 cos 0
tg 0; ctg 0
острый, то
и
I
O
x

21.

Если угол
y
тупой, то
sin 0 cos 0
tg 0; ctg 0
и
II
O
x

22.

Если угол
180 270
0
y
O
III
, то
0
sin 0
cos 0
tg 0; ctg 0
и
x

23.

Если угол
270 360
0
, то
y
0
sin 0
cos 0
tg 0; ctg 0
и
x
O
IV

24.

y
sin( ) sin
sin
O
sin( )
x
f ( x) f (x )
Функция нечетная

25.

y
cos( )
cos
cos
O
x
cos( )
f ( x)
Функция четная
f (x )

26.

sin
tg
cos
sin
sin ( ) sin
tg( )
tg
cos
cos
cos( )
f ( x) f (x )
Функция нечетная
Докажи самостоятельно
tg( ) tg
ctg( ) ctg

27.

f ( x)
f (x )
Функция четная
cos( )
f ( x) f (x )
Функция нечетная
cos
sin( ) sin
tg( ) tg
ctg( ) ctg

28.

Четность, нечетность синуса, косинуса,
тангенса, котангенса
sin( ) sin
tg ( ) tg
ctg ( ) ctg
cos( ) cos
Нечетные функции
Четная функция

29.

y
-1
Может ли абсцисса точки единичной
полуокружности иметь значения
O
1 cos 1
1
x
0,3
[ 1;1]
– 2,8
[ 1;1]
1
[ 1;1]
3
1 [ 1;1]
3
2 [ 1;1]
1
3

30.

y
Может ли ордината точки единичной полуокружности
иметь значения
1
1 sin 1
x
O
0,6
[ 1;1]
– 0,3
[ 1;1]
7 [ 1;1]
1
7
-1
[ 1;1]
1,002 [ 1;1]

31.

Периодичность тригонометрических
функций
При изменении угла на целое число оборотов
значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса
не изменяются

32.

у
sin
sin( 360 )
sin( 2 360 )
у
sin( n 360 )
cos
1
0
cos( 360 )
х
1
х
cos( 2 360 )
cos( n 360 )
tg
tg ( n 180 )
ctg
ctg ( n 180 )

33.

у
3
sin 60
2
1
cos 60
2
3
2
60
1
0
1
420 ?
sin 780
х
1
2
1
2
cos420
cos780 ?
sin
sin 780
420
sin( 60
2 360 )
sin( 60 360 )
sin 60
sin 60
3
2 23
cos 780
cos
420
360 ))
cos(
cos(60
60 2360
11
cos
cos60
60
22

34.

sin 765
cos 1110
sin( 45 2 360 )
cos(30 3 360 )
2
sin 45
2
3
cos 30
2
1
sin( 1470 ) sin 1470 sin( 30 4 360 ) sin 30
2
1
cos( 1140 ) cos1140 cos(60 3 360 ) cos 60
2
sin( 810 ) sin 810 sin( 90 2 360 ) sin 90 1
cos( 1170 ) cos1170 cos(90 3 360 ) cos 90 0

35.

Радианная мера угла
R
С
центральный угол
R – радиус
С – длина дуги
Если R = C,
то центральный угол равен
одному радиану
Радианной мерой угла называется
отношение длины соответствующей дуги
к радиусу окружности
1 рад 57

36.

180
n
n n 180
180
4
45
4
n 60
60
n 4 180 180 180 45
180
3
4
4
60
3

37.

Градусная и радианная меры углов
Угол
в
градусах
n
0 30 45 60
Угол
в
радианах
0
6
4
3
90 180 270 360
2
3
2
2

38.

sin( ) sin 22
4
4
sin 2,5 sin( 0,5 2 ) sin 0,5 sin 2 1
9
1
2
cos( ) cos( 2 ) cos( 2 ) cos 4
4
4
4
2
13
1
3
tg
tg (2 ) tg ( 2 ) tg
6
6
6
6
3
7
1
ctg ( ) ctg (2 ) ctg ( 2 ) ctg 3
3
3
3
3