Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

1. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

2. ”Особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека:

как
располагать своими
средствами для достижения
наибольшей выгоды”.
Русский математик XIX века П.Л.Чебышёв

3.

у
5
4
2
1
-7
-5
0 1
х
6

4.

у
х
-7
0
-2
-3
-4
4
6

5. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач на нахождение

наилучших, оптимальных решений
при наименьших затратах труда, в так
называемых
задачах
на
оптимизацию.
ПРИМЕР. Рекламный щит имеет форму
прямоугольника S=9 м2. Изготовьте щит в
виде прямоугольника с наименьшим
периметром

6.

y
y
y
Y= f(x)
0 а
Y= f(x)
b x
0
а
Y= f(x)
b
x
0 а
b x
Функция у = f(х) непрерывна на отрезке [a;b].
Найти наибольшее и наименьшее значение
функций, графики которых предоставлены на
рисунках.
Сделать вывод о расположении точек, в которых
функция достигает наибольшего(наименьшего)
значений

7. Выводы

1.Если функция непрерывна на отрезке, то она
достигает на нем и своего наибольшего, и своего
наименьшего значений.
2.Наибольшего
и
наименьшего
значений
непрерывная функция может достигать как на
концах отрезка, так и внутри него.
3.Если наибольшее (или наименьшее) значение
достигается внутри отрезка, то только в критической
точке.

8.

Задание 1.
Найти наибольшее и наименьшее значение
функции у = х³ - 3х² - 45х + 1 на [-4; 6]
без построения графика.

9.

Задание 2.
Найти наибольшее и наименьшее значение
функции у = х³ - 5х² + 7х на [-1; 2]
без построения графика.

10. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции у = f(x) на отрезке [a;b]

1. Найти производную f´(х)
2. Найти критические точки функции, лежащие
внутри oтрезка [a;b]
3. Вычислить значение функции у= f(x) в точках,
отобранных на втором шаге, и в точках a и b.
Выбрать среди этих значений наименьшее
( это будет унаим )и наибольшее (это будет унаиб )

11. а) если х = хо – точка максимума, то унаиб= f(xo)

Теорема.
Пусть функция у = f(x) непрерывна на
промежутке Х и имеет внутри него единуую критическую
точку х = хо.
y
Тогда:
Y= f(x)
а) если х = хо – точка максимума,
то унаиб= f(xo)
У
наиб.
0 а
хо
b
x
y
б) если х = хо – точка минимума,
то унаим= f(xo)
Y= f(x)
0 а
У наим.
хо
b
x