Алгоритмы решения дифференциальных уравнений

1.

Решение краевой задачи.
Метод стрельбы
Метод конечных разностей
Вычисление производных

2. Краевые задачи

Метод стрельбы
Суть метода заключается в многократном решении задачи Коши для
приближенного нахождения краевого решения. Пусть, нужно решить
дифуравнение 2 порядка с заданными граничными условиями:
Вместо исходной задачи формулируем задачу Коши со следующими условиями
пусть

3.

Находим значение функции
Сравниваем со значением в точке b со значением
принимаем
решение о корректировке угла наклона касательной в точке a и если
не достигнута заданная точность, находим новое значение η
Условие достижение точности
Пример

4.

5.

6.

Результаты сведем в таблицу
Гран. услов.

7.

Метод конечных разностей
Введем разностную сетку с шагом
Заменим производные разностной
аппроксимацией

8.

Y
Решая систему уравнений находим значение функции i в точках сетки
получим табулированное решение дифференциального уравнения.
Пример

9.

10.

11.

Конец раздела

12. Вычисление производных функций

Для вычисления производных численными методами используют
аппроксимацию производной.
Аппроксимацией (приближением) производной называется отношения
конечных разностей (значения ∆y, ∆x в формуле конечные в отличие от
их бесконечно малых значений в теории).
В зависимости от способа вычисления конечных разностей получаем
разные формулы для вычисления производной в одной и той же точке:
с помощью левых
разностей.
с помощью правых
разностей.
с помощью центральных
разностей

13.

С помощью этих формул можно найти производные высших порядков:

14.

Использование интерполяционных формул Ньютона
Дифференцируя этот
многочлен по
переменной х

15.

Пример. Вычислить в точке х = 0.1 первую и вторую производные
функции, заданной табл.

16.

Использование формул Лагранжа
На практике часто выгоднее выражать значения производных не через
разности, а непосредственно через значения функции в узлах. Для
получения таких формул удобно воспользоваться формулой Лагранжа с
равномерным расположением узлов
Конец раздела

17. Использование метода неопределенных коэффициентов

Использование многочлена Лагранжа в этом случае приводит
к вычислению громоздких выражений, поэтому удобнее применять
метод неопределенных коэффициентов. Он заключается в
следующем.
Искомое выражение для производной k-ro порядка в
некоторой точке х = xt представляется в виде линейной комбинации
заданных значений функции в узлах х0, x1 . . . , хп:
Решая систему уравнений получим достаточно простое
выражение для нахождения производных для 4 равноотстоящих
узлов (n=3):
Конец раздела

18. Метод Рунге-Ромберга

При аппроксимаций производных, порядок их точности возрастает с
увеличением числа узлов, что приводит к существенному возрастанию объема
вычислений и усложняется также оценка точности получаемых результатов.
Для уточнения вычислений используют метод Рунге — Ромберга. Смысл
метода – расчет выполняется с обычным и измененным шагом и по ним
находится уточненное значение.
где, h – шаг
Kh – новый шаг
P – порядок точности (Формулы правой и левой разностной производной
считаются формулами первого порядка точности, формула
центральной разностной производной считается формулой второго
порядка точности, тем самым более точными.)

19.

The end