07 OI-1

1.

2. 8. определённый интеграл

8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
8.1 Определения и свойства
8.2. Вычисление определённого интеграла
8.3. Приложения определённого интеграла

3. 8. определённый интеграл

8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
8.1 Определения и свойства
8.1.1 Определённый интеграл как предел
интегральной суммы
8.1.2 Геометрический смысл определённого
интеграла
8.1.3 Свойства определённого интеграла

4. 8.1.1 Определённый интеграл как предел интегральной суммы

8.1.1 ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ
ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ
Пусть функция y = f(x) определена на отрезке
a; b .
1) Разобьём этот отрезок на n частичных отрезков
x0 a; x0 x1 x2 ... xn ; xn b .
2) В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку ci .
f ci , i 1,2,..., n.
4) Длина каждого частичного отрезка xi xi xi 1.
5) Составим произведения f (ci ) xi .
n
6) Составим сумму из всех таких произведений S n f (ci ) xi .
3) Вычислим значение функции в ней
i 1
Сумму такого вида называют интегральной суммой.
x0
x1
x2 x3
a c1 c2
c3
xi 1
xi
ci
xn 1
xn
cn b
x

5. 8.1.1 Определённый интеграл как предел интегральной суммы

8.1.1 ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ
ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ
7) Обозначим:
d max xi длина наибольшего частичного отрезка,
xi разбиение отрезка a; b ,
d диаметр разбиения.
8) Найдём предел интегральной суммы при
n d 0 .
Пусть такой предел существует и конечен, т. е. равен некоторому
числу I.
Это число не зависит от разбиения отрезка
a; b
и от выбора точек ci .
Это число зависит от функции y = f(x) и от отрезка
a; b .

6. 8.1.1 Определённый интеграл как предел интегральной суммы

8.1.1 ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ
ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ
Определённым интегралом от функции y = f(x) на отрезке
a; b
называется число I, равное пределу интегральных сумм функции
y = f(x) при стремлении диаметра d к нулю.
n
b
i 1
a
I lim f (ci ) xi f ( x)dx
d 0
f ( x ) интегрируемая функция,
a; b промежуток интегрирования,
a нижний предел интегрирования,
b верхний предел интегрирования,
x переменная интегрирования,
f ( x ) dx подынтегральное выражение.

7. 8.1.1 Определённый интеграл как предел интегральной суммы

8.1.1 ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ
ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ
Замечание 1.
a
Если a b, то f ( x) dx 0.
a
Замечание 2.
При перестановке пределов интегрирования определённый интеграл
меняет знак на противоположный.
b
a
a
b
Если a b, то f ( x)dx f ( x)dx.
Замечание 3.
Определённый интеграл не зависит от обозначения переменной
интегрирования.
b
b
b
a
a
a
f ( x)dx f (u )du f (t )dt ...

8. 8.1.1 Определённый интеграл как предел интегральной суммы

8.1.1 ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ
ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ
Теорема. (о существовании опр. интеграла)
Если функция y = f(x) ограничена на отрезке
a; b
и непрерывна на нём всюду, кроме конечного числа точек
(в которых функция может быть даже не определена),
то она интегрируема на этом отрезке.

9. 8.1.2 геометрический смысл Определённого интеграла

8.1.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЁННОГО
ИНТЕГРАЛА
Пусть функция y = f(x) – неотрицательная непрерывная на отрезке
a; b .
Фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x),
снизу – осью Ох, с боков – прямыми x = a и x = b,
называется криволинейной трапецией.
y
a
0
y f ( x)
b
x

10. 8.1.2 геометрический смысл Определённого интеграла

8.1.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЁННОГО
ИНТЕГРАЛА
Найдём площадь криволинейной трапеции.
Пункты 1), 2), 3), 4), 5), 6) такие же, как при составлении интегральной
n
суммы
S n f (ci ) xi .
i 1
y f ( x)
y
x0
x1
x2 x3
a c1 c2
c3
xi 1
xi
ci
xn 1
cn b
xn
x

11. 8.1.2 геометрический смысл Определённого интеграла

8.1.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЁННОГО
ИНТЕГРАЛА
f (ci ),
ширина каждого прямоугольника xi ,
площадь каждого прямоугольника f (ci ) xi ,
7) Высота каждого прямоугольника
n
площадь ступенчатой фигуры
f (c ) x S .
i 1
i
i
y f ( x)
n
y
f (ci )
x0
x1
a c1 c2
x2 x3
c3
xi 1
xi
ci
xn 1
xn
cn b
x

12. 8.1.2 геометрический смысл Определённого интеграла

8.1.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЁННОГО
ИНТЕГРАЛА
8) Площадь криволинейной трапеции приближённо равна площади
ступенчатой фигуры.
Чем меньше длины частичных отрезков, тем точнее приближение.
9) Перейдём к пределу при
n (d 0)
b
n
Sкр тр lim f (ci ) xi f ( x)dx
d 0
i 1
y
y f ( x)
a
f (ci )
x0
x1
a c1 c2
x2 x3
c3
xi 1
xi
ci
xn 1
xn
cn b
x

13. 8.1.2 геометрический смысл Определённого интеграла

8.1.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЁННОГО
ИНТЕГРАЛА
Геометрический смысл:
Определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен
площади криволинейной трапеции.
y
a
0
y f ( x)
b
x

14. 8.1.3 свойства Определённого интеграла

8.1.3 СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
Теорема 1. (свойство линейности)
Константу можно выносить за знак определённого интеграла;
Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.
b
b
b
a
a
a
A f ( x) B g ( x) dx A f ( x)dx B g ( x)dx, где A, B R
Теорема 2. (свойство аддитивности)
Определённый интеграл по отрезку равен сумме интегралов по его частям.
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx, где c (a; b)
Теорема 3. (свойство монотонности)
Если f ( x) g ( x) x a; b , где a b,
b
b
a
a
то f ( x)dx g ( x)dx.

15. 8.1.3 свойства Определённого интеграла

8.1.3 СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
Теорема 4. (оценка опр. интеграла)
Если m f ( x) M x a; b , где a b,
b
то m b a f ( x)dx M b a .
yA
M
M
А
m
a
BM
y f ( x)
В
Am
0 a
Bm
b
x
S aAm Bmb S кр.тр. aABb S aAM BM b
Площадь криволинейной трапеции не меньше площади прямоугольника с
высотой m и не больше площади прямоугольника с высотой M.

16. 8.1.3 свойства Определённого интеграла

8.1.3 СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
Теорема 5. (о среднем значении)
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке
то c a; b :
y
C f c
a; b ,
b
f ( x)dx f (c) b a .
a
А
Ac
0 a
y f ( x)
Bc
В
c
S кр.тр. aABb S aAc Bcb
b
x
Площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с
высотой C = f(c).
Величина f(с) называется средним значением функции y = f(x)
на заданном отрезке.

17. 8. определённый интеграл

8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
8.2. Вычисление определённого интеграла
8.2.1 Формула Ньютона-Лейбница
8.2.2 Замена переменной в определённом интеграле
8.2.3 Формула интегрирования по частям в
определённом интеграле

18. 8.2.1 Формула Ньютона-Лейбница

8.2.1 ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
Теорема
Если F(x) – первообразная для непрерывной функции y = f(x)
на отрезке
a; b , то
b
f ( x)dx F b F a .
a
Примеры
2
1)
3
3
3
x
x 1 dx
1
sin x sin 2 x
0 cos x dx
4
2)

19. 8.2.1 Формула Ньютона-Лейбница

8.2.1 ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
Примеры
4
4
2
2
4
4
3
3
x
x
3x 3x
3
3
x
1) 3 x x 1 dx 3
x
4
4
4
4
1
1
1
3
2
4
4
4
4
3
3
3
1
3
1
3 2 3 2
2
1
4
4
4
4
3 16 3 2 3 2
3 3
33 2
2 3
2 1 12
3
4
4
4 4
2
4
3 3
33 2 3
2 1
9
9
2
2
2

20. 8.2.1 Формула Ньютона-Лейбница

8.2.1 ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
Примеры
4
sin x sin 2 x
sin x 2sin x cos x
dx
0 cos x dx 0
cos x
4
2)
4
tg x 2sin x dx ln cos x 2cos x
0
4
0
ln cos 2cos ln cos 0 2cos 0
4
4
ln
1
1
1
2
ln1 2 1 ln
2 0 2
2
2
2
ln1 ln 2 2 2 ln 2 2 2

21. 8.2.2 Замена переменной в определённом интеграле

8.2.2 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЁННОМ
ИНТЕГРАЛЕ
Теорема
Пусть y = f(x) – непрерывная функция на отрезке
a; b .
Тогда если
1) функция x = g(t) – непрерывно дифференцируема на отрезке
2) множество значений функции x = g(t) есть отрезок
3)
g a, g b,
b
то справедлива формула
f x dx f g t g t dt.
a
Пример
1
sin
x dx
1 x 2
2
a; b ,
; ,

22. 8.2.2 Замена переменной в определённом интеграле

8.2.2 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЁННОМ
ИНТЕГРАЛЕ
Пример
1
1
1
2
u
;
du
dx
dx
dx
x
du
2
1
2
x
x
x
sin
x dx поменяем пределы интегрирования:
1 x 2
2
1
uв ; xн
uн
xв
2
2
2
sin u
2
x du sin udu cosu cosu
2
x
2
cos
2
2
cos 0 1 1

23. 8.2.2 Замена переменной в определённом интеграле

8.2.2 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЁННОМ
ИНТЕГРАЛЕ
Свойства
a
1.
f x dx 0, если f x нечётная.
a
2.
a
a
a
0
f x dx 2 f x dx, если f x чётная.
Подробное доказательство этих свойств приведено в учебнике
В.П. Зайцев, А.С. Киркинский, «Математика. Часть 2.», 2014 г.,
с. 169 (Пример 10.7).
3
Примеры
1)
8 x dx
3
2)
x e
x4
2
2
x
cos xdx
нечётная
0
2 x 2 cos xdx
0
чётная

24. 8.2.3 Формула интегрирования по частям в определённом интеграле

8.2.3 ФОРМУЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ В
ОПРЕДЕЛЁННОМ ИНТЕГРАЛЕ
Теорема
Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные
на отрезке
a; b ,
то справедлива формула
Формула интегрирования по частям
в определённом интеграле
Пример (продолжение)
2) x 2 cos xdx
0
b
b
b
a
a
a
u dv uv v du.

25. 8.2.2 Замена переменной в определённом интеграле

8.2.2 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЁННОМ
ИНТЕГРАЛЕ
Пример (продолжение)
2
u
x
2)
x 2 cos xdx 2 x 2 cos xdx
dv cos xdx
0
du x 2 dx 2 xdx
v cos xdx sin x
2
2
2
2 x sin x 2 x sin xdx 2 sin 0 sin 0 2 x sin xdx
0
0
0
u x
4 x sin xdx
dv sin xdx
0
v sin xdx cos x
du x dx dx
4 x cos x cos x dx 4 cos 0 cos 0 sin x
0
0
0
4 sin sin 0 4

26. Продолжение следует...

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ...