Скалярное произведение векторов

1.

2.

Угол между векторами
b
А
В
a
a
b
a b= a
О
Лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ.
Градусную меру этого угла
обозначим буквой a
a
Угол между векторами
равен a
aи b

3.

Сумма векторов – вектор.
Разность векторов – вектор.
Произведение вектора на число – вектор.
Скалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин на косинус
угла между ними.
a b = a b cos(a b )
Скалярное произведение векторов – число (скаляр).
Скаляр – лат. scale – лестница, шкала.
Ввел в 1845г. У. Гамильтон, английский математик.

4.

Скалярное произведение в физике
F
j
Скалярное произведение векторов
встречается в физике. Например,
из курса механики известно, что
работа A постоянной силы F при
N
M
перемещении тела из точки M в
точку N равна произведению силы F и перемещения
MN на косинус угла между ними.
A = F MN cos j
A = F MN

5.

0
a b = 900
b
a b = a b cos 900 = 0
a
a
b
Если векторы
и
перпендикулярны, то
скалярное произведение векторов равно нулю.
a b = 0 , то векторы a и b
Обратно: если
перпендикулярны.
Скалярное произведение ненулевых векторов равно
нулю тогда и только тогда, когда эти векторы
перпендикулярны.
a b =0
a ^b

6.

a b < 900
>0
a b = a b cos a > 0
b
a
Скалярное произведение ненулевых векторов
положительно тогда и только тогда , когда угол между
векторами острый.
a b > 0 a b < 900

7.

a b > 900
<0
a b = a b cos a < 0
b
a
Скалярное произведение ненулевых векторов
отрицательно тогда и только тогда , когда угол между
векторами тупой.
a b < 0 a b > 900

8.

Если
a
b
a b = 00
b
1
a b = a b cos 00 = a b
a
b
a
Если
a
b
a b = 1800
-1
a b = a b cos1800 = – a b

9.

a a = 00
a
1
a a = a a cos 00 = a a = a 2
a a называется
скалярным квадратом вектора a и обозначается a 2
Скалярное произведение
Таким образом,
скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
a2 = a 2

10.

Угол между векторами.
b
ОА а ОВ b
ab a
а
Если а b, то
0
Если а b то ab 180
А
0
α
О
аb 0
В
Если а ^ b то ab 90
0

11.

Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением
двух векторов называется
произведение их длин
на косинус угла между
ними.
а
a
b
a
b
a
b
cos
a

12.

Вспомним планиметрию…
a
b a b cos
a
Если a ^ b , то
cos90 0 a b 0
0
0
a
b
Если
, то cos
a b a b
180 1
Если а b , то
a b a b
cos0 1
0
2
2
b
a
a
a
a
a
a
Если a b , то a
Скалярное произведение a a называется
скалярным квадратом вектора

13.

Косинус угла между ненулевыми
векторами
а x1;y1;z1
a
b x2;y2;z2
x
x
y
y
z
z
1
2
1
2
1
2
cos
2 2 2
2 2 2
x
y
z
x
y
z
1
1
1
2
2
2

14.

Формула скалярного произведения
векторов в пространстве.
а x1;y1;z1
b x2;y2;z2
a
b
x
x
y
y
z
z
1
2
1
2
1
2
Скалярное произведение двух векторов равно
сумме произведений соответствующих
координат этих векторов.