Скалярное произведение векторов. Вычисление углов между прямыми

1.

Скалярное произведение
векторов.
Вычисление углов между
прямыми.

2.

Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением
двух векторов называется
произведение их длин
на косинус угла между
ними.
а
b
a
b
a
b
cos

3.

Свойства скалярного произведения векторов
Для любых векторов
a, b, cи любого числа k справедливы равенства:
1
a 2 0 причем
2
a b = b a
3
(a + b) c = a c + b c
a 2 при
>0
a 0
Переместительный закон
Распределительный закон
4
(ka) b = k(a b)
Сочетательный закон

4. Скаляр – лат. scale – шкала.

Ввел в 1845 г.
У. ГАМИЛЬТОН,
английский
математик.

5.

a
b a b cos
Если
Если
Если
a b = 0
a b 0
, то
a b
- острый угол
a b 0 , то - тупой угол
, то

6. Формула скалярного произведения векторов в пространстве.

а x1 ; y1 ; z1
b x2 ; y2 ; z2
a b x1 x2 y1 y2 z1 z2
Скалярное произведение двух векторов равно
сумме произведений соответствующих
координат этих векторов.

7.

a {3; -4; 2}, b {-2; 1; 3}, c {-2;-1,5; 0}
Каким (острым, тупым или прямым) является угол между
Найдите
векторами
и ,
и ,
и
a
b bc
c a
a b = 3 (-2) + (-4) 1 + 2 3 = - 4
b c = (-2) (-2) + 1 (- 1,5) + 3 0 = 2,5
c a = 3 (-2) + (-4) (- 1,5) + 2 0 = 0
тупой
острый
прямой

8.

a {1; -1; 2}, b {-1; 1; 1}, c {5; 6; 2}
Вычислить
a c = 1 5 + (-1) 6 + 2 2 = 3
a b = 1 (-1) + (-1) 1 + 2 1 = 0
b c = -1 5 + 1 6 + 1 2 = 3
a a = 1 1 + (-1) (-1) + 2 2 = 6
b b = -1 (-1) + 1 1 + 1 1 =
3

9.

Формула скалярного произведения
векторов в пространстве.
а x1;y1;z1
b x2;y2;z2
a
b
x
x
y
y
z
z
1
2
1
2
1
2
Косинус угла между ненулевыми
векторами
x
x
y
y
z
z
1
2
1
2
1
2
cos
2 2 2
2 2 2
x
y
z
x
y
z
1
1
1
2
2
2

10.

Задача
AB 1;0; 1
Вычислить угол между векторами СD 0; 2;2
Решение
AB 1;0; 1
cos =
x
x
y
y
z
z
1
2
1
2
1
2
cos
2 2 2
2 2 2
x
y
z
x
y
z
1 1 1
2
2
2
СD 0; 2;2
| 1 0 0 ( 2) ( 1) 2 |
12 0 2 ( 1) 2 0 2 ( 2) 2 2 2
1
cos
2
60
0

11.

Найти углы между векторами.
f
a
a
d 30
c
a b = 300
b
a c = 1200
d
0
f
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектора называются
перпендикулярными,
если угол между ними равен 900.
b c
b d
b f
d f = 00

12.

Скалярное произведение в физике
F
Скалярное произведение векторов
встречается в физике. Например,
из курса механики известно, что
работа A постоянной силы F при
N
M
перемещении тела из точки M в
точку N равна произведению силы F и перемещения
MN на косинус угла между ними.
A = F MN cos
A = F MN

13.

a b = 900
b
a b = a b cos 900 = 0
a
a
b
Если векторы
и
перпендикулярны, то скалярное
произведение векторов равно нулю.
a b ,=то0 векторы
Обратно: если
перпендикулярны.
и
a
b
Скалярное произведение ненулевых векторов равно
нулю тогда и только тогда, когда эти векторы
перпендикулярны.
a b =0
a b

14.

a b < 900
>0
a b = a b cos > 0
b
a
Скалярное произведение ненулевых векторов
положительно тогда и только тогда , когда угол между
векторами острый.
a b > 0 a b < 900

15.

a b > 900
<0
a b = a b cos < 0
b
a
Скалярное произведение ненулевых векторов
отрицательно тогда и только тогда , когда угол между
векторами тупой.
a b < 0 a b > 900

16.

Угол между прямыми
р - направляющий вектор прямой а
а
р
q - направляющий вектор прямой b
- угол между прямыми
q
b
p x1 ; y1 ; z1
р
q
cos =
q x2 ; y2 ; z2
| x1 x2 + y1 y2 + z1 z 2 |
x +y +z x +y +z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2