Вычеты. Основная теорема о вычетах

1.

Вычеты
Пусть z0 C — изолированная особая точка функции f z , тогда
существует некоторая окрестность этой точки, в которой f z — аналитическая (для z0 C эта окрестность имеет вид 0 z z0 r ,
а для z0 — z r ).
Рассмотрим произвольный контур , принадлежащий такой окрестности и являющийся границей некоторой области, содержащей z0 .
В силу теоремы Коши значение интеграла
f z dz
не зависит от
вида контура , т.е. интеграл характеризует поведение функции f z
в особой точке z0 и, следовательно, может быть использован для исследования функции как некоторая числовая характеристика.
1

2.

Вычетом функции f z в изолированной особой точке z0 C называется интеграл
1
2 i
f z dz ,
где — контур, принадлежащий окрестности точки z0 и охватывающий ее.
Обход контура — положительный (для z0 C обход против часовой
стрелки, а для z0 – по часовой).
Обозначается вычет (res — residu (фр.) — вычитать):
1
res f z
z0
2 i
f z dz ,
O z0 \ z0 , O z0 : 0 z z0 r ,
1
res f z
2 i
f z dz ,
O \ , O : z r .
2

3.

Основная теорема о вычетах.
Если функция f z -аналитическая в D за исключением
конечного числа особых точек zk D , то:
n
f z dz 2 i res f z , D
k 1
zk
Обобщенная теорема о вычетах.
Сумма вычетов функции f z во всех ее особых точках,
включая бесконечно удаленную точку, равна нулю:
n
res f z res f z 0
k 1
zk
3

4.

Функция f z в окрестности изолированной особой точки
разлагается в ряд Лорана. Используя формулы для коэффициентов ряда Лорана получим следующее утверждение.
Вычет функции в изолированной особой точке равен коэффициенту c 1 при первой отрицательной степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки:
res f z c 1 , z0 C ,
z0
res f z c 1 , z0 .
4

5.

Пример 1а. Найти вычет функции f ( z )
z 2
z 2z 3
2
в ее особых точках.
Особыми точками функции f ( z ) являются точки z1 1, z2 3, z3 .
Разложения функции f ( z ) в ряд Лорана в окрестности этих точек имеют вид:
1 1
5( z 1)n
f ( z) ·
, 0 | z 1| 4;
n
2
4 z 1 n 0 4
5 1
( 1)n
f ( z) ·
n 2 ( z 3)n , 0 | z 3 | 4;
4 z 3 n 0 4
( 1)n 5·3n 1 1
f ( z)
· n , | z | 3.
4
z
n 1
Следовательно,
res f ( z ) c 1
1
1
;
4
5
res f ( z ) c 1 ;
3
4
1 5·30
res f ( z ) c 1
1 или
4
1 5
res f ( z ) res f ( z ) res f ( z ) 1. 5
3
1
4 4

6.

Пример 1б. Найти вычет функции f ( z )
z 2
( z 1) ( z 3)
2
в ее особых точках.
Особыми точками функции f ( z ) являются точки z1 1, z2 3, z3 .
Разложения функции f ( z ) в ряд Лорана в окрестности этих точек имеют вид:
1 1
5 1
5( z 1)n
f ( z) ·
·
, 0 | z 1| 4;
2
n
1
4 ( z 1)
16 z 1 n 0 16·4
5 1
( 1)n 1( n 6)
n
f ( z) ·
(
z
3)
, 0 | z 3 | 4.
n
3
16 z 3 n 0
4
Из этих разложений находим:
5
5
;
res f ( z ) c 1 .
1
3
16
16
Вычет в бесконечно удаленной точке можно найти, используя обобщенную
теорему о вычетах:
res f ( z ) c 1
res f ( z ) res f ( z ) res f ( z ) 0
3
1
9

7.

1
Пример 2. Найти вычет функции f z sin 1 в ее особых
z
точках.
Функция имеет единственную конечную особую точку z=0 .
Разложение функции в ряд Лорана в окрестности этой точки:
1
1
1
sin 1 sin1·cos cos1·sin
z
z
z
1
1
1
sin1· 1
cos1·
2
3
2! z
z z 3!
1 sin1 1
sin1 cos1·
· 2
z
2! z
Следовательно, res f ( z ) c 1 cos1 .
z 0
Так как у рассматриваемой функции других конечных особых
точек нет, то res f ( z ) cos1 .
12

8.

Вычисление вычетов
В рассмотренных выше примерах при нахождении вычетов
функции раскладывались в ряды Лорана. При этом знание типа
особой точки, в которой вычисляется вычет функции, не является
обязательным. Таким методом всегда определяется вычет
в существенно особой точке.
В случае устранимой особой точки и полюсов задачу вычисления вычета можно заменить некоторыми практически более
удобными формулами и правилами. (Вывод этих формул и правил в общем виде, связан с исследованием разложения функции
в ряд в окрестности особой точки).
13

9.

Вычисление вычетов в конечной особой точке z0
1. Если конечная особая точка z0
является устранимой особой
точкой функции f z , то res f ( z ) 0 .
z z0
2. Если z0 полюс n -го порядка функции f ( z ) , то
1
d n 1
res f ( z )
lim n 1 [ f ( z )·( z z0 )n ], z0 (n) ,
z0
(n 1)! z z0 dz
В частности, если z0 полюс 1-го порядка, то
res f ( z ) lim [ f ( z )·( z z0 )] .
z0
z z0
3. Если z0 полюс 1-го порядка функции f ( z )
( z )
, где ( z ) , ( z ) –
( z )
аналитические в точке z0 функции и ( z0 ) 0, ( z0 ) 0, ( z0 ) 0 , то
( z ) ( z0 )
res
.
z0 ( z )
( z0 )
14

10.

Вычисление вычетов в бесконечно удаленной особой точке
1. Если z – устранимая особой точкой функции f z , то
res f z c 1 lim f f z z
z
z
В частности, если z является нулем функции f z , то
res f z lim z· f z .
z
z
Следствие. Если f z
A
z
k
, k
при z , то
A, k 1;
res f z
z
0, k 2.
1
2. Если f z представима в виде f z , где
z
регулярна в точке 0 , то res f z 0 .
18
z

11.

Пример 3. Найти вычеты функции f ( z )
z 2
z 1 z 3
2
в ее особых точках.
1. z1 3 – полюс 1-го порядка, следовательно,
1
z 2
1
z 3 ( z 1)2 z 3 ( z 1)2 ( z 3)
res f 2 ( z ) res
z 3
z 2
z 3
z 2
( z 1)2
z 3
5
.
16
2. z2 1 – полюс 2-го порядка, следовательно,
1
d
d z 2
lim
f 2 ( z )·( z 1)2 lim
z 1 dz z 3
1! z 1 dz
z 3 ( z 2)
5
5
lim
lim
.
2
2
z 1
z
1
16
( z 3)
( z 3)
res f 2 ( z )
z 1
3. z3 – ноль функции, следовательно, res f 2 ( z ) lim
z
( z 2) z
z ( z 1)
2
( z 3)
0.
З а м е ч а н и е . Этот пример уже был решен ранее (см. пример 1б). Для получения
результата (без использования формул, выведенных на последних слайдах) требовалось
строить разложение в ряд Лорана (что для этой функции является весьма трудоемким
процессом). Пример показывает насколько быстрее найти вычеты для данной функции
с использованием выведенных формул. В общем случае, выбор технологии вычисления
22
определяется функцией.

12.

Пример 4. Найти вычет функции f ( z )
1
z 1 z 1
2
1
Вычет в точке z 1: res f ( z ) 2
1
z 1
z 1
2
в ее особых точках.
2z
z 2 1 z 1
1
2
Вычет в точках z i
С п о с о б 1 . res f ( z )
i
С п о с о б 2 . res f ( z )
i
1
z i z 1 2 z i
1/ z 1
z 1
2
2
1
2i i 1
2
1
2 z z 1
z i
2
z i
1
,
4
1
.
4
Вычет в бесконечно удаленной точке z :
1 1 1
С п о с о б 1 . res f ( z ) res f ( z ) res f ( z ) res f ( z ) .
i
i
1
2 4 4
С п о с о б 2 . Учитывая, что z является нулем функции f ( z ) , получим
z
res f ( z ) lim z f ( z ) lim
0 .
2
2
23
z
z z 1 z 1

13.

Пример 5*. Найти вычет функции f ( z )
1
z 1 e
2z
в ее особых точках.
Особыми точками являются z 0 и z i k , k \ 0 (корни уравнения
e2 z 1).
Точка z 0 является полюсом 2-го порядка, так как
1
1
f ( z)
2z
2
3
z 1 e
2z
2z
z 1 1 2 z
...
2!
3!
1
1
1
1
2
z
,
0
0.
2
2
2
z
4 z 8z
z
2
...
2! 3!
z
1 e 2 z 2 ze 2 z
2
res f ( z ) lim z f ( z ) lim
lim
2
2
z
z 0
z 0 1 e
z 0
0
2z
1
e
2
2z
2
1 1 2 z
o z 2 z 1 2 z z
2
2z2 o z2
1
lim
l
i
m
. 24
2
2
z 0
z 0
2
4z
2 z

14.

Покажем, что точки z i k , k \ 0 являются простыми полюсами
1
z i k
функции f ( z )
. Для этого достаточно показать, что ( z )
z 1 e2 z
z 1 e2 z
не обращается в 0 в точке z i k , k \ 0 :
z i k
w z i k
lim ( z ) lim
z
2
z i k z 1 e
z i k
lim
w 0
w
w i k 1 e
2 w i k
lim
w 0
w
w i k 1 e
2w
1
w
0.
w 0 w i k 2 w
2i k
lim
Следовательно,
res f ( z )
i k
1/ z
1 e
2z
1/ z
2e2 z
z i k
1
i
.
2i k 2 k
z i k
25