Основные теоремы о пределах

1.

Основные теоремы о пределах
Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов
функций.
Формулировка теорем, когда x x0 или x аналогичны,
поэтому будем пользоваться обозначением: lim f ( x ).
Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности)
пределов:
lim f1( x ) f2 ( x ) lim f1( x ) lim f2 ( x )
Предел произведения двух функций равен произведению
пределов:
lim f1( x ) f2 ( x ) lim f1( x ) lim f2 ( x )
Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim C f ( x ) C lim f ( x )

2.

Основные теоремы о пределах
Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел
знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
f1( x ) lim f1( x )
lim
f2 ( x ) lim f2 ( x )
lim f ( x ) 0
2
Предел степени с натуральным показателем равен той же
степени предела:
lim f ( x ) lim f ( x )
n
n
Предел показательно – степенной функции:
lim f ( x )
g(x)
lim f ( x )
lim g ( x )

3.

Вычисление пределов
Вычисление предела:
lim
f
(
x
)
A
x x
0
начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x).
Если при этом получается конечное число, то предел равен этому
числу.
3x 1
3 1 1
lim
2
2
2
x 1
x
1
Если при подстановки предельного
значения x0 в функцию f(x) получаются
выражения вида:
то предел будет равен:
C
0
C
0

4.

Вычисление пределов
Часто при подстановке предельного значения x0 в функцию f(x)
получаются выражения следующих видов:
0
;
0
; 0 ; 1 ; 0 0 ; 0 ;
Эти выражения называются неопределенности, а вычисление
пределов в этом случае называется раскрытие
неопределенности.

5.

Раскрытие неопределенностей
Раскрытие неопределенности
2x 2 3 x 1
2 2
2
2x 2 3 x 1
x
x
x
lim
lim
x
x 4 x 2
4 x 2 2x 5
2x 5
2 2
2
x
x
x
3 1
2 2
C
2 0 0 1
x
x
lim
f(x) – дробно
0 –
Если
x
2 5рациональная
4 0 0 2
функция
или
4 2
x x иррациональная дробь
необходимо разделить
числитель и знаменатель
дроби на x в старшей степени

6.

Найти пределы указанных
функций

7.

Раскрытие неопределенностей
Раскрытие неопределенности
0
0
x 2 14 x 32
0
x 2 x 16
lim
lim
2
x 2
x 2
x 6x 8
0
x 2 x 4
x 16 18
lim
9
x 2
x 4
2
Если f(x) – дробно –
рациональная
x 1 1 x 1 1
0
x 1 1 функция,
необходимо разложить
наlim
lim
Если f(x) – иррациональная
x 0
x 0
0
x
множители
числитель
и
x 1 умножить
1
дробь, x
необходимо
знаменатель дроби
числитель и знаменатель
x 1 1
1дроби на выражение,
1
lim
lim
числителю.
x 0
x 0
сопряженное
x x 1 1
x 1 1 2

8.

Найти пределы указанных
функций

9.

Раскрытие неопределенностей
Раскрытие неопределенности
2
2
lim
x
1
x
1
x
x 1 x 1 x 1 x 1
lim
x 1 x 1
2
x
lim
x
2
2
2
2
2
Умножим и разделим
2
( x 1) ( x функцию
1)
на
сопряженное
lim
2
x
2
2
выражение.
2
2
x 1 x 1
2
0
x 1 x 1
2

10.

Найти пределы указанных
функций

11.

№ варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Ф.И.О обучающегося
Аджем Юрий Сергеевич
Балабеков Балабек Исаевич
Бачиев Алексей Александрович
Бессонов Даниил Юрьевич
Вилькишов Иван Николаевич
Дагаев Ислам Лом-Алиевич
Дворниченко Евгений Сергеевич
Ильина Полина Анатольевна
Кузнецов Иван Олегович
Макшанцев Валерий Сергеевич
Москаев Артём Сергеевич
Начмутдинов Руслан Ренатович
Некрасов Алексей Юрьевич
Осокин Илья Евгеньевич
Пекуров Петр Антонович
Подколзин Александр Михайлович
Сибер Яков Михайлович
Сосновский Дмитрий Сергеевич
Столярова Анастасия Геннадьевна
Тарханова Ольга Сергеевна
Усманов Максим Александрович
Хайрулин Сергей Евгеньевич
Хамидов Алишер Туйчибоевич
Чинякин Вячеслав Викторович
Щепина Ольга Павловна

12.

https://www.kstu.kz/wpcontent/uploads/docs/restricted/lib/
portfolio/folder/rus/matematika/ryab
ushko1.pdf

13.

Первый замечательный предел
sin x
lim
1
x 0
x
Следствия:
x
lim
1
x 0
sin x
tgx
lim
1
x 0
x
x
lim
1
x 0
tgx
sin kx
lim
1
x 0
kx

14.

Первый замечательный предел
0
1 cos 4 x
2 sin 2x
sin 2 x
lim
lim
2 lim
2
2
x 0
x
0
x
0
0
x
x
x
2
2
sin 2 x 2 lim 2 sin 2 x
x 0
2 lim
2x
x 0 x
2
2
sin 2 x
2
2 2 lim
2 2 1 8
x 0
2x
2

15.

Найти пределы указанных
функций

16.

Второй замечательный предел
Вторым замечательным пределом называется равенство:
Следствия:
2.7182818284
1
x
1
lim
1
e
x
x
x e
lim
1
x
x 0
kx
1
lim
1
e
x
kx
Второй замечательный предел применяется для раскрытия
неопределенности 1 .
Другие полезные формулы:
(1 x ) 1
lim
m
x 0
x
m
ln( 1 x )
lim
1
x 0
x
ax 1
lim
ln a
x 0
x

17.

Второй замечательный предел
x 3
x 1 4
lim
lim
x
x
x 1
x 1
x 3
4
1
x 1 y
1
1
lim
y
y
x 3
4
lim
1
x
x 1
x 4 y 1; x ; y
4 y 1 3
4y
1
1
1 1
lim
y
y
y
4
4
4
1
1
1 lim 1 e 4 14 e 4
lim
y
y
y
y
y
x 3

18.

Найти пределы указанных
функций

19.

https://www.kstu.kz/wpcontent/uploads/docs/restricted/lib/
portfolio/folder/rus/matematika/ryab
ushko1.pdf

20.

Бесконечно малые функции
Функция y = f(x) называется бесконечно малой при
x x0
( x )
если
lim f ( x ) 0
x x0
x
Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми
величинами; обозначают обычно греческими буквами α, β и т. д.
Например:
sin x 0
lim
x 0
( x ) sin x - бесконечно малая функция при x 0
Теорема
Если функция y = f(x) имеет предел, равный А, то ее можно
представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(x)
lim
f
(
x
)
A
x x
0
f ( x ) A ( x )

21.

Бесконечно малые функции
Сравнение бесконечно малых
Пусть α(х), β(х) – бесконечно малые функции
Если
( x )
lim
0
x x0
( x )
то говорят, что α(х) является бесконечно малой высшего
порядка по сравнению с β(х) : o( )
Если
( x )
lim
m
x x0
( x )
( m 0)
то говорят, что α(х) и β(х) – бесконечно малые одного и того
же порядка.
Если
( x )
lim
1
x x0
( x )
то α(х) и β(х) – эквивалентные
бесконечно малые ~

22.

Бесконечно малые функции
Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно
малых при x 0
m
sin x ~ x;
e x 1 ~ x;
1 x 1 ~ mx
;
x
tgx ~ x;
a 1 ~ x ln a;
x2
1 cos x ~ .
arcsin x ~ x; ln x 1 ~ x;
2
arctg x ~ x; loga x 1 ~ x loga e;
sin x
0
lim
x 0 4
0
1 x 1
x
lim
4
x 0
0.25 x
sin x ~ x
1
1
1 x 4 1 ~ x
4