Поле в резонаторе

1.

ПОЛЕ В РЕЗОНАТОРЕ

2.

ПОЛЕ В РЕЗОНАТОРЕ
Идеальный резонатор
Реальный резонатор
Основные механизмы потерь в резонаторе
Добротность резонатора
Уравнения для амплитуд мод поля в резонаторе

3.

ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИДЕАЛЬНОГО
РЕЗОНАТОРА
S2
S1
S1
z
Идеальный резонатор состоит из двух металлических зеркал,
обозначенных как S1 и диэлектрического цилиндра S2.
В идеальном резонаторе полагается, что зеркала являются
идеально отражающими и на границе S2 также происходит
полное отражение. В этом случае граничные условия имеют
вид
nE = 0, nH = 0
S1
S2

4.

МОДЫ РЕЗОНАТОРА
• Собственные моды пустого резонатора определяются
решением следующих уравнений с вышеприведенными
граничными условиями
1 H
1 E
rot E = −
, rot H =
.
c t
c t
• Как мы отмечали выше, в вакууме B = H. Однако
граничные условия в среде записываются для
тангенциальных компонент векторов напряженности
полей, поэтому не нарушая общности мы будем
использовать уравнения для H.
• Пусть En и Hn есть собственные решения краевой задачи
rot En = −ikn H n , rot H n = ikn En .

5.

МОДЫ РЕЗОНАТОРА
• Собственные моды являются ортонормированными
( )
( )
E
r
E
n ( ) m ( r ) dV = nm
V
( )
( )
H
r
H
(
)
m ( r ) dV = nm
n
V
• Разложим поле в резонаторе по собственным модам
E ( r , t ) = en ( t ) En ( r ), H ( r , t ) = hn ( t ) H n ( r )
n
• Преобразуем уравнения к виду
1 2 E
rot rot E = − 2 2 ,
c t
1 2H
rot rot H = − 2 2 .
c t
n

6.

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ АМПЛИТУД МОД ПОЛЯ
В ИДЕАЛЬНОМ РЕЗОНАТОРЕ
• Подставляя в первое из этих уравнений вышеприведенные
разложения, получаем
en ( t ) + kn2c 2en ( t ) = 0
или
где
en ( t ) + n2en ( t ) = 0
n = knc
• Аналогично, используя второе уравнение, получаем
hn ( t ) + n2 hn ( t ) = 0
• Как видно, отдельные моды поля гармонически меняются
во времени. Однако, если собственные частоты не
являются кратными, то суперпозиционное поле, оставаясь
периодическим, может быть не гармоническим.

7.

РЕАЛЬНЫЙ РЕЗОНАТОР
• Граничные условия в реальном резонаторе отличаются от
граничных условий идеального, поскольку:
➢ коэффициент отражения равен единице только для
сверхпроводящих зеркал, в любом металлическом зеркале
есть поглощение;
➢ одно из зеркал лазера всегда является полупрозрачным;
➢ резонатор оптического лазера является открытым, поэтому
диэлектрической границы нет, поэтому через определенное
число проходов ширина пучка основной поперечной моды
становится больше поперечных размеров зеркала.
• Полагая, что эти отличия невелики, разложим поле в
реальном резонаторе по собственным модам идеального
E ( r , t ) = en En ( r ), H ( r , t ) = hn H n ( r )
n
n
• Граничные условия в реальном резонаторе мы обсудим чуть
позже.

8.

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ АМПЛИТУД МОД
• Используя собственные функции идеального резонатора, из
первого уравнения системы уравнений Максвелла получаем
1
H
V H n rot EdV = − c V H n t dV
• Воспользуемся следующим векторным равенством
div AB = B rotA − A rotB
тогда
1 dhn
V E rotH n dV + V div EH n dV = − c dt
• Отметим, что
div EH dV = EH dS = H nE dS + E H n dS
n
V
• Итак
n
S
n
S1
dhn
+ i n en = −c H n nE dS
dt
S1
n
S2

9.

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ АМПЛИТУД МОД
• Аналогично, из уравнения
1
E
V En rot HdV = c V En t dV
получаем
den
+ i n hn = c En nH dS
dt
S2
• Окончательно, для амплитуд e’ получаем
d 2 en
d
2
+ n en = −ic n nE H n dS + c nH En dS
2
dt
dt S2
S1
• В идеальном резонаторе правая часть была равна нулю,
поскольку каждая мода есть решение краевой задачи с
однородными граничными условиями.
• Динамика мод в реальном резонаторе зависит от вида
граничных условий.

10.

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
• Таким образом, для получения замкнутой системы уравнений
для амплитуд мод поля в реальном резонаторе нам необходимо
знать граничные условия для реального резонатора.
• В качестве граничных условий на металлических поверхностях
можно взять приближенные граничные условия Леонтовича
где
nE = Z H
Z=
S1
S1
• Подставляя это соотношение в первое слагаемое правой части
последнего уравнения, получаем
I1 = −ic n nE H n dS = −ic n Z HH n dS = −ic n Z hm H m H n dS
S1
S1
• Отметим, что из условия
( )
( )
H
r
H
(
)
m ( r ) dV = nm
n
V
не следует, что
( )
( )
H
r
H
(
)
m ( r ) dS = nm
n
S
m
S1

11.

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ АМПЛИТУД МОД
• Выше мы получили следующее соотношение
1 den
c
hn =
+
En nH dS
i n dt i n S2
• Полагая, что параметры выбранного нами идеального
резонатора близки к значениям параметров реального
резонатора, мы можем пренебречь вторым слагаемым.
dem
I1 = −ic n Z hm H m H n dS = −cZ
H m H n dS
m
m dt S1
S1
• Отметим, что сумма в правой части содержит два
принципиально разных слагаемых
dem
den
dem
m dt H m H n dS = dt H n H n dS + m n dt H m H n dS
( )
S1
S1
S1
• Подставляя это выражение в вышеприведенные формулы,
получаем
d 2 en n den
dem
2
+
+ n en = −cZ
H m H n dS + I 2
2
dt
Qn dt
m( n ) dt S1

12.

ДОБРОТНОСТЬ МОДЫ
• Таким образом, мы видим, что поверхностные интегралы,
появляющиеся в правых частях уравнений для амплитуд мод,
приводят к следующим физическим следствиям:
➢ Во-первых, появляется межмодовая связь, т.е. амплитуда каждой
моды начинает зависеть от значения амплитуд остальных мод;
➢ Во-вторых, ввиду указанной связи амплитуда каждой из мод начинает
затухать во времени, поскольку если мы возбудили лишь одну моду
резонатора, то она начинает отдавать энергию в соседние моды.
• Как видно, добротность моды, обусловленная конечным значением
проводимости зеркал резонатора лазера, определяется выражением
kn
Qn = H n H n dS
Z S1
• Отметим, что если
H H dS 0
n
m
S1
то моды n и m не являются связанными.
−1

13.

МЕЖМОДОВЫЙ ОБМЕН
• Итак, мы видим, что конечное значение коэффициента
отражения зеркал приводит к конечному значению
ширины линии в резонаторе
n-1
n
n+1
n = n/Qn

14.

ДИФРАКЦИЯ
• Появление интеграла I2 связано с
тем, что «диэлектрическая» граница
S2 является воображаемой.
Излучение, достигшее этой границы
в реальном резонаторе, покидает
его.
• Поперечный размер активного тела
лазера, как правило, много меньше
диаметра зеркал резонатора. Однако
в процессе многократных отражений
генерируемого пучка в резонаторе
лазера поперечный размер
генерируемой моды увеличивается в
результате дифракции и, рано или
поздно, становится больше
поперечного размера зеркал.
Потери
Зеркало
Межмодовая связь

15.

РЕАЛЬНЫЙ РЕЗОНАТОР
• Таким образом, отличие граничных условий в реальном
резонаторе от идеальных приводит к двум основным
эффектам:
• Во-первых, появляются энергетические потери:
омические и дифракционные.
• Во-вторых, появляется межмодовая связь, приводящая к
тому, что энергия из одной моды резонатора расходуется
на возбуждение соседних мод резонатора.
• Оба этих явления имеют единую причину:
➢ конечная проводимость и/или конечный коэффициент
отражения зеркал резонатора лазера,
➢ конечный поперечный размер зеркал.
• Если мы хотим осуществить режим одномодовой
генерации с высокой интенсивностью, то оба эти явления
являются негативными и нам нужно найти пути
ослабления их влияния.

16.

КОНЕЧНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
• Омические энергетические потери, можно уменьшить только
использованием высокопроводящих материалов для
изготовления зеркал. В методах ультра-прецизионной
оптической спектроскопии приходится использовать
сверхпроводящие зеркала.
• Конечная проводимость зеркал приводит к двум механизмам
межмодовой связи:
➢ Конечная проводимость обуславливает появление
индукционных токов в зеркалах и профиль отраженного поля
при этом может не совпадать с профилем падающего, это
является причиной связи поперечных мод.
➢ Межмодовое расстояние в резонаторе 0 = с/L, где L его
длина. Ширина линии в резонаторе определяется
выражением n = n/Qn. Для ослабления связи продольных
мод лазера необходимо использовать резонатор, для которого
0 >> n .

17.

ДИФРАКЦИОННЫЕ ПОТЕРИ
• Для уменьшения дифракционных потерь, естественно, нужно,
чтобы поперечный размер активной среды был значительно
меньше размеров зеркал.
• Однако в результате многочисленных проходов излучения по
резонатору лазера размер пучка неизбежно растет. В теории
дифракции вводится понятие дифракционной длины ld = d 2/ .
• С другой стороны, длина пути проходимого квантом света в
резонаторе зависит от его добротности, определяющейся
коэффициентом отражения R зеркал. В случае
высокодобротных резонаторов длина пробега определяется
выражением lt = L/(1- R).
• Таким образом, для подавления дифракционных потерь и
дифракционной связи мод необходимо, чтобы выполнялось
условие
ld lt

18.

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ АМПЛИТУД МОД
• Таким образом, если мы выполнили все условия,
позволяющие уменьшить межмодовую связь, то уравнение
эволюции каждой из мод становится независимым от
амплитуды других мод резонатора и имеет вид
d 2 en n den
2
+
+
n en = 0
2
dt
Qn dt
где
1
1
1
1
=
+
+
Q QS Qd QV
• Отдельные слагаемые в последнем выражении отвечают
следующим механизмам: QS – потери в зеркалах резонатора
лазера (омические плюс конечное значение коэффициента
отражения выходного зеркала); Qd – дифракционные потери
в резонаторе; QV – объемные потери в активном элементе.