2. КОНУС

1. Конус, его элементы и сечения плоскостью.

2. Конус

Латинское слово «conus»
заимствовано из греческого языка
(konos - втулка, сосновая шишка)…

3. Конус

Зададим плоскость α и точку S вне этой плоскости. В плоскости α
расположим окружность некоторого радиуса. Проведем прямые
проходящие через точку S и все точки окружности. Поверхность,
образованная отрезками с концами на окружности и в точке S образуют
коническую поверхность.
Круговым конусом называется
тело ограниченное кругом –
основанием конуса, и конической
S
поверхностью,
образованной
отрезками, соединяющими точку,
вершину конуса, со всеми точками
окружности,
ограничивающей
основание конуса.
α

4. Элементы конуса.

Латинское слово
«conus»
заимствовано из
греческого языка
(konos - втулка,
сосновая шишка)

5.

Круговой конус называется прямым, если его высота попадает
в центр круга.
Круг – это основание конуса.
S
Точка вне круга, с которой соединяются все
точки окружности – это вершина конуса (S).
Прямая проходящая через центр круга и
вершину конуса – есть ось конуса (SO)
O
А
R
В
Отрезок соединяющий вершину с любой
точкой окружности основания – это
образующая конуса (SA, SB).
Радиус основания – это радиус конуса (R)
Высота конуса – это перпендикуляр SO,
опущенный из вершины конуса к основанию.

6. Все образующие конуса равны между собой и составляют один угол с основанием.

SOA SOB
SA SB l
SAO SBO

7.

?
• Чему равен угол
между
образующей и
основанием
конуса, если
известен угол
между высотой
и образующей.
650

8.

• Конус можно
получить, вращая
прямоугольный
треугольник вокруг
одного из катетов.
При этом осью
вращения будет
прямая, содержащая
высоту конуса. Эта
прямая так и
называется – осью
конуса.

9. Задача 1-а.

Дано: конус,
r = 4 cм
L=5 cм
h=?
Решение:
h2=L2-r2=25-16=9
h= 3см
Ответ: 3см.

10. Задача 1-б.

Дано:
Конус,
h=15 см,
r=8см
Найти: L-?
Решение:
L2= h2 + r2
L2 =225+64=289
L=17см
Ответ: 17 см

11. Задача 2.

12. Задача 3.

13. Задача 4.

14.

?
• Конус получен при
вращении
прямоугольного
треугольника
S = 14. Радиус
основания конуса
равен 4.
Определите
высоту этого
конуса.
7

15. Сечения конуса

• Если через
вершину конуса
провести
плоскость,
пересекающую
основание, то в
сечении
получится
равнобедренный
треугольник.

16. Сечения конуса.

Осевое сечение – сечение
конуса, проходящее через ось.
Плоскость сечения содержит ось
конуса
и
перпендикулярна
основанию, в сечении –
равнобедренный треугольник.
• В
основании
осевого
сечения лежит диаметр –
максимальная
хорда,
поэтому угол при вершине
осевого сечения – это
максимальный угол между
образующими
конуса.
(Угол при вершине конуса).
SKL осевое сечение
KL 2 R диаметр
KSL 2 угол при вершине конуса.

17.

?
• Найдите
площадь осевого
сечения, если
известны радиус
основания
конуса и
образующая.
30

18.

Сечения конуса.
• Любое сечение конуса
плоскостью,
параллельной
основанию, - это круг.

19.

?
• Через середину
высоты конуса
провели
плоскость,
перпендикулярную
оси, и получили
круг R = 5. Чему
равна площадь
основания конуса?
100π

20.

21. Задача 5. Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найти площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен 5

см.

22. Задача 6.

23.

Конические сечения
1) Если плоскость пересекает все
образующие конической поверхности,
то в сечении получается эллипс.
2) Если плоскость сечения
параллельна одной из образующих, то
в сечении получается парабола.
3) Если плоскость сечения пересекает
обе полости конической поверхности,
то в сечении получается гипербола.

24. Применение конических сечений

широко используются в оптических приборах
(прожекторах);
архитекторы используют для создания
поразительных звуковых эффектов: «говорящих»
бюстов, «мистического» шепота»,
«потусторонних» звуков;
по эллиптическим, параболическим или
гиперболическим орбитам движутся тела в поле
тяготения.

25. Площадь поверхности конуса

Для вывода формулы площади полной поверхности конуса потребуется
его развертка.
Полная поверхность состоит из
основания и боковой поверхности.
l
l
2 R
R
R
Получаем, Sполн = Sбок + Sосн = Rl + R2
Площадь основания
находим как площадь
круга S = R2
R – радиус основания
цилиндра
Боковая поверхность
конуса есть …сектор.
Sполн = R ( l+ R )

26.

?
• Пусть конус
будет получен от
вращения
прямоугольного
треугольника с
известными
катетами.
Найдите боковую
поверхность
этого конуса.
20π

27. Задача 7. Во сколько раз увеличится боковая поверхность конуса, если его образующая увеличится вдвое, а радиус основания

одновременно увеличится в 3 раза?
2l
l
R
3R
Sбок = Rl
Ответ: площадь боковой
поверхности увеличится в 6 раз.
Sбок = 3R2l = 6 Rl
Задача 8. Вычислите площадь боковой и полной поверхностей конуса,
длина образующей которого равна 10 см, а радиус основания 3 см.
10
3
Sосн = R2 = · 32 = 9 (см2)
Sбок = 3·10 = 30
(см2)
Sполн = 39 (см2)
Ответ: 30 см2, 39 см2

28. Задача 9.

Коническая крыша башни имеет диаметр 6 м и высоту 2 м. сколько
листов кровельного железа потребуется для этой крыши, если размер
листа 0,7 м x 1,4 м, а на швы и обрезки тратится 10% от площади крыши.
1,4 м
0,7 м
2м
2
l
3
1) Вычислим площадь листа кровельного железа
0,7 · 1,4 = 0,98 м2
2) вычислим радиус, конуса R = 0,5 d= 0,5 · 6 = 3 (м),
h– высота конуса, h = 2 м.
3) Образующую конуса найдем по теореме Пифагора
l R 2 h2 32 22 13
4) Sбок = Rl = ·3 · √13 = 3√13 (м2)
Sматериала = 3√13 + 0,1 · 3√13 = 3,3√13 (м2)
Sматериала ≈ 37,36 м2
5) Вычислим количество листов кровельного железа
37, 36 : 0,98 = 38,12 ≈ 39
Ответ: количество листов равно 39 штук.

29. Задача 10.

Сколько м2 ткани потребуется для пошива шатра цирка «Шапито»,
если диаметр шатра составляет 32 м, а высота 22 м, причем высота
крыши равна 12 м? Добавить 5% ткани на швы и отходы.
12
l
16
Шатер представляет собой конус и цилиндр.
Ткань нужна только для боковых поверхностей
этих тел.
12м
Сделаем предварительные расчеты
1) вычислим радиус, он одинаков для
цилиндра и конуса R = 0,5 d= 0,5 · 32 = 16 (м),
22 -12 = 10 м
2) H – высота конуса, h – высота цилиндра
H = 12 м, h = 10 м.
3) Образующую конуса найдем по теореме
Пифагора:
l R 2 H 2 16 2 12 2 400 20 м
Sбок .цил = 2 Rh = 2 ·16·10 = 320 (м2)
Sбок .кон = Rl = ·16 · 20 = 320 (м2)
Sполн = 640 + 0,05 · 640 = 672 (м2)
Ответ: 672 м2 ≈ 2110,08 м2 ткани

30. Самостоятельно

31.

32. Объем конуса.

Теорема. Объем конуса равен одной трети
произведения площади основания на высоту.
R – радиус основания
Н – высота конуса
1
Vкон. R 2 H
3

33. Задача 11. Высота конуса равна 12 см, образующая равна 13 см. Найти объем конуса.

1
Vкон. 52 12 100 300
3

34.

?
• Найдите объем
конуса, если
радиус его
основания равен
трем, а
образующая
равна пяти.
12π

35.

Задача 12 (по желанию)
Дано:
SABC – пирамида,
вписанная в конус
SA = 13, AB = 5,
‫ ے‬ACB = 300.
Найти: Vконуса

36. 1) Найдем радиус конуса по теореме синусов.

5
2R
0
sin 30
1
0
sin 30
2
R 5

37. 2) У пирамиды, вписанной в конус, высота равна высоте конуса и попадает в центр описанной окружности. Найдем высоту пирамиды.

Из SOB :
SB R H
2
2
2
H SB R 12
2
2

38. 3) Определим объем конуса.

1
2
Vкон. R H
3
1
2
Vкон. 5 12 100
3

39. Усечённый конус

Усеченным конусом
называется
часть
конуса, ограниченная
его
основанием
и
сечением,
перпендикулярным к
его оси.

40. Усечённый конус

41.

42.

Площадь боковой поверхности
усечённого
конуса
равна
произведению полусуммы длин
окружностей
оснований
на
образующую:
Sбок = π (r + R) l
Площадь полной поверхности усечённого конуса :
Sпол= πl (R+r)+πR2+ πr2
Объём усечённого конуса, высота которого равна h, а
площади оснований равны S и S1 :

43.

ЗАДАЧА 1.

44.

ЗАДАЧА 2.

45. ЗАДАЧА 3.