10-15_Неопределённый интеграл

1.

Неопределённый интеграл

2. ЭПИГРАФ

Здесь что? Мысль роль мечты играла,
Металл ей дал пустой рельеф;
Смысл — там, где змеи интеграла
Меж цифр и букв, меж d и f!
В. Брюсов

3.

Возникновение задач интегрального
исчисления связано с нахождением
площадей и объемов. Ряд задач такого
рода был решен математиками древней
Греции. Труды Архимеда, впервые
изданные в 1544 (на латинском и
греческом языках), стали привлекать
широкое внимание, и их изучение
явилось одним из важнейших отправных
пунктов
развития
интегрального
исчисления.

4.

Математики XVII столетия учились на
трудах Архимеда и получили много
новых
результатов.
Например,
криволинейную
трапецию
они
представляли себе составленной из
вертикальных отрезков длиной f(x),
которым приписывали площадь, равную
бесконечно малой величине f(x)dx. В
соответствии с таким пониманием
искомая площадь считалась равной
сумме S бесконечно большого числа
бесконечно малых площадей.

5.

6.

7.

8.

9.

Впоследствии понятие интеграла развивалось и
совершенствовалось как инструмент познания
окружающего мира.
Как определить
площадь плоской фигуры произвольной формы,
объем тела,
величину работы, совершаемой переменной
силой,
количество вещества, вступившего в химическую
реакцию?
Эти и многие другие задачи можно решить с
помощью интеграла.

10.

10. Первообразная функция
и неопределенный интеграл.
Теорема существования
первообразной

11.

В дифференциальном исчислении решается задача:
по данной функции
найти её производную
Интегральное исчисление решает обратную задачу:
по данной производной
найти функцию

12.

Определение. Функция
F (x) называется
первообразной функции
f ( x ) на интервале (а; b),
если для всех х из этого интервала выполняется равенство
F ( x ) f ( x )

13.

Пример.
Найти первообразную для
функции f(x)=4x3
f ( x) 4 x
3
Первообразной для данной функции является функция
4
F ( x) x ,
так как
F ( x) x 4 x f ( x).
4
3

14.

F2 ( x) x 5
4
F1 ( x) x
F3 ( x) x 4 3
4
F ( x) x C
4
f ( x) 4 x
3
Таким образом функция f(x)=4x3, х∈R имеет
бесконечное множество первообразных.

15.

Очевидно, что первообразными будут также любые функции
F ( x) x C ,
4
где
C const ,
поскольку
F ( x) x C x C
4
4
4 x 0 4 x f ( x).
3
3

16.

Теорема 1. Если функция F(x)
является первообразной для функции
f(x) на некотором промежутке, то
множество всех первообразных этой
функции имеет вид
C∈R.
F(x)+C,
где

17.

Определение Множество
функции
всех первообразных
f (x) на интервале (а; b)
называется неопределенным интегралом
этой функции и обозначается
f ( x)dx F ( x) C

18.

f
(
x
)
dx
F
(
x
)
C
f (x)
– подынтегральная функция
f ( x) dx
– подынтегральное выражение
x
– переменная интегрирования
– знак неопределённого интеграла
F ( x) C
– множество всех первообразных
C
– произвольная постоянная

19. Слово «неопределённый» подчеркивает, что в общее выражение входит слагаемое, которое можно выбрать произвольным.

Символ
введен Г. Лейбницем (1675 г.).
Этот знак является изменением латинской
буквы S - первой буквы слова Summa
(сумма). Термин «интеграл» был введен Я.
Бернулли (1690 г.). Оно происходит от
латинского integero, которое переводится,
как приводить в прежнее состояние,
восстанавливать.

20.

21. Операция нахождения первообразной функции f(x) называется интегрированием функции, а раздел математики- интегральным

исчислением.
Для всякой ли функции f(x) существует
первообразная?
Теорема существования первообразной
Для всякой непрерывной на интервале ( a; b)
функции
f (x) существует на этом промежутке
первообразная, а, значит, и неопределенный
интеграл.

22.

Геометрически неопределенный интеграл
представляет собой семейство
«параллельных» кривых, зависящих от
одного параметра C , которые получаются
одна из другой путем параллельного сдвига
вдоль оси Oy.
y
Если из этого семейства
хотят выделить одну
кривую, то заранее задают
начальные условия.
Например, нужно выбрать
такую кривую, которая
проходит через точку M 0 ( x0 ; y0 )
С
0
интегральная кривая
x

23.

11. Свойства
неопределенного
интеграла

24.

1. Дифференциал от неопределённого
интеграла равен подынтегральному
выражению, а производная
неопределённого интеграла равна
подынтегральной функции:
d f ( x) dx f ( x) dx,
f ( x) dx f ( x)

25.

Доказательство:
d f ( x) dx d F ( x) C d F ( x) d C F ( x) dx f ( x) dx
f ( x) dx ( F ( x) C ) F ( x) C f ( x)
Вывод: правильность
дифференцированием.
Равенство
интегрирования
проверяется
3x 4 dx x 4 x C верно, так как
x 4 x C 3x 4
2
3
3
2

26.

2.
Неопределённый
интеграл
от
дифференциала некоторой функции равен
сумме этой функции и произвольной
постоянной.
d F ( x) F ( x) C
Доказательство.
d F ( x) F x dx f ( x ) dx F x C
d
u
u
C

27.

3.
Неопределённый
интеграл
от
алгебраической суммы двух или нескольких
функций равен алгебраической сумме
интегралов этих функций.
f ( x) g ( x) dx f ( x) dx g ( x) dx
Доказательство: продифференцируем левую и правую части
равенства:
f ( x) g ( x) dx f ( x) g ( x)
f ( x) dx g ( x) dx f ( x) dx g ( x) dx f ( x) g ( x)

28.

u v dx u dx u dx

29.

4 Постоянный множитель можно выносить
за знак интеграла.
k f ( x) dx k f ( x) dx , k 0
Доказательство: продифференцируем левую и правую части
равенства:
k f ( x) dx k f ( x)
k f ( x) dx k f ( x) dx k f ( x)
k u dx k u dx , k 0

30.

Таблица основных неопределенных интегралов:
1)
du
u
C
;
n 1
u
2)
u du n 1 C , (n 1);
n
u
a
3)
a
du
C
;
ln a
u
u
4)
e
du
e
C
;
u

31.

du
ln
u
C
;
5)
u
6)
7)
cos
udu
sin
u
C
;
sin
udu
cos
u
C
;

32.

8)
tg
udu
ln
cos
u
C
;
9)
ctg
udu
ln
sin
u
C
;
1
du
tg
u
C
;
cos2 u
1
11)
du
ctg
u
C
;
2
sin u
10)

33.

12)
13)
14)
15)
1
1
u
du
arctg
C
;
a2 u 2
a
a
1
u
du
arcsin
C
;
a2 u2
a
1
1
u a
u 2 a 2 du 2a ln u a C;
1
1
a u
du
ln
C
;
a2 u 2
2a a u

34.

1
16)
u a du ln u u a C.
2
2
Приведенные в данной таблице интегралы
называют табличными.

35.

Непосредственным
интегрированием
называют
метод интегрирования, при котором данный интеграл с
помощью
тождественных
подынтегральной
применения
функции
преобразований
(или
выражения)
и
свойств неопределенного интеграла
приводится к одному или нескольким табличным
интегралам.

36.

Примеры.
dx
1)
x5
dx
1
5
dx
x
x5 x5
dx
x 5 1
x 4
1
C
C 4 C;
5 1
4
4x
dx
2)
3 x
2
dx
x
arcsin
C;
2
3
3 x2

37.

3)
x xdx
3
1
2
x xdx x x dx
3
3
1
2
3
7
2
7
1
2
9
2
x
x
x dx x dx
C C
7
9
1
2
2
2 9
2 8
2 4
x C
x x C x x C;
9
9
9

38.

4)
7
x
5sin x 4 x dx
1
5 sin xdx 4 dx 7 dx
x
x
x
4
5cos x
7 ln x C ;
ln 4

39.

5)
5
4
x
2x
x
x 2x x
dx
dx
5
5
5
5
x
x
x
x
14
1
3 5
1
1
3
x 2 dx x dx 2 dx dx
x
x
5
3
1
3
4
14
1
3
x
2 x ln x C
14
1
11
3
3
11
x
3
2 x ln x C ;

40.

6 5 3 7
6)
5x dx
x
x
x
x
6 5 3 7
6 5 3 7
5x dx 5x 5x dx
x
x
7
7
6 3 dx 6 dx 3 dx
5
5
x
x
6x 3
C;
7 x
5
ln 75

41.

7)
cos(5 x 1)dx
cos udu sin u C
u 5 x 1
1
cos(5 x 1) d (5 x 1)
5
5 dx
1
sin(5 x 1) C ;
5

42.

8)
1
2
2 9 xdx 2 9 x dx
n
u n 1
u du
C
n 1
u 2 9 x
1
3
1
1
2
2 9x 2 d 2 9x 2 9x 2 C
9
9 3
9 dx
2
27
2 9 x C.
3

43.

12. Метод замены
переменной в
неопределенном интеграле

44.

Если данный интеграл не может быть
найден
методом
непосредственного
интегрирования, то во многих случаях
введение
новой
переменной
интегрирования позволяет свести данный
интеграл к табличному.

45.

Пусть требуется вычислить интеграл f ( x)dx .
Сделаем подстановку x (t ) , где (t )
функция, имеющая непрерывную производную.
dx (t ) dt
Тогда
получаем формулу замены переменной:
f
(
x
)
dx
f
(
t
)
(
t
)
dt
После нахождения интеграла правой части следует
перейти от новой переменной интегрирования t назад к
переменной x.

46.

Иногда целесообразно подбирать подстановку в
виде t ( x) , тогда
f
(
x
)
( x)dx f (t )dt
То есть формулу можно применять справа
налево.
Следовательно, задача свелась к нахождению
интеграла
f (t )dt ,
который либо уже табличный, либо легко
сводится к табличному.

47.

Пример. Вычислить
sin 4xdx
t 4 x
sin 4xdx dt 4dx
t dt
dt
dx
4
4
dt 1
sin t 4 4 sin tdt
1
1
cos t C cos 4 x C
4
4

48.

Пример. Вычислить
x 2 x 1 dx
2
4
2
t 2 x 1
4
2
x
2
x
1
dx
dt 4 x dx
dt
x dx
4
4
dt
t
4
5
1
1 t
4
t dt C
4
4 5

49.

2 x 1
t
C
C
20
20
5
2
5

50.

Пример. Вычислить
5
sin
x cos x dx
t sin x
sin x cos x dx
dt
cos
xdx
cos xdx dt
5
dt
t
5
6
sin x
C
6
6
t
t dt 6 C
5

51.

Пример. Вычислить
4
t
t ln x
4
ln x
dx
dx dt
x
x
dx
dt x dt
4
44 5
44 5
t C
ln x C
5
5
ln x
dx
x
4
5
4
t
C
tdt t dt
5
4
1
4

52.

13. Метод
интегрирования по частям
в неопределенном
интеграле.

53.

Пусть
u u ( x)
и
v v( x)
функции, имеющие непрерывные производные.
Тогда
d (uv) (uv) dx
u v dx u v dx
u dv v du
d (uv) u dv v du
Проинтегрируем обе части равенства:

54.

d
(
uv
)
udv
vdu
или
uv udv vdu
udv
uv
vdu
формула интегрирования по частям

55.

Виды интегралов, которые удобно
вычислять методом интегрирования по частям:
Pn ( x) sin kxdx,
P ( x) cos kxdx,
P ( x) e dx,
P ( x) a dx,
P ( x) ln kxdx,
n
kx
n
kx
n
n
P ( x) arcsin kxdx,
P ( x) arccos kxdx,
P ( x) arctgkxdx,
P ( x) arcctgkxdx
n
n
n
n
ax
e
cos bxdx
ax
e
sin bxdx,
Где Pn ( x) многочлен, k число.
Формулу надо применять столько раз, какова
степень многочлена Pn ( x ).

56.

За u выбирают функцию, которая упрощается при
дифференцировании
За
dv принимают ту часть подынтегрального выражения,
содержащую dx, интеграл от которой может быть легко
найден

57.

u
dv

58.

Примеры.
1)
x 4 cos xdx
udv
uv
vdu
udv uv vdu
( x 4) sin x cos x C

59.

2)
udv uv vdu

60.

Рациональные дроби.
Интегрирование
простейших рациональных
дробей.
14.

61.

Определение. Рациональной дробью называется
функция, заданная в виде отношения двух многочленов:
n 1
Pn ( x) an x an 1 x ... a1 x a0
m
m 1
Qm ( x) bm x bm 1 x ... b1 x b0
n
Если степень числителя меньше степени знаменателя
n m, то рациональная дробь называется
правильной;
если n m, то дробь называется неправильной.

62.

Определение. Простейшей дробью называется
правильная рациональная дробь одного из следующих
видов:
1.
2.
3.
A
;
x a
A
(k 2, k );
k
( x a)
A
2
( D p 4q 0);
2
x px q

63.

4.
5.
Ax B
2
( D p 4q 0);
2
x px q
Ax B
x px q
2
где
(k 2, k ,
k
A, a, B, p, q
D p 4q 0),
2

64.

Интегрирование простейших рациональных
дробей.
Интегрирование простейших рациональных дробей
рассмотрим на примерах.
1)
Вывод: простейшие дроби 1 – го вида интегрируются
по формуле
du
u ln u C;

65.

2)
t
dx
1 d (3 7 x)
(3 7 x)4 7 (3 7 x)4
t
1 dt
1 4
1 t 3
4 t dt C
7 t
7
7 3
1
1
C
C;
3
3
21t
21(3 7 x)

66.

Вывод: простейшие дроби 2 – го вида интегрируются
по формуле
n 1
n
u
u
du
C
,
(
n
1);
n 1

67.

3)
1
dx
dx
2 x 2 2 x 10 2 x 2 x 5 I
Выделим в знаменателе полный квадрат:
2
2
2
2
1 1
1
1
1
2
x x 5 x 2 x 5 x 5
2 4
2
2 2
1 19
1 19
x x
2 2
2
4
2
2
2

68.

Вернемся к интегралу:
1
dx
1
I
dx d ( x )
2
2
2
2
1 19
x
2 2
1
d x
1
1
2
t x
2
2
2
2
1 19
x
2 2

69.

1
2
dt
1 1
t
19 arctg 19 C
2
2
2
2
19
2
t
2
1
x 2
1
2
arctg
C
19
19
1
2x 1
arctg
C;
19
19

70.

Вывод: чтобы проинтегрировать простейшую дробь 3
– го вида, нужно
1) Выделить в знаменателе полный квадрат;
2) Свести интеграл к одному из табличных:
1
1
u
du
arctg
C
;
a2 u 2
a
a
1
1
u a
u 2 a 2 du 2a ln u a C;

71.

15. Разложение
рациональной дроби на
простейшие

72.

Сведения из алгебры:
1. Любой многочлен можно представить в виде
произведения линейных и квадратичных множителей:
Qm ( x) ( x a ) ( x b) ... ( x px q ) ...
k
где
D p 4q 0
2
а, b … - корни многочлена
s
2
l

73.

Теорема о разложении правильной рациональной
дроби на простейшие: любую правильную
рациональную дробь можно представить в виде суммы
простейших дробей:
Ak
A1
A2
R( x)
...
2
k
Qm ( x) x a ( x a )
( x a)
Bs
B1
B2
...
...
2
s
x b ( x b)
( x b)
Cl x Dl
C1 x D1
C2 x D2
2
2
... 2
...
2
l
x px q ( x px q )
( x px q )
Такое разложение единственно.

74.

Перед интегрированием рациональной дроби
Pn ( x)
Qm ( x)
необходимо выполнить следующие алгебраические
преобразования и вычисления:
1. Если дана неправильная рациональная дробь,
выделить из нее целую часть, разделив числитель на
знаменатель столбиком, т.е. представить эту дробь в
виде:
P ( x)
R( x)
n
Qm ( x)
M ( x)
Где M ( x ) – многочлен,
рациональная дробь.
Qm ( x)
,
R( x)
- правильная
Qm ( x )

75.

2. Разложить знаменатель дроби на линейные и
квадратичные множители:
Qm ( x) ( x a ) ( x b) ... ( x px q ) ...
k
где
D p 4q 0
2
s
2
l

76.

3. Правильную рациональную дробь разложить на сумму
простейших дробей:
Ak
A1
A2
R( x)
...
2
k
Qm ( x) x a ( x a )
( x a)
Bs
B1
B2
...
...
2
s
x b ( x b)
( x b)
Cl x Dl
C1 x D1
C2 x D2
2
2
... 2
...
2
l
x px q ( x px q )
( x px q )

77.

78.

79.

80.

Примеры.
x 4
x 4
1)
x3 x 2 dx x 2 ( x 1) dx I

81.

x 4 Ax( x 1) B( x 1) Cx
2
x 1:
3 C
C 3
x 0:
4 B
B 4
A 3
x 1: 5 2 A 2 B C
Тогда
x 4
3 4
3
2
2
x ( x 1) x x
x 1

82.

Итак,
3
3 4
I 2
dx
x 1
x x
1
1
1
3 dx 4 2 dx 3
dx
x
x
x 1
d ( x 1)
3ln | x | 4 x dx 3
x 1
2

83.

1
x
3ln | x | 4
3ln | x 1| C
1
1
3ln | x | 4 3ln | x 1| C.
x

84.

4
2
2
x
x
16
x
2)
x3 8 dx I
2 x x 16 x
x
2x 3
3
x 8
x 8
4
2
2
x
I 2x 3
dx
x 8
2

85.

86.

Выпишем отдельно дробь: