12,13 DU-2

1.

2. 10. Дифференциальные уравнения

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
10.1. Общие сведения о ДУ
10.2. Обыкновенные ДУ 1-го порядка
10.3. Обыкновенные ДУ 2-го порядка

3. 10. Дифференциальные уравнения

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
10.3. Обыкновенные ДУ 2-го порядка
10.3.1 Основные понятия
10.3.2 ЛОДУ 2-го порядка
10.3.3 ЛОДУ 2-го порядка с постоянными
коэффициентами
10.3.4 ЛНДУ 2-го порядка с постоянными
коэффициентами
10.3.5 ЛНДУ 2-го порядка с правой частью
специального вида

4. 10.3.1 Основные понятия

10.3.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
F x, y, y , y 0
y f x, y, y
y x
– ДУ 2-го порядка
– ДУ 2-го порядка, разрешённое относительно
старшей производной
– решение ДУ 2-го порядка
y x0 y0 , y x0 y0 – начальные условия
y x, c1 , c2
y x, c10 , c20
x, y, c1 , c2 0
x, y, c10 , c20 0
– общее решение
– частное решение, удовлетворяющее заданным
начальным условиям
– общий интеграл
– частный интеграл
F x, y, y , y 0, y x0 y0 , y x0 y0 – задача Коши
для ДУ 2-го порядка

5. 10.3.1 Основные понятия

10.3.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Примеры
1)
y cos3 x x
4)
y 2 y y 0
2)
x 1 y y 1
5)
xy x 2 y x 1 y 0
3)
y tg y 2 y
6)
y 2 y 3 y e x x 3 x 3
2
ДУ, допускающие
понижение порядка
В нашем курсе не
рассматриваются. По желанию
можно ознакомиться
самостоятельно.
Линейные
однородные ДУ
(ЛОДУ)
Линейные
неоднородные ДУ
(ЛНДУ)
Линейные ДУ

6. 10.3.2 ЛОДУ 2-го порядка

10.3.2 ЛОДУ 2-ГО ПОРЯДКА
Уравнение вида a0 x y a1 x y a2 x y 0
называется ЛОДУ 2-го порядка с переменными коэффициентами.
Теорема
Если функции y1 y1
x и y2 y2 x являются частными
решениями ДУ (1), то решением этого ДУ также является функция
y c1 y1 x c2 y2 x , где c1 , c2 const.
Пусть эти два частных решения обладают следующим свойством:
y1
W x
y1
тогда
y2
0,
y2
определитель Вронского
y c1 y1 x c2 y2 x
– общее решение ДУ (1).
(1)

7. 10.3.3 ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

10.3.3 ЛОДУ 2-ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Уравнение вида a0 y a1 y a2 y 0
a0 , a1 , a2 R
называется ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Будем искать частные решения ДУ (2) в виде
y e kx ,
где число k может быть действительным или комплексным.
y e kx , y ke kx , y k 2e kx
подставим в ДУ (2) и получим
уравнение:
a0 k 2 e kx a1k e kx a2 e kx 0
e kx a0 k 2 a1k a2 0
e kx 0 kx
a0 k 2 a1k a2 0
характеристическое уравнение
это квадратное уравнение, его сразу
можно получить из ДУ (2), заменив
(2)

8. 10.3.3 ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

10.3.3 ЛОДУ 2-ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
a0 k 2 a1k a2 0
D a1 4a0 a2
2
D>0 два действительных корня
D=0 один действительный корень
кратности 2
D<0 два комплексно-сопряжённых
корня
Пример
Решить квадратное уравнение
k 2 6k 25 0.
D 6 4 1 25 36 100 64 64 1 64i 2 (i – мнимая единица)
2
6 64i 2
6 8i
6 8i
k1,2
3 4i
2
2
2 2
i
= 3 – действительная часть, = 4 – мнимая часть комплексного числа

9. 10.3.3 ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

10.3.3 ЛОДУ 2-ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
случай
D
общее решение
ЛОДУ (2)
корни
1
D 0 k1 k2
y c1 e k1x c2 e k2 x
2
D 0 k1 k2 k
y c1 e kx c2 x e kx
3
D 0 k1,2 i
y e x c1 cos x c2 sin x
y c1 y1 x c2 y2 x
– общее решение

10. 10.3.3 ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

10.3.3 ЛОДУ 2-ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Примеры
Решить ЛОДУ 2-го порядка.
1)
y 2 y y 0
k 2 2k 1 0
k 1 0
2
2)
y 2 y 3 y 0
k 2 2k 3 0
D 22 4 1 3 4 12 16
k 1 0
k 1
y c1 e x c2 x e x
y c1 e x c2 e 3 x
общее решение
( см. таблицу, случай 2)
общее решение
( см. таблицу, случай 1)
2 4
2 4
k1
1, k2
3
2
2

11. 10.3.3 ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

10.3.3 ЛОДУ 2-ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Примеры
Решить ЛОДУ 2-го порядка.
3)
y 2 y 2 y 0
k 2 2k 2 0
D 22 4 1 2 4 8 4 4 1 4i 2
2 2i
k1,2
1 i
2
1, 1
y e x c1 cos x c2 sin x
общее решение
( см. таблицу, случай 3)

12. 10.3.3 ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

10.3.3 ЛОДУ 2-ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Примеры
Решить ЛОДУ 2-го порядка (задача Коши).
4)
y 5 y 0, y 0 3, y 0 5
y 5 y 0
подставим начальные условия в
k 2 5k 0
общее решение и его производную:
k k 5 0
5 0
3
c
c
e
, 3 c1 c2 ,
1
2
k1 0, k2 5
0 x
y c1 e c2 e
y c1 c2 e5 x
5x
общее решение
( см. таблицу, случай 1)
найдём производную
общего решения:
y 5c2 e5 x
5 0
5 5c2
5 5c2 e
3 c1 1, c1 2,
c
1
2
c2 1
подставим найденные константы в
общее решение :
y 2 e5 x
частное решение

13. 10.3.4 ЛнДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

10.3.4 ЛНДУ 2-ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Уравнение вида a0 y a1 y a2 y f x
a0 , a1 , a2 R
называется ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
(3)
a0 y a1 y a2 y 0 – соответствующее ему ЛОДУ 2-го порядка
(2)
с постоянными коэффициентами
Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ)
Общим решением ЛНДУ (3) является сумма общего решения ЛОДУ (2)
и произвольного частного решения ЛНДУ (3):
y yоо yчн
Теорема (о наложении решений)
Если правая часть ЛНДУ (3) есть сумма двух функций
yчн 1 – частное решение ЛНДУ
yчн 2 – частное решение ЛНДУ
f x f1 x f 2 x ,
a0 y a1 y a2 y f1 x ,
a0 y a1 y a2 y f 2 x ,
то частным решением ЛНДУ (3) является функция
yчн yчн 1 yчн 2

14. 10.3.5 ЛНДУ 2-го порядка с правой частью специального вида

10.3.5 ЛНДУ 2-ГО ПОРЯДКА
С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
a0 y a1 y a2 y f x
1
– ЛНДУ 2-го порядка
с постоянными коэффициентами
f x Pn ( x) e x , где Pn ( x) – многочлен степени n, R.
yчн Qn ( x) e x x r
– вид частного решения ЛНДУ (3)
Qn ( x) – полный многочлен степени n,
записанный с неопределёнными коэффициентами
r – число, равное кратности как корня характеристического уравнения
Q0 ( x) A
Q1 ( x) Ax B
Q2 ( x) Ax 2 Bx C
Q3 ( x) Ax3 Bx 2 Cx D

15. 10.3.5 ЛНДУ 2-го порядка с правой частью специального вида

10.3.5 ЛНДУ 2-ГО ПОРЯДКА
С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
2
f x e x Pn ( x) cos x Qm ( x) sin x ,
где Pn ( x ), Qm ( x ) – многочлены степени n и m соответственно, и R.
yчн e x M s ( x) cos x N s ( x) sin x x r
– вид частного решения ЛНДУ (3)
M s ( x) и N s ( x) – полные многочлены степени s,
записанные с неопределёнными коэффициентами
s – наивысшая степень многочленов
Pn ( x) и Qm ( x)
r – число, равное кратности + i как корня характеристического уравнения

16. 10.3.5 ЛНДУ 2-го порядка с правой частью специального вида

10.3.5 ЛНДУ 2-ГО ПОРЯДКА
С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Примеры
Составить частное решение ЛНДУ 2-го порядка по виду правой части.
1)
y 2 y y f x
а)
f x 5e x
б)
f x 3x3e x
а)
- это правая часть специального
вида, случай 1, где 1, Pn ( x) 5
1 - является корнем
характеристического уравнения,
поэтому r = 2.
y 2 y y 0
k 2 2k 1 0
k 1 0
2
k 1 кратности 2
f x 5e x
yчн e x A x 2
б)
f x 3 x 3e x
- это правая часть специального
3
вида, случай 1, где 1, Pn ( x) 3 x
1 - не является корнем
характеристического уравнения,
поэтому r = 0.
yчн e x Ax3 Bx 2 Cx D x 0

17. 10.3.5 ЛНДУ 2-го порядка с правой частью специального вида

10.3.5 ЛНДУ 2-ГО ПОРЯДКА
С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Примеры
Составить частное решение ЛНДУ 2-го порядка по виду правой части.
2)
y 2 y 2 y f x
а)
f x e x cos 2 x
б)
f x e x cos x x sin x
y 2 y 2 y 0
k 2 2k 2 0
D 22 4 1 2 4 4i 2
k1,2
2 2i
1 i
2
1, 1
а)
f x e x cos 2 x
f x e x 1 cos 2 x 0 sin 2 x
- это правая часть специального
вида, случай 2, где
1, 2, Pn ( x) 1, Qm ( x) 0
i 1 2i - не является
корнем характеристического
уравнения, поэтому r = 0.
yчн e x A cos 2 x B sin 2 x x 0

18. 10.3.5 ЛНДУ 2-го порядка с правой частью специального вида

10.3.5 ЛНДУ 2-ГО ПОРЯДКА
С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Примеры
Составить частное решение ЛНДУ 2-го порядка по виду правой части.
2)
y 2 y 2 y f x
2 2i
k1,2
1 i
2
1, 1
б)
f x e x cos x x sin x
- это правая часть специального
вида, случай 2, где
1, 1, Pn ( x) 1, Qm ( x) x
i 1 i - является корнем
характеристического уравнения,
поэтому r = 1.
yчн e x Ax B cos x Cx D sin x x1

19. 10.3.5 ЛНДУ 2-го порядка с правой частью специального вида

10.3.5 ЛНДУ 2-ГО ПОРЯДКА
С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Примеры
Решить ЛНДУ 2-го порядка.
1)
y 7 y 6 y sin x
y yоо yчн
a ) y 7 y 6 y 0
k 2 7k 6 0
D 7 4 1 6 49 24 25
2
7 5
7 5
k1
6, k2
1
2
2
yoo c1 e6 x c2 e x
б ) f x sin x
f x e0 x 0 cos1 x 1 sin1 x
- это правая часть специального
вида, случай 2, где
0, 1, Pn ( x) 0, Qm ( x) 1
i i
- не является корнем
характеристического уравнения,
поэтому r = 0.
Таким образом частное решение
ЛНДУ будет иметь вид:
yчн e0 x A cos 1 x B sin 1 x x 0

20. 10.3.5 ЛНДУ 2-го порядка с правой частью специального вида

10.3.5 ЛНДУ 2-ГО ПОРЯДКА
С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
yчн e0 x A cos 1 x B sin 1 x x0
yчн A cos x B sin x
Применим метод неопределённых коэффициентов для вычисления А и В.
Для этого найдём производные первого и второго порядков для полученного
частного решения и подставим их в исходное ЛНДУ.
A sin x B cos x
yчн
A cos x B sin x
yчн
y 7 y 6 y sin x
A cos x B sin x 7 A sin x B cos x 6 A cos x B sin x sin x
A cos x B sin x 7 A sin x 7 B cos x 6 A cos x 6 B sin x sin x
7 A sin x 5 A cos x 5B sin x 7 B cos x 1 sin x 0 cos x
Собираем коэффициенты при sinx и cosx, получаем систему из двух уравнений:
7 A 5B 1
5A 7B 0

21. 10.3.5 ЛНДУ 2-го порядка с правой частью специального вида

10.3.5 ЛНДУ 2-ГО ПОРЯДКА
С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
7
7
7 5
7 A 5 B 1,
A
,
49 25 74
74 74
5 7
5 A 7 B 0
1 5
B 5 5
A
7 0 7
применим
0 7
74 74
метод Крамера:
B
7 1
0 5 5
5 0
Запишем частное решение ЛНДУ с найденными коэффициентами:
yчн A cos x B sin x
7
5
yчн cos x sin x
74
74
в) Составим общее решение ЛНДУ согласно теореме
y c1 e6 x c2 e x
7
5
cos x sin x
74
74
y yоо yчн

22. 10.3.5 ЛНДУ 2-го порядка с правой частью специального вида

10.3.5 ЛНДУ 2-ГО ПОРЯДКА
С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Примеры
Решить ЛНДУ 2-го порядка (задача Коши).
2)
y 6 y 9 y e 3 x x 2 , y 0 1, y 0 1
y yоо yчн
a ) y 6 y 9 y 0
б ) f x e 3 x x 2
k 2 6k 9 0
- это правая часть специального
вида, случай 1, где
k 3 0
3, Pn ( x) x 2
k 3 кратности 2
3 - является корнем
2
yoo c1 e 3 x c2 x e 3 x
характеристического уравнения,
поэтому r = 2.
Таким образом частное решение
ЛНДУ будет иметь вид:
yчн e 3 x Ax B x 2

23. 10.3.5 ЛНДУ 2-го порядка с правой частью специального вида

10.3.5 ЛНДУ 2-ГО ПОРЯДКА
С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
yчн e 3 x Ax B x 2
yчн e 3 x Ax3 Bx 2
Применим метод неопределённых коэффициентов для вычисления А и В.
Для этого найдём производные первого и второго порядков для полученного
частного решения и подставим их в исходное ЛНДУ.
3e 3 x Ax3 Bx 2 e 3 x 3 Ax 2 2 Bx
yчн
e 3 x 3 Ax3 3Bx 2 3 Ax 2 2 Bx
yчн
3e 3 x 3 Ax3 3Bx 2 3 Ax 2 2 Bx
yчн
e 3 x 9 Ax 2 6 Bx 6 Ax 2 B
e 3 x 9 Ax3 9 Bx 2 9 Ax 2 6 Bx 9 Ax 2 6 Bx 6 Ax 2 B
yчн
e 3 x 9 Ax3 9 Bx 2 18 Ax 2 12 Bx 6 Ax 2 B
yчн
y 6 y 9 y e 3 x x 2

24. 10.3.5 ЛНДУ 2-го порядка с правой частью специального вида

10.3.5 ЛНДУ 2-ГО ПОРЯДКА
С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
e 3 x 9 Ax3 9 Bx 2 18 Ax 2 12 Bx 6 Ax 2 B
6 e 3 x 3 Ax3 3Bx 2 3 Ax 2 2 Bx 9e 3 x Ax 3 Bx 2 e 3 x x 2
9 Ax3 9 Bx 2 18 Ax 2 12 Bx 6 Ax 2 B
18 Ax3 18Bx 2 18 Ax 2 12 Bx 9 Ax3 9 Bx 2 x 2
6 Ax 2 B x 2
Собираем коэффициенты при x и без x, получаем систему из двух уравнений:
6 A 1,
2 B 2
1
A
,
6
B 1
Запишем частное решение ЛНДУ с найденными коэффициентами:
yчн e
3 x
Ax Bx
3
2
yчн e
3 x
1 3 2
x x
6

25. 10.3.5 ЛНДУ 2-го порядка с правой частью специального вида

10.3.5 ЛНДУ 2-ГО ПОРЯДКА
С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
в) Составим общее решение ЛНДУ согласно теореме y yоо yчн
1 3 2
3 x
3 x
3 x 1 3
2
3 x
y c1 e c2 x e e x x или y e c1 c2 x x x
6
6
г) Найдём частное решение ЛНДУ по заданным начальным условиям
1
1
y 3e 3 x c1 c2 x x 3 x 2 e 3 x c2 x 2 2 x
6
2
подставим начальные условия в общее решение и его производную:
y 0 1, y 0 1
1 e0 c1 0 0 0 ,
1 c1 ,
c1 1,
0
0
1 3c1 c2
c2 4
1 3e c1 0 0 0 e c2 0 0
подставим найденные константы в общее решение:
1
y e 3 x 1 4 x x 3 x 2
6

26. Лекции за 2 семестр завершены

ЛЕКЦИИ ЗА 2 СЕМЕСТР ЗАВЕРШЕНЫ