Решение прикладных задач с помощью дифференциальных уравнений (лекция 15)

1. Дисциплина Решение прикладных задач с помощью дифференциальных уравнений

Лекция 15 (продолжение).
Линейные дифференциальные уравнения
n-го
порядка с постоянными коэффициентами.

2.

Основные вопросы
1. Линейные дифференциальные уравнения n-го
порядка с постоянными коэффициентами.
2. Метод Эйлера. Построение ФСР линейных уравнений
с постоянными коэффициентами (случаи различных и
кратных корней характеристического уравнения).

3.

n – го порядка называется линейным , если оно является
уравнением первой степени относительно неизвестной функции и y ее
производных y' , y'' , …, y(n)
Опр.1.
ДУ
a0 ( x) y ( n ) a1 ( x) y ( n 1) ... an 1 ( x) y an ( x) y f ( x) (1)
где
f ( x) и ai ( x) заданные функции от x или const, причем a0 ≠0
Если f ( x ) ≡ 0, то уравнение (1) – называется линейным однородным,
если f ( x ) ≠ 0, то (1) называется линейным неоднородным.
Приведенное ЛДУ
y ( n ) b1 ( x) y ( n 1) ... bn 1 ( x) y bn ( x) y f ( x)
Опр.2. Линейный дифференциальный оператор:
L[ y] y (n) b1 ( x) y (n 1) ... bn 1 ( x) y bn ( x) y
тогда
(2)
L[ y ] = f ( x )
(2*)
(2)

4.

Линейные однородные ДУ n-го порядка
y
(n)
b1 ( x) y
( n 1)
или
... bn 1 ( x) y bn ( x) y 0
(3)
L[ y ] =0
Свойства решений ЛОДУ
Теорема 1. Если y1 и y2 - решения ЛОДУ
y1+ y2 также решения этого уравнения
Теорема 2. Если y1 - решение ЛОДУ
также решение этого уравнения
L[ y ] = 0, то
L[ y ] = 0, то Сy1
Следствие. Если y1 , y2 … yn - решения ЛОДУ L[ y ] = 0,
то их линейная комбинация С1 y1+ С2 y2 +…+ Сn yn также
решение этого уравнения

5.

Теорема 5. Общим решением уравнения L[ y ]=0
, определенного на (a, b) является линейная комбинация
n
y C1 y1 C2 y2 ... Cn yn
C y
i i
i 1
n линейно независимых на (a, b) решений y1 , y2 , …, yn
этого уравнения.
Опр.4. Система n линейно независимых решений ЛОДУ
n - го порядка называется его фундаментальной системой
решений (ФСР).

6.

Линейные неоднородные ДУ n-го порядка
y (n) b1 ( x) y (n 1) ... bn 1 ( x) y bn ( x) y f ( x)
или
где
L[ y ] = f (x)
(2)
f ( x) и bi ( x) заданные непрерывные на (a, b) функции
Свойства решений ЛНДУ
Теорема 6.
(о структуре общего решения ЛНДУ)
Общее решение на (a,b) уравнения (2) равно сумме общего
n
решения
yoo
C y соответствующего ЛОДУ L[ y ] = 0 и какого-либо
i i
i 1
частного решения
ŷ неоднородного уравнения (2).

7.

Метод вариации произвольной постоянной
(Метод Лагранжа)
Для любого вида правой части
f(x) ЛНДУ
y (n) b1 ( x) y (n 1) ... bn 1 ( x) y bn ( x) y f ( x)
n
yoo
C y
Пусть Ci=Ci(x)
i i
i 1
C1 ( x) y1 C2 ( x) y2 ... Cn ( x) yn 0
C ( x) y C ( x) y ... C ( x) y 0
1
2
2
n
n
=> Ci(x) =ji(x) + Či
1
(5)
C1 ( x) y1( n 2) C2 ( x) y2( n 2) ... Cn ( x) yn( n 2) 0
C1 ( x) y1( n 1) C2 ( x) y2( n 1) ... Cn ( x) yn( n 1) f ( x)
n
n
n
~
~
y
ji ( x) Ci yi
ji ( x) yi
Ci yi
Общее решение
i 1
i 1
i 1

8.

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го
порядка с постоянными коэффициентами
Опр. 5
Если в ЛОДУ (3 ) все коэффициенты bi(x)=const,
y
( n)
b1 y
( n 1)
или
... bn 1 y bn y 0
(6)
L[ y ] = 0
то уравнение называется линейным однородным ДУ n-го порядка с
постоянными коэффициентами.
Вид частных решений:
Из (6) =>
y = e kx
k n b1k n 1 ... bn 1k bn 0
(7)
Опр.6 Уравнение (7) называется характеристическим уравнением ЛОДУ с
постоянными коэффициентами

9.

10.

11.

Возможные варианты корней характеристического уравнения и
соответствующие им наборы ФСР
таблица 1
Вид корня
Соответствующие линейно независимые решения
1. ki∈R
кратность 1
yi = e ki x
2. k=a±ib∈C
кратность 1
3. k∈R
кратность r
y1 = e a xcos(bx) y2 = e a xsin(bx)
y1 = e kx , y2 = xe kx , y3 = x2e kx , … , yr = xr-1e kx
ax
ax
r-1 a x
4. k=a±ib∈C y1= e cos(bx) y3=x·e cos(bx)… yr=x e cos(bx)
кратность r
y2= e a xsin(bx) y4= x·e a xsin(bx)… yr= xr-1e a xsin(bx)

12.

13.

14.

.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

.
y V 6 y IV 9 y III 0
Решить уравнение
5 6 4 9 3 0
1, 2,3 0 , к=3;
4,5 3, к=2;
y о.одн. C1 C 2 х С3 х 2 С 4 e 3 x С5 хе3 х

22.

23.

Лекция 16
Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения
Линейные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами
и со специальной правой частью.

24.

Линейные неоднородные ДУ n-го порядка
y (n) b1 ( x) y (n 1) ... bn 1 ( x) y bn ( x) y f ( x)
или
где
(2)
L[ y ] = f (x)
f ( x) и bi ( x) заданные непрерывные на (a, b) функции
Свойства решений ЛНДУ
Теорема 6.
(о структуре общего решения ЛНДУ)
Общее решение на (a,b) уравнения (2) равно сумме общего
n
решения yoo
C y
i i
i 1
либо частного решения
соответствующего ЛОДУ
ŷ неоднородного уравнения (2).
Теорема 7. Если yi - решение уравнения
n
то
y
y
L[ y ] = 0 и какого-
i i – решение уравнения
L[ y ] = fi (x) i 1, k ,
L[ y ]
k
f ( x)
i i
i 1
i 1
свойство называется принцип суперпозиции – наложения решений.

25.

Методы решения линейного уравнения
1 –го порядка (повторение)
dy
p( x ) y f ( x )
dx
1. Метод Лагранжа (вариации постоянной)
a)
dy
g ( x ) dx
p ( x) y 0 y Ce
- общее решение
dx
однородного уравнения
b) Пусть C С ( x)
Решение
Заметим:
C ( x)
g ( x ) dx
~
f ( x )e
dx C
g ( x ) dx
~ g ( x ) dx
y( x) f ( x)e
dx C e
~ g ( x ) dx
g ( x ) dx
g ( x ) dx
y ( x) Ce
f ( x )e
dx e
общее решение
однородного уравнения
частное решение
неоднородного
уравнения

26.

Метод вариации произвольной постоянной для
линейных уравнений высших порядков
(Метод Лагранжа)
Для любого вида правой части f(x) ЛНДУ
y (n) b1 ( x) y (n 1) ... bn 1 ( x) y bn ( x) y f ( x)
n
yoo
C y
i i
Пусть
i 1
Ci=Ci(x)
C1 ( x) y1 C2 ( x) y2 ... Cn ( x) yn 0
C ( x) y C ( x) y ... C ( x) y 0
1
2
2
n
n
=> Ci(x) =ji(x) + Či
1
(5)
C1 ( x) y1( n 2) C2 ( x) y2( n 2) ... Cn ( x) yn( n 2) 0
C1 ( x) y1( n 1) C2 ( x) y2( n 1) ... Cn ( x) yn( n 1) f ( x)
n
n
n
~
~
y
ji ( x) Ci yi
ji ( x) yi
Ci yi
Общее решение
i 1
i 1
i 1

27.

Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами
( n)
( n 1)
y b1 y
... bn 1 y bn y f ( x) или L[ y ] = f (x)
Метод неопределенных коэффициентов для ЛНДУ со специальной
правой частью
Общее решение
Вид f(x)
y = yoo + ŷ
yoo – по таблице 1
ŷ – по таблице 2
e x [Ps (x)cosbx + Qt (x)sinbx]
Если корень характеристического уравнения ЛОДУ
Вид ŷ
ŷ = e x [Rq (x) cosbx + Tq (x) sinbx],
Если k - корень кратности g и
Вид ŷ
k ≠ +ib
q = max(s,t)
k = +ib
ŷ = xg e x [Rq (x) cosbx + Tq (x) sinbx], q = max(s,t)

28.

29.

30.

31.

1. y 3 y 2 y = 3 x.
а)
y 3 y 2 y = 0 k 2 3k 2 = 0 k1 = 1, k2 = 2.
yoo = C1 e x C2 e 2 x общее решение однородного уравнения
б)
f ( x) = 3 x
Проверяемое в этом случае число
z bi 0
не совпадает с корнями характеристического уравнения, поэтому частное
решение повторит в общем виде правую часть уравнения,
y * = Ax B.
в) Общее решение: y = yoo + y* =
y = yоо y * = C1 e x C2 e 2 x ( Ax B).
Для нахождения пока неопределенных коэффициентов A, B
подставим это решение
найдя предварительно
в исходное уравнение вместо y ,
( y* ) = A, ( y* ) = 0.

32.

Тогда
y 4 y 4 y = 5 x 3, 4 A 4( Ax B) = 5 x 3,
4 Ax (4 A 4 B) = 5 x 3.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
в левой и правой частях равенства, имеем
x1 : 4 A = 5,
x0 : 4 A 4B = 3
A = 5/4,
B = 1/2.
Записываем частное решение
Y* =
5x 1
.
4 2
c) Общее решение неоднородного уравнения:
Y = Y Y = (C1 C2 x)e
*
2 x
5x 1
.
4 2
x

33.

y 5 y 6 y x 3 2 x

34.

y 5 y x 3 2 x

35.

Чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения
второго порядка
.
a0 ( х) y a1 ( х) y а2 ( x) y 0
у которого известно одно частное решение - y1 ,
можно воспользоваться формулой Лиувилля-Остроградского:
y1 y 2
p ( x ) dx
a1 ( x)
Ce
, p( x)
y1 y 2
a 0 ( x)