Дифференциальные уравнения. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

1. Дифференциальные уравнения

Линейные уравнения с постоянными
коэффициентами

2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Однородные Д.У. с постоянными
коэффициентами.
Рассмотрим уравнение
( n)
( n 1)
n 1
0
где
0
n 1 - постоянные
действительные числа
rx
Пусть функция ( x) e - решение Д.У.
Ly y
a
a , , a
y
a y 0
( x) rerx , , (n) ( x) r nerx
e rx (r n an 1r n 1 a0 ) 0
r n an 1r n 1 a0 0
r - корень алгебраического уравнения

3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение.
Алгебраическое уравнение
n
n 1
n 1
0
r a r
a 0
соответствующее данному ЛОДУ,
называется характеристическим уравнением.
Обратное утверждение:
Пусть
- корень характеристического уравнения.
rx
Тогда функция ( x) e -частное решение ЛОДУ.
r
Замечание. Алгебраическое уравнение степени n с
действительными коэффициентами имеет n решений.

4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Свойства решений ЛОДУ.
1. Линейность.
1 ( x), 2 ( x),..., k ( x) - решения ЛОДУ Ly 0
C1 1 ( x) C2 2 ( x) ... Ck k ( x) - решение ЛОДУ.
(C1 , C2 ,..., Ck произвольные постоянные)
Доказать самостоятельно.

5. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

2. Критерий линейной независимости системы решений ЛОДУ.
Пусть 1 ( x), 2 ( x), ..., n ( x)
- частные решения ЛОДУ порядка n в ( a, b) .
Теорема.
Система функций ( x), i 1,2,..., n
i
линейно независимая в ( a, b)
W ( 1 , 2 ,..., n ) 0 x (a, b)

6. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение ФСР.
Фундаментальной системой решений (ФСР)
ЛОДУ Ly 0 - порядка n
называется система ( x), i 1,2,..., n
i
n линейно независимых решений ЛОДУ.

7. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Теорема о структуре общего решения ЛОДУ.
Пусть при x ( a, b) система ( x), i 1,2,..., n
i
образует ФСР ЛОДУ порядка n.
Тогда общее решение ЛОДУ порядка n
имеет вид
Y ( x) C1 1 ( x) C2 2 ( x) ... Cn n ( x)
с произвольными постоянными C1 , C2 ,..., Cn

8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

ФСР в случае различных
действительных корней.
r1 , r2 , , rn корни характерис
тическогоуравнения
действител
ьные различные(ri rj )
1 e , 2 e
r1 x
r2 x
, , n e n ФСР ЛОДУ порядка n
rx
Доказательство (при n=2).
1.
1 e и 2 e два частных решения ЛОДУ порядка 2
r1x
2. W ( x)
r2 x
er x
1
er x
r1e r x r2e
1
2
( r r ) x
e
(r2 r1 ) 0
rx
2
1
2
1 ( x) и 2 ( x) линейно
независимые функции
образуют ФСР

9. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Случай кратных действительных корней.
Пусть действительное число
- корень уравнения
кратности k 2
В ФСР ЛОДУ ему соответствуют k решений вида
r
rx
rx
k 1 rx
e , xe , , x e

10. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Случай кратных действительных корней.
Пусть действительное число
- корень уравнения
кратности k 2
В ФСР ЛОДУ ему соответствуют k решений вида
r
rx
rx
k 1 rx
e , xe , , x e
Пример.
1. y 4 y 4 y 0
2
2. Замена: y r , y r , y 1
3. Характеристическое уравнение:
4 0
r 4r 4 0 r1, 2
2
2
2
2 x
, 2 ( x) x e
4. ФСР: 1 ( x) e
2 x
(кратность 2)

11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

ФСР в случае, когда некоторые корни комплексные.
1. Случай простого комплексного корня.
Пусть r i - комплексный корень характеристического
уравнения
тогда r i - также корень этого уравнения.
Функции
~1 ( x) e( i ) x и ~2 ( x) e( i ) x
- решения ЛОДУ.
~
~
Функции 1 ( x) и 2 ( x) линейно независимые, так как
W ( x)
~
e( i ) x
e( i ) x
( i)e( i ) x ( i)e
~
2 x
2
ie
0
( i ) x
Функции 1 ( x) и 2 ( x) вместе с другими (n-2) -линейно
независимыми решениями ЛОДУ образуют ФСР.

12. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

~
~
Преобразуем функции 1 ( x) и 2 ( x)
с помощью формулы Эйлера:
e
xi
cos x i sin x
e ( i ) x e x (cos x i sin x)
( i ) x
e
x
e x (cos x i sin x)
e cos x
~1 ( x) ~2 ( x)
2
x
; e sin x
~1 ( x) ~2 ( x)
2i
Функции
1 ( x) e x cos x и 2( x) e x sin x
являются действительными функциями переменной х;
являются решениями ЛОДУ;
являются линейно независимыми
Образуют
(вместе с другими)
ФСР

13. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Примеры.
1. Найти ФСР уравнения
Шаг 1. Запишем характеристическое уравнение и решим его:
y y 0
y r , y 1
r 1 0 r1, 2 1 i
Шаг 2. Запишем ФСР ЛОДУ: i 0 1i
2
2
1 cos x , 2 sin x

14. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Примеры.
2. Найти ФСР уравнения
y 4 y 8 y 0
Шаг 1. Запишем характеристическое уравнение и решим его:
y r , y r, y 1
r 4r 8 0
2
2
4 16 4 4i
r1, 2
2 2i
2
2
Шаг 2. Запишем ФСР ЛОДУ: i 2 2i
1 e
2 x
cos 2 x , 2 e
2 x
sin 2 x

15. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

2. Случай кратных комплексных корней.
Пусть комплексное число r i
корень кратности m 2
число r i - тоже корень кратности m 2
В ФСР ЛОДУ им соответствуют 2m решений вида
x
e cos x , e
x
x
sin x ,
x
xe cos x , xe sin x ,
, ...,
x
m 1 x
e cos x , x
m 1 x
e sin x

16. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Свойства решений ЛНДУ.
.
1. y ( x) и y ( x) - частные решения ЛНДУ Ly q (x )
1
2
y1 ( x) y2 ( x) - решение ЛОДУ Ly 0 ,
соответствующего данному ЛНДУ.

17. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Свойства решений ЛНДУ.
.
1. y ( x) и y ( x) - частные решения ЛНДУ Ly q (x )
1
2
y1 ( x) y2 ( x) - решение ЛОДУ Ly 0 ,
соответствующего данному ЛНДУ.
Доказательство.
Ly1 q( x)
Ly2 q( x)
L( y1 y2 ) Ly1 Ly2 0

18. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

2. Принцип суперпозиции.
yi ( x) частные решения ЛНДУ Lyi qi ( x) , i 1,2,..., k
k
k
i 1
i 1
y ( x) yi ( x) частное решение ЛНДУ Ly qi ( x)

19. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

2. Принцип суперпозиции.
yi ( x) частные решения ЛНДУ Lyi qi ( x) , i 1,2,..., k
k
k
i 1
i 1
y ( x) yi ( x) частное решение ЛНДУ Ly qi ( x)
Доказательство.
k
k
k
i 1
i 1
i 1
L( y ( x)) L( yi ( x)) L( yi ( x)) qi ( x)

20. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Теорема о структуре общего решения ЛНДУ.
1.
2.
y(x) - частное решение ЛНДУ Ly q (x) порядка n.
i( x), i 1,2,..., n - ФСР ЛОДУ Ly 0 ,
соответствующего данному ЛНДУ.
Общее решение ЛНДУ имеет вид
n
Y ( x) y ( x) Ci i ( x)
i 1
C1 , C2 ,..., Cn - произвольные постоянные

21. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Метод неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим уравнение
( n)
( n 1)
n 1
0
где
постоянные
коэффициенты
и
0
n 1
q( x) 0 имеет специальный вид.
Правило.
Ly y
a
a , , a
y
a y q ( x)
q( x) e x Pm ( x) cos x Pm ( x) sin x
1
2
где Pm ( x) и P m ( x) многочлены
1
2
ст епениm1 и m2 , соот вет стенно
в .
Ql , Rl многочлены степени l
s x
y x e
Ql ( x) cos x Rl ( x) sin x
частное решение ЛНДУ.
с неопределенными коэффициен тами,
l max (m1 , m2 ) ,
s кратность корня i
характеристического уравнения .

22. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Примеры.
x
1. Найти общее решение уравнения y y 2e
Шаг 1. Решим ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ:
y y 0
r 2 1 0 r1, 2 i
ФСР : y1 cos x , y2 sin x
yoo C1 cos x C2 sin x
Шаг 2. Найдем частное решение ЛНДУ:
y Aex y Aex , y Aex
i 1 i s 0
Ae x Ae x 2e x A 1 y e x
Шаг 3. Запишем общее решение ЛНДУ:
y y yoo e C1 cos x C2 sin x
x

23. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

y y 2e
x
2. Найти общее решение ЛНДУ
Шаг 1. Решим ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ:
y y 0 r 2 1 0 r1, 2 1
ФСР : y1 e x , y2 e x
yoo C1e x C2e x
Шаг 2. Найдем частное решение ЛНДУ:
x
x
y Axe y Ae Axex
i 1 r1 s 1
y 2 Ae x Axex
2 Ae Axe Axe 2e
x
x
x
A 1 , y xe
x
x
Шаг 3. Запишем общее решение ЛНДУ:
y xe C1e C2e
x
x
x

24. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные Д.У.
Метод вариации произвольных
постоянных (метод Лагранжа).
Теорема.
Ly q(x) - ЛНДУ порядка n с
непрерывными коэффициентами.
1 ( x) , 2 ( x) , , n ( x)- ФСР ЛОДУ,
соответствующего данному ЛНДУ
C1 ( x),C2 ( x), , Cn ( x) т акие, чт о
y ( x) C1 ( x) 1 ( x) Cn ( x) n ( x)
решениеЛНДУ
n
Ci i 0
i 1
n
Ci i 0
/
i 1
n
( n 1)
Ci i q ( x ) .
i 1

25. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Частный случай.
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка
Тогда
y a1 y a0 y q( x)
Пусть 1 ( x), 2 ( x) - ФСР соответствующего ЛОДУ .
C1 ( x) и C2 ( x) такие , что
С1 ( x) 1 ( x) С2 ( x) 2 ( x)
частное решение ЛНДУ
C1 1 C2 2 0
C1 1 C2 2 q( x)

26. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Пример.
y 2 y y
x
e
x
Решение.
x
x
y
e
,
y
xe
2
1. ЛОДУ y 2 y y 0
ФСР 1
x
x
2. Общее решение ЛОДУ Y ( x) C1e C2 xe
AKG
3. Частное решение ЛНДУ y( x) C1 ( x)e C2 ( x) xe
4. Найдем C ( x) и С ( x)
1
2
x
x
C1 e C2 xe 0
C1 1
C1 x
x
x
1
e
x
x
C2 ln x
C1 e C2 (e xe )
C2 x
x
x
5. Общее решение ЛНДУ
x
y ( x) xe ln x xe C1e C2 xe
x
x
x
x