ЛЕКЦИИ 1 и 2 2026(1)

1.

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
ЧАСТЬ I
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Татарников Олег Вениаминович
1

2.

3.

4.

ЛИТЕРАТУРА
1. Татарников О.В., Швед Е.В. Математический анализ для экономистов. Учебник - Москва, КНОРУС.
2020. – 276 стр.
2.
Математика для экономистов. Татарников О.В., Сагитов Р.В., Чуйко А.С., Швед Е.В., Шершнев В.Г.
Учебник / Москва, 2015. Сер. 58 Бакалавр. Академический курс (1-е изд.) 593 с.
3.
Ермаков, В.И. Высшая математика для экономистов. М.: ИНФРА-М, 2016.
4.
Ермаков, В. И. Высшая математика для экономистов. Сборник задач. — М. : ИНФРА-М, 2015.
5.
Шершнев В.Г. Математический анализ. Сборник задач с решениями: Учебн. Пособие.- М, ИНФРА-М,
2013.- 164 с.
6.
Математика для экономистов. Практикум. Татарников О.В., Бирюкова Л.Г., Бобрик Г.И., Макжанова
Я.В., Раутиан Н.А., Сагитов Р.В., Швед Е.В.Учебное пособие / Москва, 2015. Сер. 58 Бакалавр.
Академический курс. 285 с
7.
Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа в 3 т. — М. : Юрайт, 2017.
8.
Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Фихтенгольц Г. М. — М. :
Физматлит, 2001.
4

5.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 1. Числовые множества и предел последовательности
1.1. Понятие множества
1.2. Числовые множества
1.3. Числовые последовательности и пределы
1.4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
1.5. Свойства сходящихся последовательностей. Признаки существования предела
1.6. Пределы композиций последовательностей
5

6.

Глава. 2. Функции одной переменной
2.1. Понятие функции
2.2. Предел функции
2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
2.4. Сравнение бесконечно малых функций
2.5. Свойства пределов функций
2.6. Замечательные пределы
2.7. Непрерывность функции
2.8. Теоремы о непрерывных на отрезках функциях
6

7.

Глава. 3. Производные и дифференциалы
3.1. Производная функции
3.2. Правила дифференцирования функций
3.3. Производные элементарных функций
3.4. Производные высших порядков
3.5. Эластичность функции
3.6. Дифференциал функции
3.7. Дифференциалы высших порядков
3.8. Теоремы о дифференцируемых функциях
3.9. Раскрытие неопределенностей при нахождении пределов. Правило Лопиталя
3.10. Формулы Тейлора и Маклорена
3.11. Примеры разложения функций по формуле Маклорена
3.12. Исследование функций
3.12.1. Монотонности функций
3.12.2. Экстремум функции
3.12.3. Выпуклости графика функции, точки перегиба
3.12.4. Построение графика функции
7

8.

Глава 4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных ...
4.1. Функция нескольких переменных
4.2. Предел функции нескольких переменных
4.3. Бесконечно малые функции нескольких переменных
4.4. Свойства пределов
4.5. Непрерывность функций нескольких переменных
4.6. Частные приращения и частные производные функции нескольких переменных
4.7. Дифференцируемость функции нескольких переменных
4.8. Полный дифференциал функции нескольких переменных
4.9. Частные производные и дифференциалы высших порядков
4.10. Частные производные сложной функции нескольких переменных
4.11. Производная функции по направлению
4.12. Градиент функции
4.13. Формула Тейлора для функций двух переменных
4.14. Локальный экстремум функции нескольких переменных
4.15. Метод наименьших квадратов (МНК)
4.16. Условный экстремум функции нескольких переменных
4.17. Глобальный экстремум функций нескольких переменных
8

9.

ЧАСТЬ 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 5. Неопределенный интеграл
5.1. Понятие неопределенного интеграла
5.2. Методы интегрирования. Метод непосредственного интегрирования
5.3. Метод замены переменной
5.4. Метод интегрирования по частям
5.5. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
5.6. Интегрирование дробно-рациональных функций
5.7. Интегрирование иррациональных функций
5.8. Интегрирование тригонометрических функций
5.9. Интегрирование иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок
5.10. Интегрирование в конечном виде
9

10.

Глава 6. Определенный интеграл
6.1. Основные определения
6.2. Условия существования определенного интеграла. Классы интегрируемых функций
6.3. Взаимосвязь определенного и неопределенного интегралов. Формула Ньютона – Лейбница
6.4. Свойства определенного интеграла
6.5. Методы интегрирования определенных интегралов
6.6. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
6. 7. Теоремы о сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования
6.8. Несобственные интегралы от неограниченных на отрезке функций
6.9. Теоремы о сходимости несобственных интегралов от разрывных функций
6.10. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычисление площадей
6.11. Вычисление объемов тел вращения
6.12. Длина дуги кривой
6.13. Приближенные вычисления определенных интегралов
10

11.

Глава 7. Двойной интеграл
7.1. Определение и геометрический смысл двойного интеграла
7.2. Свойства двойных интегралов
7.3. Вычисление двойных интегралов. Сведение двойного интеграла к повторному
ЧАСТЬ III. РЯДЫ
Глава 8. Числовые ряды
8.1. Критерии сходимости числовых рядов
8.2. Свойства сходящихся рядов
8.3. Признаки сходимости положительных рядов
8.4. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная сходимость ряда
Глава 9. Функциональные ряды
9.1. Степенные ряды
9.2. Ряды Тэйлора и Маклорена
11

12.

Часть IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
10.1. Основные понятия и определения
10.2. Графическая интерпретация решения дифференциального уравнения первого порядка
10.3. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения
10.4. Уравнения с разделенными и с разделяющимися переменными
10.5. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
10.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
10.7. Уравнение Бернулли
10.8. Уравнения в полных дифференциалах
12

13.

Глава 11. Обыкновенные дифференциальные уравнения n – го порядка
11.1. Уравнения n – го порядка, допускающие понижение порядка
11.2. Дифференциальные уравнения второго порядка, приводимые к дифференциальным уравнениям
первого порядка
11.3. Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка
11.3.1. Определения и общие свойства
11.3.2. Общее решение линейного уравнения n-го порядка
11.4. Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами
11.4.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
11.4.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Глава 12. Дифференциальные уравнения в экономических моделях
12.1. Модель естественного роста выпуска продукции
12.2. Динамическая модель Кейнса
13

14.

ЛЕКЦИЯ 1
1.2. Числовые множества
Будем рассматривать следующие числовые множества.
1.