лекция1

1. Раздел I. Дифференциальное исчисление

• Определение производной
• Геометрический и механический смысл
производной
• Таблица производных
• Формулы производных
• Правила дифференцирования
• Таблица производных элементарных
функций

2. Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применение к

исследованию функций
Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b).
Аргументу x придадим некоторое приращение x :
x0 + x (a; b)
Найдем соответствующее приращение функции:
y = f ( x0 + x) − f ( x0 )
y
f(x0+ Δx )
f(x 0 )
y
x
0
х 0 x 0 +Δx х
y
Если существует предел lim
x → 0
x
то его называют производной
функции y = f(x) и обозначают
одним из символов:
y ;
f ( x );
dy
dx

3. Определение производной

Итак, по определению:
f ( x + x ) − f ( x )
y = lim
x →0
x
Производной функции в
точке x0 называется предел
отношения приращения
функции ∆y к приращению
аргумента ∆x в этой точке
при ∆x→0.
Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой точке интервала
(a; b), называется дифференцируемой в этом интервале;
операция нахождения производной функции называется
дифференцированием.
Значение производно функции y = f(x) в точке x0 обозначается
одним из символов:
y ( x0 ); f ( x0 ); y x
y
y = lim
.
x → 0 x
'
0

4. Геометрический смысл производной

Возьмем на непрерывной кривой две точки М и М1:
y
М1
f(x0+ Δx )
f(x0 )
0
y
М
α φ
x
х0 x0+Δx х
Через точки М и М1 проведем
секущую и обозначим через φ
угол наклона секущей.
y
tg =
=
x
f ( x0 + x) − f ( x0 )
=
x
При x → 0 в силу непрерывности функции y также
стремится к нулю, поэтому точка М1 неограниченно приближается
по кривой к точке М, а секущая ММ1 переходит в касательную.
→ lim = lim tg = tg
x →0
x →0

5. Геометрический смысл производной

f ( x0 + x) − f ( x0 )
lim
= tg = k = y
x →0
x
Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к
графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x.
(геометрический смысл производной функции в точке).
Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой
коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
yy −
x 0x) - x )
− yy00 =
= кf '((xx-0 )(
0
Уравнение
касательной

6.

Механический смысл производной
Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль
координатной оси. При этом задан закон движения точки:
координата x движущейся точки – это известная функция времени x(t).
В течение интервала времени от t0 до t0+∆t точка
перемещается на расстояние
Средняя скорость точки
находится по формуле:
При ∆t→0 значение средней скорости стремится к определённой
величине, которая в физике называется мгновенной
скоростью
материальной точки в момент времени .
Следовательно, для мгновенной скорости можно записать
формулу
Если сравнить эту формулу с формулой производной, то можно
сделать вывод, что cкорость – это производная координаты по
времени

7.

Физический смысл производной.
Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс,
то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический
смысл производной.
Если функция y = f(x) и её аргумент x являются физическими
величинами, то производная f (x) – скорость изменения
величины y относительно величины x .
ПРИМЕРЫ.
а) Пусть S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t.
Тогда производная S (t0) – скорость в момент времени t0.
б) Пусть q = q(t) – количество электричества, протекающее
через поперечное сечение проводника в момент времени t.
Тогда q (t0) – скорость изменения количества электричества
в момент времени t0, т.е. сила тока в момент времени t0.
в) Пусть m = m(x) – масса отрезка [a ; x].
Тогда m (x) – скорость изменения массы в точке x0, т.е.
линейная плотность в точке x0.

8. Примеры

Выведем формулы некоторых
производных, применяя определение
производной:
1) y = x 2 имеет производную
y' = lim
(x + x )2 − x 2
x →0
x
x 2 + 2 x x + x 2 − x 2
2 x x + x 2
= lim
= lim
=
x
x
x → 0
x → 0
= lim (2 x + x ) = 2 x ;
x→0

9.

2) Написать уравнение касательной графику
2
функции y = x − 3 x в точке М(1,-2)
y − y0 = f ( x0 )( x − x0 )
[( x + x) 2 − 3( x + x)] − [ x 2 − 3 x]
y ' = f ( x) = lim
=
x → 0
x
x 2 + 2 x x + ( x) 2 − 3x − 3 x − x 2 + 3x
= lim
=
x → 0
x
x(2 x + x − 3)
= lim
= 2x − 3
x → 0
x
f ( x0 ) = y '(1) = 2 1 − 3 = −1
y − (−2) = (−1)( x − 1)
y = −x −1

10.

Дифференцирование тригонометрических функций
1. y = sin x
x + x − x
x + x + x
y = sin( x + x) − sin x = 2sin
cos
=
2
2
x
x
= 2sin cos x +
2
2
x
x
2 sin
cos x +
y
2
2
y ' = lim
= lim
=
x → 0 x
x → 0
x
x
sin
x
2
= lim
cos x +
= cos x
x → 0 x / 2
2
2. y = cos x
y ' = ( cos x ) ' = − sin x

11. Таблица производных простейших элементарных функций

12. Правила дифференцирования

Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором
интервале (a; b) функции, С – постоянная.
(C ) = 0
(u v ) = u v
(u v ) = u v + u v (C u ) = C u
(u v w ) = u v w + u v w + u v w
u u v − u v
C
−
C
v
=
=
2
2
v
v
v
v

13.

Производная
элементарной
функции
доказывается напрямую по общему правилу
нахождения производных (по определению)
( )
(
)
x + x
x
x x
e
−
e
e
e −1
x
e ' = lim
= lim
=
x
x
x → 0
x → 0
x
e
−1
x
e lim
= e x 1 = e x .
x → 0 x
Таким же образом можно получить
производные (sin x )' = cos x , (cos x )' = − sin x , а
по правилу вычисления производных
сложных функций можно вычислить и
другие производные.

14. Производная сложной функции

Пусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с
промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.
Теорема
Если функция u = φ(x) имеет производную u x в точке x а
функция y = f(u) имеет производную y u в соответствующей точке
u , то сложная функция имеет производную y x , которая
находится по формуле:
y x = y u u x
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов
несколько:
y = f (u );
u = (v );
v = g( x )
y x = y u uv v x
y = f ( (g ( x )))

15. Производная обратной функции

Теорема. Пусть функция х=f(y)
монотонна и дифференцируема в
некотором интервале (a,b) и имеет в
точке у этого интервала не равную
f ( y )
нулю производную
. Тогда в
соответствующей точке х обратная
−1
y
=
f
( x) имеет производную
функция
1
1
−1
[ f ( x)] =
или y x =
.
f ( y )
x y

16. Правила дифференцирования

17. Пример

Вычислить производную функции
y = cos(ln12 x )
Данную функцию можно представить следующим образом:
y = cos u; u = v 12 ; v = ln x
y x = y u uv v x
y u = − sin u = − sinv 12 = − sin(ln12 x )
u = 12v 11 = 12 ln11 x
1
v =
x
y = − sin(ln12 x ) 12 ln11 x
Коротко:
y = (cos(ln 12 x )) = − sin(ln 12 x ) (ln12 x )
= − sin(ln 12 x ) 12 ln11 x (ln x ) =
1
x

18. Производная степенной функции

Справедливо тождество
Тогда
x =e
n
y = (e ) = e (n ln x) =
n ln x
n ln x
n n ln x n n n−1 n
n −1
= e = x = nx , ( x ) = nx .
x
x
n ln x
.

19. Примеры

Для функции y=arcsinx обратной
является функция x=siny , которая в
интервале (-π/2;π/2) монотонна и
дифференцируема. Ее производная в
этом интервале в нуль не обращается.
Поэтому
1
1
1
1
y x =
=
=
=
.
x y cos y
1 − sin 2 y
1− x2

20.

x2 6
3 x − 45
y
=
−
+
9
Пример (простая
6
2
x
функция).
36
3
1
1 −2 / 3
−7
.
y ' = 2 x − 6 ( −6 ) x + 9 x
−0 = x+ 7 +
3 2
2
3
x
x
x
y = ( cos x + 5 ) e
Пример
(сложная) .
x
x
y = ( cos x + 5 ) e + ( cos x + 5 ) e =
( )
= ( − sin x + 0 ) e x + ( cos x + 5 ) e x = e x ( cos x − sin x + 5 ) .
Пример .
3log 2 x
y=
sin x − 2
(log 2 x) '(sin x − 2) − (sin x − 2) 'log 2 x
y' = 3
=
(sin x − 2) 2

21.

Пример .
y = e− x
y ' = e − x ( − x ) ' = −e − x .
Пример .
y = sin 2 x
y ' = cos 2 x (2 x) ' = 2 cos 2 x.
Пример .
y = cos 2 3 x
y ' = 2cos3x ( cos3x ) = 2cos3x ( − sin 3 x )( 3 x ) =
= −2cos3x sin 3 x 3 = −3sin 6x
x
Пример . y = сtg e
x
e
1
x
y ' = ctge ' = − 2 x (e x ) ' = − 2 x
sin e
sin e
(
Пример .
)
( )
y = ln (1 + 2cos x )
1
1
2sin x
y =
(1 + 2cos x ) =
( −2sin x ) = −
1 + 2cos x
1 + 2cos x
1 + 2cos x