Лекция 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1. Лекция 1

2. Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной

3. §1. Производная функции

ОПР. Производной функции y = f (x) в точке x
называется предел отношения приращения
функции Δy = f (x+ Δx) – f (x) к приращению
аргумента Δx при Δx 0, если этот предел
существует и конечен
f x x f x
y
f x lim
lim
x 0 x
x 0
x
Для обозначения производной функции
используют символы: y , f ( x ), dy , df ( x ) .
dx
dx

4.

Функция,
имеющая
конечную
производную
в
точке,
называется
дифференцируемой в этой точке, а
операция
нахождения
производной
называется дифференцированием.
Функция,
имеющая
конечную
производную в каждой точке данного
промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

5. Связь дифференцируемости и непрерывности функции

Если функция дифференцируема в
данной точке, то она непрерывна в ней.
Обратное утверждение неверно, т. е.,
если функция непрерывна в точке, то она
может быть не дифференцируемой в этой
точке.
Например, функция y x непрерывна,
но не дифференцируема в точке x = 0.

6. 1.1. Техника дифференцирования

Правила дифференцирования
Пусть u u x и v v x
дифференцируемые
функции независимой переменной x, c const
1.
2.
3.
c
0, x 1
cu
cu
u v
u v
4.
uv
u v uv
5. u u v uv
2
v
v
6. y y u
x
u
x

7. Таблица производных

1.
u
u 1u ',
2. 1
1
u 2 u
u
4. u
e e u u
6.
1
ln u u
u
8. sin u
cos u u
const
3.
5.
7.
9.
u
a
u
1
2 u
u
a ln a u
u
1
u
loga u
u ln a
arcsin u
1
1 u2
u

8.

10.
cos u
12.
sin u u
1
u
tg u
2
cos u
14.
1
ctg u 2 u
sin u
11.
arccos u
13.
arctg u
15.
arcctg u
1
1 u2
u
1
u
2
1 u
1
u
1 u2

9. Пример

Найти производные первого порядка
функций
1
1).
3
y 2x 3 x
2x
2
4
Решение. Применим формулу производной
суммы
1 2
3
y 2 x 3 x x
4
2
Далее используем формулы:

10.

2
2
(1): ( x ) 3 x ( x )' 3 x
3
(3):
(1):
x
1
2 x
( x )'
1
2 x
2 1
3
( x ) 2 x ( x )' 2 x
2
Правило (1): (4)' 0 Тогда:
1
1
2
3
y' 2 3x 3
2 x 0
2 x 2
1
6x
3.
2 x x
2
3

11.

2) y 2 x cos x;
Решение.
Используем
правило
дифференцирования произведения
uv u v uv
y 2 cos x 2
x
x
Далее, по таблице производных имеем:
x
Формула (5): 2 2 x ln 2
Формула (10):
cos x
cos x 2 cos x
x
sin x

12.

y 2 cos x 2
x
x
cos x 2 cos x
x
2 x ln 2cos x 2 x sin x 2 x ln 2cos x sin x .

13.

3) Производная сложной функции. Вычислить
производную y sin7 x;
Решение. Используем формулу
sin u
В данном случае
cos u u
u 7 x Тогда:
y (sin 7 x ) cos7 x (7 x )
cos7 x 7 ( x ) 7cos7 x

14. 1.2. Дифференциал функции

Пусть функция y f x
имеет в точке x
y
производную
lim
f ( x ) 0
x 0 x
Тогда
y f ( x ) x ( x ) x ,
где ( x ) 0 при x 0

15.

Причем, y f ( x ) x ( x ) x .
á . ì .ô
á . ì .ô
Слагаемое f ( x ) x - главная часть
приращения функции .

16.

ОПР. Дифференциалом функции y f x в
точке x
называется
главная
часть
приращения
функции,
равная
произведению производной функции на
приращение аргумента, и обозначается :
dy f x x
Так как дифференциал независимой
переменной x равен приращению этой
переменной: dx x x x , то
dy f x dx

17.

1.3. Геометрический смысл производной
Производная от функции y f x в
точке x0 равна угловому коэффициенту
касательной к графику функции в точке с
абсциссой x0 :
y
kêàñ tg lim
f ( x )
x 0 x

18. 1.4. Уравнения касательной и нормали

Уравнение касательной можно найти,
используя уравнение прямой, проходящей
( x0 ; f ( x0 ))
через данную точку
в
заданном направлении k : y y0 k ( x x0 )
А так как k f ( x0 )
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
то
уравнение касательной.

19. Уравнение нормали

Прямая перпендикулярная касательной
в точке касания называется нормалью к
кривой.
Угловые коэффициенты касательной и
нормали
связаны
условием
перпендикулярности:
1
kN
kK

20.

Потому уравнение нормали в точке( x0 ; f ( x0 ))
имеет вид:
1
y f ( x0 )
( x x0 ).
f ( x0 )
Углом между кривыми называют угол
между касательными к кривым в точке их
пересечения.

21. Экономический смысл производной. Эластичность

Пусть
функция
u=u(t)
выражает
количество произведенной продукции u за
время t. Необходимо найти производительность труда в момент времени t 0 .
За период времени от t 0 до t 0 t
количество
произведенной продукции
изменится от u0 u( t0 ) до
u0 u u( t0 t )

22.

Средняя производительность труда за
этот период времени:
u
zS
t
ОПР. Производительностью труда в
t0
момент
называется предельное
значение средней производительности за
период времени от t 0 до t 0 t при t 0 :
u( t0 t ) u( t 0 )
du
u '( t0 )
lim
dt t t0 t 0
t

23.

ОПР. Эластичностью функции y=f(x) в
точке x называется предел
y / y
y x
x
E x ( y ) lim
lim
f ( x )
x 0 x / x
x 0 x
y
y
Эластичность функции показывает на
сколько процентов изменится зависимая
переменная
y,
если
независимая
переменная x получит приращение в 1%.
В анализе и прогнозах ценовой
политики
применяется
понятие
эластичности спроса.

24.

Пусть D=D(p) – функция спроса (зависит
от цены товара p). Тогда под эластичностью
спроса понимается процентное изменение
спроса при изменении цены товара на 1%.
Различают следующие виды спроса:
1. Если |E(D)|>1, то спрос считается
эластичным;
2. Если |E(D)|=1, то спрос нейтрален;
3. Если |E(D)|<1, то спрос неэластичен;
4. Если E(D)=0, то спрос совершенно
неэластичен.

25. Упражнение

Пусть
функция
зависимостью
D( p) 5e
спроса
2 p2
задана
.
Найти при каких значениях цены p спрос
будет эластичным.