Свойства определителей

1. 3. Свойства определителей (присущи определителям всех порядков)

1) Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из
одних нулей, то ее определитель равен нулю.
a11
a12
a13
a11 0 a13
0
0
0 = 0,
a21 0 a23 = 0
a33
a31 0 a33
a31 a32
2)
Если все элементы какой-либо строки (столбца)
матрицы умножить на число λ, то ее определитель
умножится на это число λ.
a11 a12
=
= a11 a22 − a12 a21
a21 a22
a11 a12
=
= a11 a22 − a12 a21 = (a11 a22 − a12 a21 ) =
a21 a22

2.

Замечание. За знак определителя можно выносить общий
множитель любой строки или столбца в отличие от матрицы, за знак
которой можно выносить общий множитель лишь всех элементов.
Например.
2
4 6
8
0 4 = 2 4 2 2
−2 2 8
1
2 3
1
2 3
0 1 = 16 2
0 1,
−1 1 4
−1 1 4
2 4 6 1 2 3
но 8 0 4 = 2 4 0 2
− 2 2 8 −1 1 4
3)
«Равноправность строк и столбцов»: при
транспонировании матрицы ее определитель не
изменяется:
A = A

3.

4) При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее
определитель меняет знак на противоположный, т.е.
умножается на (- 1).
a11 a12
=
= a11 a22 − a12 a21
a21 a22
a12
=
a22
a11
= a12 a21 − a11 a22 = −(a11 a22 − a12 a21 ) = −
a21
5) Если квадратная матрица содержит две одинаковые
строки (столбца), то ее определитель равен нулю:
a11
a11
a12
= a11 a12 − a12 a11 = 0;
a12
a11 a11
= a11 a21 − a11 a21 = 0
a21 a21

4.

6)
Если элементы двух строк (столбцов) матрицы
пропорциональны, то ее определитель равен нулю:
a11
a12
= a21 a22
a31 a32
a13
a11
a12
a13
a11
a12
a13
a23 = a11 a12 a13 = a11
a12
a13 = = 0
a33
a31
a32
a33
a31 a32
a33
7) «Элементарные преобразования определителя»:
определитель матрицы не изменится, если к элементам
какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить
элементы другой строки (столбца), предварительно
умноженные на одно и то же число.
2 →
+
0
−1
2
3
1 = 2 3
1
4
0
2
2
1
1 0 −1
4 0
1-й столбец умножаем на 2-й
и складываем со 2-м
столбцом

5.

Теорема. Если в определителе п-го порядка
имеется столбец или строка, все элементы
которого равны нулю, кроме одного, то
разложив определитель по этому столбцу
(строке), сведем вычисление определителя
п-го порядка к вычислению единственного
определителя (п – 1)-го порядка.
Если же такого столбца (строки) нет, то,
используя
свойство
(7),
преобразуем
определитель так, чтобы в выбранном столбце
(строке) все элементы, кроме одного,
обратились в нуль.