Метод Гаусса

1.

Лекция N7
Тема:
Метод Гаусса
1

2.

Решение систем линейных уравнений.
Метод Гаусса
Пример.
x y z 3,
2 x y z 1,
x y z 1.
2

3.

1) Составим расширенную матрицы
системы
1 1 1 3
A | b 2 1 1 1 .
1 1 1 1
3

4.

2) Приведем матрицу к ступенчатому виду
x
1
A|b 2
1
1
0
0
y z
3 -2
1 1 1
+
1 1 1
1 1 3
3 1 5
1
2 0 2 2
1
1
4

5.

x
y z
1 1 1 3
0 3 1 5
0 1 0 1
x z
y
1 1 1 3
0 1 3 5 . r ( A) r ( A | b) 3
0 0 1 1
5

6.

3) Составим новую систему
x z y 3,
z 3 y 5,
y 1.
x 0;
z 3 5; z 2;
y 1;
Система имеет единственное решение
Можно было продолжить преобразования,
и привести систему к виду Гаусса.
6

7.

Теорема Кронекера-Капелли.
1) Если r ( A)
имеет решения
r ( A | b) , то система не
2) Если r ( A) r ( A | b) n , где n число неизвестных, то система имеет
единственное решение
3) Если r ( A) r ( A | b) n , то система
имеет бесконечное множество решений.
7

8.

Примеры
Пример 1. Исследовать на совместность
и решить систему методом Гаусса.
x 2 y 4,
5 x 10 y 20.
1 2 4
1 2 4 -5
A|b
0 0 0
5 10 20
r ( A | b) r ( A) 1 2
n 2
8

9.

Система имеет бесконечное множество
решений. Найдем число свободных
неизвестных k n r 2 1 1.
Базисная неизвестная
x , свободная y .
x 2 y 4.
Обозначим свободную неизвестную y c.
Получим x 4 2c.
Ответ: (4 2c, c) , где c ( , ).
9

10.

В этом примере система имеет
бесконечное множество решений.
Запишем некоторые из них:
c 0 (4;0);
c 1 (2;1).
Все решения являются точками прямой
x 2 y 4.
y
2
4
x
10

11.

Пример 2. Исследовать на совместность
и решить систему методом Гаусса.
x 2 y 3 z 2,
x 5 y z 0,
2 x 3 y 2 z 1.
1 2 3 4 -1 -2
A | b 1 5 1 0
2 3 2 1
11

12.

3
1 2
0 7 4
0 7 4
3
1 2
0 7 4
0 0
0
2
2 -1
5
r ( A) 2;
2
r ( A | b) 3;
2 .
r ( A) r ( A | b)
3
Система несовместна (по теореме
Кронекера-Капелли)
12

13.

Мы рассмотрели два метода решения
систем линейных уравнений:
1) Метод Крамера
2) Метод Гаусса
Метод Крамера предполагает вычисление
определителей. Мы вычисляли
определители 3-его порядка разложением
по элементам первой строки.
13

14.

Пример.
Способ 1.
1
2
4
3 -4 5
1 2
5
4
9 10
14
16
1
1
2
3
0 9 10
0 14
16
9 16 10 14 144 140 4.
14

15.

Способ 2.
1
2
3
1
2
4
1 2
4
1
5
4
1 5
4
1 20 48 15 8 8
21 48 31 52 48 4.
15

16.

Свойства определителей
1) Определитель не изменится, если
поменять строки на соответствующие
столбцы
2) Если у определителя 2 одинаковые
строки или столбца, то он равен нулю.
3) Если у определителя нулевая строка
или столбец, то он равен нулю.
16

17.

Свойства определителей
4) Если две строки (столбца) поменять
местами, то знак определителя
изменится на противоположный.
5) Общий множитель строки (столбца)
можно выносить за знак определителя.
6) Определитель не изменится, если к
элементам строки (столбца) прибавить
элементы другой строки (столбца),
умноженные на число.
17

18.

Пример.
Вычислить:
2
4
6
2
4
6
4
8
12 2 2
4
6
1 128 2009
0.
1 128 2009
(т.к. две одинаковые строки)
18

19.

Пусть дана матрица
a11
A
a21
a12
.
a22
Определителем второго порядка,
соответствующим данной матрице,
называется число a11a22 a21a12 .
Определитель обозначают символом
a11
a12
a21
a22
.

20.

Таким образом,
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21.
Числа a11 , a12 , a21 , a22 называются
элементами определителя
Пример
2
5
3 4
2 ( 4) 5 3 23.

21.

Приведем свойства определителя
второго порядка
1. Определитель не изменится, если
его строки поменять местами с
соответствующими столбцами, т.е.
a11
a12
a21 a22
a11
a21
a12
a22
.

22.

2. При перестановке двух строк (или
столбцов) определитель изменит
знак на противоположный, т.е.
a11
a12
a21 a22
a21 a22
a11
a12
.

23.

3. Определитель с двумя одинаковыми
строками (или столбцами) равен нулю.
4. Общий множитель всех элементов
строки (или столбца) можно
выносить за знак определителя:
a11
ka12
a21 ka22
k
a11
a12
a21 a22
.

24.

5. Если все элементы какой-либо
строки (столбца) равны нулю, то
определитель равен нулю
6. Если к элементам какой-либо строки
(или столбца) определителя прибавить
соответствующие элементы другой
строки (или столбца), умноженные на
одно и то же число, то определитель не
изменит своей величины, т.е.
a11 a12
a12
a21 a22
a22
a11
a12
a21 a22
.

25.

Определитель третьего порядка
Рассмотрим матрицу
a11 a12
a
a
21
22
a
31 a32
a13
a23 .
a33

26.

Определителем третьего порядка
называют число
a11
a12
a13
a21 a22
a23 a11
a31
a33
a32
a 12
a21 a23
a31
a33
a22
a23
a32
a33
a13
a21 a22
a31
a32
.

27.

Назовем минором, соответствующим
данному элементу определителя
третьего порядка, определитель
второго порядка, полученный из
данного вычеркиванием строки и
столбца, на пересечении которых стоит
данный элемент. Например, минор M 12 ,
соответствующий элементу a12 , есть
определитель
M 12
a21
a22
a31
a33
.

28.

Назовем алгебраическим дополнением
i j
Aij ( 1) M ij .
Например,
1 1
A11 ( 1) M11 M11,
1 2
A12 ( 1) M12 M12 .
Правило. Определитель третьего
порядка равен сумме попарных
произведений элементов какой-либо
его строки (или столбца) на их
алгебраические дополнения

29.

Пример
1 2 3
Вычислить
0 0 1.
0 2 1
Разлагаем по 1-му столбцу
1 2 3
0 0 1
0 2 1
0 1
2 1
0 1 2 1 2.

30.

Можно разлагать по 2-ой строке
1 2 3
0 0 1 ( 1)
0 2 1
2 3
1 2
0 2
2.

31.

Свойства
Все свойства определителей 2-ого
порядка остаются справедливыми для
определителей 3-его порядка.
Пример
1
2
3
Вычислить
1
2
3 0,
10 25 33
т.к. совпадают первая и вторая строки.

32.

Определители высших порядков
Все свойства определителей 2-ого и
3-его порядков сохраняются для
определителей высших порядков.
Пример
1 0 0 0
2 3 0 0
5 6 1 0
6 7 8 1
3 0 0
6 1 0 3
7 8 1
1 0
8 1
3.

33.

Обратная матрица
Понятие обратной матрицы вводится
только для квадратных матриц.
1
Опр. Матрица A называется обратной к
матрице
A , если
1
1
A A A A E.
E
- единичная матрица

34.

Теорема. Для того, чтобы квадратная
матрица A имела обратную, необходимо и
достаточно, чтобы матрица A была
невырожденной, т.е. чтобы её
определитель был отличен от нуля.
Рассмотрим
a11 a12
A a21 a22
a
31 a32
a13
a23 .
a33

35.

Составим матрицу из алгебраических
дополнений
A11
B A21
A
31
A12
A22
A32
A13
A23 .
A33
Составим новую матрицу BT ,
поменяв местами строки и столбцы
T
(матрица
называется
B
транспонированной).

36.

A11
T
B A12
A
13
A11
1
1
A
A
12
A
A13
A21
A22
A23
A21
A22
A23
A31
A32 .
A33
A31
A32 .
A33

37.

Составим матрицу, обратную матрице
второго порядка
Здесь
Тогда
a11 a12
A
.
a21 a22
A11 a22 ; A12 a21;
A21 a12 ; A22 a11.
1 a22 a12
A
.
a
A 21 a11
1

38.

1 2 0
A 3 2 1 .
0 1 2
A 9; A 0,
Пример.
то A – невырожденная, и, следовательно,
существует обратная матрица

39.

Вычисляем алгебраические дополнения:
A11 3;
1 2
A12 ( 1)
A21
2 0
1 2
3 1
0 2
6;
4; A22
1 0
0 2
2.

40.

A23 ( 1)
2 3
1 2
0 1
1;
A32 ( 1)
A31 ( 1)
3 1
2 0
2 1
3 2
1 0
3 1
1;
2;
A33 ( 1)
3 3
1 2
3 2
4.

41.

3 6 3
1
1
A 4 2 1
9
2 1 4
T
2
1
3
3
4
2
9
9
2
1
9
9
T
1 1
4
3
3
9
1 2
2
9 3
9
4 1
1
9 3
9
2
9
1
.
9
4
9

42.

Свойства
1.
2.
AB A B .
1
1
A .
A
Примеры
1 2
A
;
0 1
3 4
B
.
5 6
Вычислить определитель
произведения AB .

43.

По свойству 1
AB A B
1 2 3 4
0 1 5 6
(1 0) (3 6 4 5) 2.

44.

Домашнее задание
1. Проверить, что,
действительно A
A E.
1 2 0
A 3 2 1 ;
0 1 2
4
1
3
9
2
2
1
A
3
3
1
1
9
3
1
2
3
1
;
9
4
9

45.

Домашнее задание
2.
2 3
4 1
A
; B
.
4 5
2 1
Вычислить
A B,
1
1
A , B .