Пределы числовых последовательностей

1.

Определения:
lim wn = + (− )
n →
A N = N ( A) : n N wn A (wn A).
lim n2 = +
n →
lim (−n2 ) = −
n →
n
lim (−2) =
n →

2.

Последовательность, имеющая предел,
называется сходящейся. lim an = a
n→
Частный случай lim n = 0 n − бм
n →
Последовательность, не имеющая предел,
называется расходящейся.
Частный случай
wn − ББ lim wn =
n →

3.

Пример расходящейся последовательности, не
являющейся бесконечной: 1, − 1 ,1, ..., ( −1)
Пусть ее предел
−1
a 0.
Возьмем
a− 0 a
n +1
, ...
1,
a+
в окрестность (a − ; a + ) не попадают
2k +1
a2k = (−1)
= −1.
a 0 не будет пределом.
Аналогично, a 0 не будет пределом.

4.

Важные примеры
1.
lim
1
= 0,
lim n = , 0.
n →
n→ n
n
n
2. lim q = 0, q 1, lim q = , q 1.
n →
n →
3. если n cn = C = const , то
lim cn = C
n→
n
1
n
2
1
lim
= 0; lim (−1) n = ; lim − = 0;
n →
n → n
n → 2
lim 3 = 3;
n →
lim (−1)n − не существует.
n →

5.

Ограниченные и неограниченные
последовательности
Определение1. an -ограничена, если m, M R :
n m an M .
Или, если
M 0 : n
an M .
Определение2. an -ограничена сверху (снизу), если
M R : n an M
( m R : n m an ).
Определение 3. an - неограничена, если
если M 0 n : an M .

6.

Примеры.
1
1. an = : 1, 1 , 1 , 1 ,...
2 3 4
n
− бм ,
- ограничена 0 a
n
2. an = 2 :
3. an =
n 1
2, 4, 8, 16,… − ББ ,
- ограничена снизу 2 an
(− 2) : -2, 4, -8, 16,… − ББ,
n
- не ограничена.

7.

Основные свойства пределов
(1)
Последовательность не может иметь
двух пределов:
lim an = a, lim an = b a = b.
n→
n→

8.

Доказательство
Пусть
b−a
a b. Выберем =
3
a
a
n
n
a a+ b− b
По определению предела
N a и Nb :
an O (a), n N.a ; an O (b), n Nb
Возьмем
n max{N a , Nb }
Противоречие: одно число не соответствовать разным
точкам

9.

(2)
Сходящаяся последовательность an
( lim an = a) всегда ограничена:
n→
Док-во:
n N
a2
m
m N
am a1
an
a−
,
a a+
Возьмем любое 0 Вне
-
M
окрестности
несколько точек, остальные an (n N ) внутри .

10.

Или все точки внутри
a−
m
a
a+
M
Ограниченная последовательность
не всегда сходящаяся.
Последовательность
1, − 1 ,1, ..., ( −1)
- ограниченная, расходящаяся
n +1
, ...

11.

(3)
Если предел последовательности
отличен от нуля, то ее члены
с достаточно большими номерами
сохраняют знак:
lim an = a 0 N : n N an a 0.
n →
a 0
an 0
=a
0
a
a+

12.

Последовательности
an
an + bn , an − bn , anbn , b , bn 0
n
называются соответственно суммой, разностью,
произведением и частным последовательностей
an и bn

13.

Свойства бесконечно малых
(I)
Алгебраическая сумма двух (или нескольких)
бесконечно малых – бесконечно малая.
(II)
Произведение бесконечно малой на
ограниченную – бесконечно малая.
.
Произведение бесконечно малой на
бесконечно малую –бесконечно малая.

14.

Пример
()
n
1
sin n
Найти lim
n → 2
sin n 1 - ограниченная,
()
n
lim 1 sin n = 0
2
n →
()
1 n - бм.
2

15.

(4).Арифметические свойства пределов
Пусть:
lim an = a, lim bn = b, тогда:
n→
а)
n →
lim (an + bn ) = a + b,
n →
б)
lim (an bn ) = a b,
n→
в)
an a
lim ( ) = , (b 0, bn 0).
b
n→ bn

16.

Добавления к арифметическим свойствам
an = a, C = const тогда:
n →
lim (C an ) = Ca.
1. Пусть: lim
n →
2. Пусть: lim an = a,
n →
А)
Б)
an
1
lim
(
)
=
0
,
lim bn = ,
=
0
bn
n →
n →
lim bn = 0,
an
1 =
lim ( ) = , 0
b
n
n →
n →

17.

,
3. Не определен
an
lim ( ) = ?
bn
если:
n →
,
А) lim an = , lim bn = , = ?
n →
n →
0
lim
a
=
0
,
lim bn = 0, = ?
Б)
n
0
n →
n →
примеры:
lim
n = ,
,
n →
,
n
1
lim
= lim
= 0,
n
n
n →
n →
lim n = ,
n →
n
lim
= ,
n
n →

18.

4.
а) Если
lim an = + ,
n →
то
б)
lim bn = + ,
n →
lim (an + bn ) = + , (+ + = + ),
n →
− − = − ,
в)
+ − =?

19.

1
2+
2
2
2n + n : n
n
=
lim
=
lim
= =
2
2
100
:
n
n
+
100
n→
n→ 1 +
2
n
1
1
lim 2 +
lim
2
+
lim
n
n
n
→
n
→
n→
=
=
=
100
100
lim
1
+
lim
lim 1 +
2
n
2
n
→
n
→
n→
n
2+0
=2
1+ 0
Пример

20.

Пример
2n2
lim ( 2 ) = 2 =
lim (
)= =
2
1
0
2
n
+
1
n
→
+
n →
n n2
2n2
lim (
− n) = ( − ) =
Пример
2n + 1
= lim (
n →
n →
2n2 − 2n2 − n
2n + 1
−
n
) = lim (
) = =
2n + 1
−1
1
= lim (
)=−
1
2
n → 2 +
n
n →

21.

(5)Сравнение сходящихся
последовательностей
5.1.Если
lim an = a,
n→
и для всех
выполнено
n
lim bn = b,
n →
(или начиная с некоторого)
an bn ,
a b
то

22.

5.2. Оценочный признак существования предела.
«Теорема о двух полицейских».
Если
lim an = a,
n→
lim bn = a,
n→
и для всех
n
выполнено
an xn bn ,
lim xn = a.
n→
(или начиная с некоторого)
то

23.

Примеры
1
lim 1 + 2 = 1
n
n →
1
1
1 1+ 2 1+ 2
n
n
0

24.

2.
2n
lim
=0
n!
n →
2n 2 2 2 ... 2
2
0
=
2
n! 1 2 3 ... n
n
2
lim 2 = 0
n
n →

25.

Монотонные последовательности
an - возрастающая (убывающая), если
n an an +1 , ( an an +1);
an - не убывающая (не возрастающая), если
n an an +1 , ( an an +1)
Такие последовательности наз. монотонными.

26.

()
Примеры
n
1. an = 1 : 1 , 1 , 1 , 1 ,...
2
2 4 8 16
ограничена
1
0 an и убывает (монотонна).
2
n
2. an = 2 : 2, 4, 8, 16,…
ограничена снизу 2 an , возрастает (монотонна).
n
1
3. an = −
: − 1 , 1 ,− 1 , 1 ,...
2
2 4 8 16
( )
−1
1
an , не монотонна
ограничена
2
4

27.

Теорема Вейерштрасса
Монотонная ограниченная
последовательность сходится всегда.
Замечание. Последовательность может быть
монотонной, начиная с некоторого номера.

28.

Число e
1
xn = 1 +
n
n
1
lim 1 + = e
n
n →
n
- возрастающая, ограниченная
lim xn
n →

29.

( )
Пределы 1
1
1. lim 1 +
qn
n →
qn
= e,
если
lim qn =
n →
1
2. lim (1 + n ) n = e, если lim n = 0,
n →
n →
qn n
1
q
n = lim (1 + ) n
=
(
)
lim
1
+
3.
n
n
n →
n →
lim ( n qn )
= en →
.

30.

Пример
n
2
lim 1 + =
n
n →
lim 1 +
n
n →
2
n
2
2
2
= lim (1 + ) = e
n
n →
e
n
2
2 2
=

31.

Пример
3n
n
lim 1 + 2
n + 1
n →
n2 +1 n
2 3n
n n +1
= lim 1 + n )
n2 + 1
n →
n 3n
n2 +1 n2 +1
) n
=
n
= lim (1 + 2
n
+
1
n →
n 3n
lim n2 +1
= en →
= e3
=