Последовательности. Предел последовательности. (Семинар 1)

1.

Семинар 1. Последовательности. Предел последовательности.
1. Понятие предела.
Определение
Последовательность x n называется сходящейся, если существует такое число а,
что последовательность xn a является бесконечно малой. При этом число а
называется пределом последовательности x n . В соответствии с эти определением
всякая бесконечно малая последовательность сходится и имеет своим пределом число
0.
Другое определение
Последовательность x n называется сходящейся, если существует такое число а,
что 0 можно указать номер N N ( ) , такой, что при n N все удовлетворяют
xn
неравенству
(1). xЧисло
а – предел последовательности.
n a
Символическая запись lim n xn a или xn a при n .
2. Свойства сходящихся последовательностей
Теорема 1
Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Теорема 2
Сходящаяся последовательность ограничена.
Теорема 3
Сумма сходящихся последовательностей x n и y n есть сходящаяся
последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей x n
и y n .

2.

Теорема 4
Разность сходящихся последовательностей x n и y n есть сходящаяся
последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей x n
и y n
Теорема 5
Произведение сходящихся последовательностей x n и y n есть сходящаяся
последовательность, предел которой равен произведению пределов
последовательностей x n и y n .
Теорема 6
Частное двух сходящихся последовательностей x n и y n при условии,
что предел последовательности y n отличен от 0, есть сходящаяся
последовательность, предел которой равен частному пределов
последовательностей x n и y n .
Теорема 7
Если элементы сходящейся последовательности x n , начиная с некоторого
номера, удовлетворяют неравенству xn b, xn b , то и предел а этой
последовательности удовлетворяет неравенству a b, a b
Теорема 8
Пусть lim n xn a и lim n z n a . Пусть также начиная с некоторого
номера элементы последовательности y n удовлетворяют неравенству
xn y n z n , тогда lim n yn a

3.

2.Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение 1. Последовательность x n называется ограниченной сверху (снизу),
xn
если существует такое число M (число m), что каждый элемент последовательности
x n
удовлетворяет неравенству
xn M ( xn m)
M – верхняя грань; m – нижняя грань. xn M ( xn m) - условие ограниченности
последовательности сверху (снизу).
Замечание Любая ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет
бесчисленное множество верхних ( нижних) граней.
Определение 2. Последовательность x n называется ограниченной с обеих сторон
или просто ограниченной, если существует такие числа M и m, что каждый элемент x
последовательности x n удовлетворяет неравенству m x n M
M – верхняя грань; m – нижняя грань.
Если x n ограничена, то все элементы x n этой последовательности удовлетворяют
неравенству xn A , где A max M , m
Определение 3. Последовательность x n называется неограниченной, если для
любого положительного числа А найдется элемент x n этой последовательности,
удовлетворяющий неравенству xn A.
Примеры:
2 - ограничена сверху и не ограничена снизу.
1)последовательность -1, -4, -9, …,- n ,…
Верхняя грань – число больше или равно -1.

4.

2)Последовательность 1, ½,1/3,…,1/n, … - ограничена. M 1, m 0
3)Последовательность 1, 2, 1, 3, ….,n, 1, (n+1), … - не ограничена.
3. Монотонные последовательности
Определение
Последовательность x n называется неубывающей (невозрастающей), если для
всех номеров n справедливо неравенство xn xn 1 ( xn xn 1 ).
Общее название – монотонные последовательности.
Если для всех n xn xn 1 xn - возрастающая.
Если для всех n xn xn 1 xn - убывающая.
Общее название – строго монотонные.
4. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
Определение 1.
Последовательность x n называется бесконечно большой, если для любого
положительного числа А можно указать номер N такой, что для n N все
элементы x n удовлетворяют неравенству xn A
Определение 2
Последовательность n называется бесконечно малой, если для 0 , можно
указать номер N такой, что при n N все элементы n этой последовательности
удовлетворяют неравенству n .
Примеры с решениями
Пример 1. Доказать исходя из определения, что число 1 является пределом
последовательности xn n /( n 1)(n 1,2,...)
n
1
1
Доказательство. Рассмотрим модуль разности x n 1
. Введем
n 1
n 1

5.

произвольное число 0. Неравенство xn 1 будет выполнено, если 1 /( n 1)
то есть при n 1/ 1 . В качестве N возьмем какое-нибудь натуральное число,
удовлетворяющее условию N 1/ 1 , то есть 1 /( N 1) . Тогда для всех n N
выполнены неравенства x n 1
1
1
. Это и означает, что число 1
n 1 N 1
есть предел последовательности xn n /( n 1)( n 1,2,...) , то есть
n
1
lim
n
1
n
n
Пример 2. Доказать исходя из определения, что lim (1 / 3) 0.
n
Доказательство.
Так как 3 n n для любого n 1, то (1 / 3) n 0 1 / 3 n 1 / n .
Пусть 0, выберем натуральное N такое, что 1/ N . Тогда для любого n N
имеем (1 / 3) n 0 1 / n 1 / N . Значит lim (1 / 3) n 0.
n
Пример 3. Доказать, что последовательность (n 2 10) / n расходится.
Доказательство. Докажем, что данная последовательность неограниченна. Имеем
xn n 10 / n n 10
Пусть С – произвольное положительное число. Возьмем какое-нибудь натуральное
число n C 10, тогда x n n0 10 C . Это означает, что последовательность
(n
0
2
0
10) / n неограниченна, а поэтому расходится.
3
2
5
n
3
n
Пример 4. Найти lim
n
n3 1
Решение. Преобразуем формулу общего элемента к виду
xn
5 3/ n
1 1/ n3 .

6.

Учитывая, что 1 / n , 1 / n 3 - бесконечно малые последовательности, и используя
lim (5 3 / n)
5 3/ n
5
теоремы о пределах, получаем
n
lim
n
1 1/ n
3
lim (1 1 / n )
3
n
1
5
Пример 5. Пусть lim x n 0, x n 1 для любого n; пусть p – натуральное число.
n
p
Доказать, что lim 1 x n 1
n
Доказательство. Если xn 0, 1 xn 1 1 p 1 xn ( p 1 xn ) p 1 xn 1 | xn |,
p
p
а если 1 xn 0 0 1 xn 1 поэтому 1 1 xn ( 1 xn ) 1 xn 1 | xn |.
p
Объединяя эти результаты, для любого xn 1получаем 1 | xn | p 1 xn 1 | xn |.
Так как lim x n 0 lim | x n | 0 и lim (1 | x n |) lim (1 | x n |) 1
n
n
n
n
. Отсюда
следует, что и lim p 1 xn 1
n
Пример 6. Найти lim ( n n n)
n
Решение. Преобразуем формулу общего элемента:
2
n2 n n
( n 2 n n)( n 2 n n)
n n n
2
n
n n n
2
1
1 1/ n 1
.

7.

Поскольку
lim (1 / n) 0 lim ( n 2 n n)
n
n
1
lim 1 1 / n 1
n
1
2
Задания для самостоятельного решения
1.Доказать, что
lim x n 0
n
, указав для каждого
0 такое N, что для любого
n N верно неравенство xn , если
1) x n 1 / n;
2)
3) x n ( 1) n 11 / n;
1 ( 1) n
5) xn
n
2. Доказать, что:
n b
1) lim
1, b R
n
n
3n
3
3) lim
n 2n 1
2
2
n
1
5) lim
1
n n 2
1.Доказать, что
xn a / n;
2 ( 1)
n
1
n
6) x n sin
n
2
4) x n
(a – произвольное данное число);
n
n
1
n 2n 1
2
2) lim
2 n
1
n 2 n
1
lim p 0, p 1
n n
4) lim
6)
x n - бесконечно малая последовательность, если

8.

2
n
1
1) x n
;
3
n
2n 3
;
2) x n
2
n
n
3) x n q / n; | q | 1 4) x n
2n 1
(n 1)2 n
4. Доказать, что последовательность
n
x
(
1
)
n;
1) n
n 2 2n
3) x n
n 1
2)
xn n
( 1) n
2
4) x n n sin
x n
;
n
4
5)
xn
sin n
n
расходится, если
5)
xn (0,5) (( 1)
n
1) n