05_math_1.1_Вект. алгебра-1(student) - копия

1.

СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
Предположим, что в результате перемножения квадратной матрицы на
матрицу-столбец получается тот же столбец с коэффициентом. Это
особый случай операции умножения матриц, и он приводит к понятию
собственных чисел и собственных векторов
x1
x2
X
=
ОПР. Ненулевой вектор
называется собственным вектором
...
xn
квадратной матрицы А порядка n, если
AX = X
Число называется собственным значением матрицы А
пропустить 10 клеточек

2.

Алгоритм
нахождения собственных значений и собственным векторов
Имеем AX = X =< AX - X = 0 =<
(A - E)X = 0 (*) – система однородных уравнений
a12
...
a1n
a11 −
a
a
−
...
a
22
1n
В развернутом виде:
( A − E ) = 21
...
...
...
...
a
a
...
a
−
n2
nn
n1
(a11 − ) x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0
Тогда (*) : a21x1 + (a22 − ) x2 + ... + a2n xn = 0
−
−
−
−
−
−
an1x1 + an 2 x2 + ... + (ann − ) xn = 0
Cистема однородных уравнений имеет нетривиальные решения, если det A = 0
a11 −
a12
...
a1n
a21
a22 − ...
a1n
| A − E |=
=0
...
...
...
...
an1
an 2
... ann −

3.

Уравнение
|A - | = O
называется характеристическим уравнением матрицы A,
а многочлен степени n, который при этом получается,
называется характеристическим многочленом
пропустить 2 страницы

4. Глава II. Векторная алгебра

Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над
векторами, называется векторным исчислением.
Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и
векторный анализ.
В векторной алгебре изучаются линейные операции над
свободными векторами (сложение векторов и умножение
вектора на число) и различные произведения векторов
(скалярное, псевдоскалярное, векторное, смешанное и
двойное векторное).
В векторном анализе изучают векторы, являющиеся функциями
одного или нескольких скалярных аргументов.

5. § 6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов

1. Основные понятия
Вспоминаем школьную программу
ОПР. Вектором называется направленный отрезок
(т.е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек
принимается за начало, а вторая – за конец).
Обозначают: AB (где А – начало вектора, В – его конец),
a, b и т.д.
Изображают:
a
A
B

6.

Расстояние от начала вектора до его конца называется длиной
(или модулем) вектора. Обозначают: AB или a .
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.
Вектор, начало и конец которого совпадают, называется
нулевым. Обозначают 0 .
Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет
длину, равную нулю.
Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых,
называются коллинеарными
(параллельными).
Записывают: a || b – если векторы a и b коллинеарные,
a ∦ b – если векторы a и b неколлинеарные.
Коллинеарные векторы бывают:
a b
сонаправленными a b Пример:
a
противоположно направленными
a b
b

7.

Два вектора a и b называются равными, если они сонаправлены
и имеют одинаковую длину.
a = b .
Все нулевые векторы
считаются равными.
Векторы a и b , лежащие на перпендикулярных прямых,
называются перпендикулярными
(ортогональными).
a ⊥b .
Векторы, лежащие в одной или в параллельных плоскостях,
называются компланарными.
Векторы, начала которых строго фиксированы называют
связанными;
Векторы, начала которых можно перемещать (параллельно
переносить), называют свободными.
Пример – сила тяжести. Какой вектор?
пропустить 20 клеточек

8. 2. Линейные операции на множестве векторов

1) Умножение на число; 2) Сложение
векторов
ОПР. Произведением вектора a 0 на
число 0 называется
вектор, длина которого равна | | · | a | ,
а направление совпадает с направлением вектора a при > 0
и противоположно ему
при < 0 .
a
Обозначают:
Если a = 0
или = 0, то a = 0 .
a
Вектор (–1) называют противоположным вектору a
−a .
Обозначают
пропустить 5 клеточек
ЛЕММА 1 (критерий
векторов).
коллинеарности
a
Два вектора
и b коллинеарны тогда и только тогда,
когда a = b , для некоторого числа 0 .

9.

ОПР. (сложение - правило треугольника).
Пусть даны два вектора
a и b .
Поместим начало b в конец a .
Вектор, соединяющий начало первого и конец второго
построенных векторов, называется суммой векторов a и b
и обозначается a + b.
a
b
Следствие – правило многоугольника.
пропустить 10 клеточек

10.

ОПР. (правило параллелограмма).
Пусть даны два вектора ā и b̄ .
Совместим их начала, построим
параллелограмм.
на
этих
векторах
пропустить 15 клеточек
Частный случай: сумма a + ( −b )
Сумму a + ( −b ) называют
разностью векторов ā и b̄ и
обозначают a − b .
пропустить 20 клеточек

11. СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ НАД ВЕКТОРАМИ

1) a + b = b + a ; (коммутативность сложения векторов)
2) (a + b ) + c = a + (b + c ); (ассоциативность сложения
векторов)
3) a + 0 = a;
4) a + (−a ) = 0;
5) ( a ) = ( )a; (ассоциативность относительно
умножения чисел)
6) ( + )a = a + a; (дистрибутивность умножения
на вектор относительно
сложения чисел)
7) (a + b ) = a + b ; (дистрибутивность умножения на
число относительно сложения
8) 1 a = a;
векторов)
Найдите аналогию с тем, что учили в школе