19 лекция Рац. дроби (без Хеллоуина)

1.

Рациональные дроби.
Разложение правильной
рациональной дроби в сумму
простейших дробей

2. Рациональные дроби

Пусть есть 2 многочлена с вещественными коэффициентами:
P(x) = a0 xn +a1 xn – 1 +a2 xn – 2+…+ an, deg P(x) = n
Q(x) = b0xm +b1 xm – 1 +b2 xm – 2+…+ bm, deg Q(x) = m ≥ 1.
Рациональная дробь – выражение вида:
Функция
f ( x) =
P( x)
.
Q( x)
P( x)
дробно-рациональная функция
Q( x)
➢ Если n < m, то дробь называется правильной
➢ Если n ≥ m, то дробь называется неправильной
P( x)
R( x)
= S ( x) +
, deg S ( x) = n − m, deg R( x) deg Q( x)
Q( x)
Q( x)
R( x) 0
R( x)
− правильная дробь
Qm ( x)
Раздел 6. Комплексные числа и многочлены.
Рациональные дроби
2

3. Простейшие правильные дроби

I
A
x−a
a, A R
A
II ( x − a )
III
k N, k 2
k
M , N , p, q R ,
Mx + N
x 2 + px + q
D = p 2 − 4q 0
Mx + N
IV (x + px + q )
2
k
Раздел 6. Комплексные числа и многочлены.
Рациональные дроби
3

4. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших

Теорема
Всякую правильную рациональную дробь можно представить
в виде конечной суммы простейших дробей, причем это
разложение единственно с точностью до перестановки
слагаемых.
В этой сумме в самом общем случае участвуют все виды простейших дробей,
общий знаменатель которых равен многочлену в знаменателе исходной дроби.
Коэффициенты простейших дробей находятся методом неопределенных
коэффициентов.
Раздел 6. Комплексные числа и многочлены.
Рациональные дроби
4

5. Примеры разложения в сумму простейших дробей

1
Пример 1 Представить в виде суммы простейших дробей 2
x −1
1
A( x + 1) + B( x − 1)
1
A
B
=
=
=
+
2
(x − 1)(x + 1)
x − 1 ( x − 1)( x + 1) x − 1 x + 1
A( x + 1) + B( x − 1) 1
I способ
x → 1 A(1 + 1) + B(1 − 1) 1 2 A = 1 A = 12
x → −1 −2 B = 1 B = − 12
II способ
A = 12
A + B = 0
1
A
−
B
=
1
B
=
−
2
1
1
1
2
2
=
−
x2 −1 x −1 x +1
Раздел 6. Комплексные числа и многочлены.
Рациональные дроби
5

6.

3x 3 + 3x 2 − 9 x + 9
Представить в виде суммы простейших дробей
(x − 1)2 x 2 + x + 1
(
Пример 2
)
3x 3 + 3x 2 − 9 x + 9
A
B
Cx + D
=
+
+
=
2
2
2
2
(x − 1) x + x + 1 (x − 1) x − 1 x + x + 1
(
(
)
)
(
)
A x 2 + x + 1 + B( x − 1) x 2 + x + 1 + (Cx + D )( x − 1)
=
(x − 1)2 x 2 + x + 1
x2 − 2x +1
(
)
(
(
)
2
)
A x 2 + x + 1 + B( x − 1) x 2 + x + 1 + (Cx + D )( x − 1) 3 x 3 + 3 x 2 − 9 x + 9
2
x → 1 3A = 3 + 3 − 9 + 9 = 6 A = 2
x3 B + C = 3
2 A − 2C + D = 3
x
1
x A + C − 2 D = −9
x 0 A − B + D = 9
B + C = 3
− 2C + D = 1
C − 2 D = −11
− B + D = 7
Раздел 6. Комплексные числа и многочлены.
Рациональные дроби
1 0 3
1
0 − 2 1 1
−1 0 1 7
6

7.

1 0 3
1
1 1 0 3
1 1 0 3
0 − 2 1 1 → 0 − 2 1 1 → 0 1 1 10 →
−1 0 1 7
0 1 1 10
0 − 2 1 1
1 1 0 3 1 1 0 3
1 1 0 3
→ 0 1 1 10 → 0 1 1 10 → 0 1 0 3 →
0 0 3 21 0 0 1 7
0 0 1 7
A=2
1 0 0 0
B=0
→ 0 1 0 3
0 0 1 7
C =3
D=7
3x 3 + 3x 2 − 9 x + 9
2
3x + 7
=
+
(x − 1)2 x 2 + x + 1 (x − 1)2 x 2 + x + 1
(
)
Раздел 6. Комплексные числа и многочлены.
Рациональные дроби
7

8.

1
Пример 3 Представить в виде суммы простейших дробей 4
x +1
4
4
2
2
2
2
2