Интегрирование рациональных функций

1.

Интегрирование рациональных
функций
Дробно – рациональная функция
Простейшие рациональные дроби
Разложение рациональной дроби на простейшие
дроби
Интегрирование простейших дробей
Общее правило интегрирования рациональных
дробей
900igr.net

2.

Дробно – рациональная функция
Дробно – рациональной функцией называется функция, равная
отношению двух многочленов:
многочлен степени m
P (x)
f (x)
m
Qn ( x )
многочлен степени n
Рациональная дробь называется правильной, если степень
числителя меньше степени знаменателя, то есть m < n , в
противном случае дробь называется неправильной.
Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления
числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена
L(x) и правильной рациональной дроби:
P( x )
R( x )
L( x )
Q( x )
Q( x )

3.

Дробно – рациональная функция
x 5x 9
x 2
4
Привести неправильную дробь к правильному виду:
x 4 5x 9 x 2
3
2
4
3
4x 3
x
2x
x 2x
2x 5 x 9
2x 3 4 x 2
4x 2 5x 9
4x 2 8x
3x 9
3x 6
15
3
x 4 5x 9
x 2
15
3
2
x 2x 4 x 3
x 2

4.

Простейшие рациональные дроби
Правильные рациональные дроби вида:
V
A
x a
A
x a
k
(k 2; k N )
Mx N
2
x px q
x
Mx N
2
px q
( p 2 4q 0)
k
( p 2 4q 0;
k 2; k N )
Называются простейшими рациональными дробями
, , , V типов.

5.

Разложение рациональной дроби на
простейшие дроби
P( x )
Теорема: Всякую правильную рациональную дробь
Q( x )
знаменатель которой разложен на множители:
,
Q( x ) ( x x1 ) ( x x2 )k ( x 2 p1x q1 )
( x 2 p2 x q2 )s
можно представить, притом единственным образом в виде суммы
простейших дробей:
B1
B2
Bk
A
P( x )
2
k
x x2 ( x x2 )
( x x2 )
Q( x ) x x1
Cx D
M1x N1
M 2 x N2
2
2
2
2
x p1x q1 x p2 x q2 ( x p2 x q2 )
M s x Ns
2
s
( x p2 x q2 )

6.

Разложение рациональной дроби на
простейшие дроби
Поясним формулировку теоремы на следующих примерах:
A
x2 4
B3
B1
B2
3
2
( x 2)( x 3)
x 2
x 3 ( x 3)
( x 3)3
Cx D
A1 A2
x3 3
2 2
2
2
x ( x 1)
x 1
x
x
M1x N1
M 2 x N2
A
7x 2 8x 9
2
2
2
2
x 4 x x 1 ( x x 1)2
( x 4)( x x 1)
Для нахождения неопределенных коэффициентов A, B, C, D…
применяют два метода: метод сравнивания коэффициентов и
метод частных значений переменной. Первый метод
рассмотрим на примере.

7.

Разложение рациональной дроби на
простейшие дроби
Представить дробь в виде суммы простейших дробей:
A 1 Bx3 xC 2
2x 3 x 3
2 2
2
( x 1)( x 2x 5) x x1 1 x x 2 x2 x5 5
2
A( x 2 2x 5) (Bx C )( x 1)
2
( x 1)( x 2Приведем
x 5) простейшие
Ax 2 2Ax
x
2
x1
x
0
дроби
5 A Bxк2общему
Cx знаменателю
Bx C
2x 2 3 x 3
Приравняем числители
A 1
получившейся и исходной
дробей
A B 2
2A C B 3 B 3
коэффициенты
C 2
5 A C Приравняем
3
при одинаковых степенях х

8.

Интегрирование простейших дробей
Найдем интегралы от простейших рациональных дробей:
A
d ( x a)
dx
A
A ln x a C
x a
x a
A
k
dx
A
x
a
d ( x a)
k
x a
A x a
k 1
k 1
C
Mx N
x 2 px q dx
Интегрирование дроби 3 типа рассмотрим на примере.

9.

Интегрирование простейших дробей
3x 1
3x 1
x 2 2x 10 dx ( x 2 2x 1) 9 dx
x 1 t
3x 1
3(t 1) 1
dx x t 1
dt
2
2
( x 1) 9
t 9
dx dt
3t 2
t dt
dt
3 d t2 9
2
dt 3 2
2 2
2
t 9
t 9
t 9 2
t 9
2
t
2
t 3
2
arctg ln t 9 arctg C
3
3
3
3 2
3
2
x 1
2
ln x 2 x 10 arctg
C
2
3
3

10.

Интегрирование простейших дробей
V
x
Mx N
2
px q
k
dx
Интеграл данного типа с помощью подстановки:
приводится к сумме двух интегралов:
M
t
t dt
2
a
2 k
N1
t
dt
2
a
p
x t
2
2 k
Первый интеграл вычисляется методом внесения t под знак
дифференциала.
Второй интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы:
k
t
dt
2
a
2 k
1 2k 3
t
2
k 1
2
2 k 1
a 2k 2
2(k 1)(t a )

11.

Интегрирование простейших дробей
dt
3 2
(t 1)3
dt
a = 1; k = 3
1 2
arctg t
t 1
dt
2 2 3
t
2
1
2
2
2
2 2 2
2(2 1)(t 1)
t 1
1
t
arctg t
2
2(t 2 1)
2 3 3
t
3
2
2
2
2 3 2
2(3 1)(t 1)
3 1
t
t
arctg t
C
2
2
2
4 2
2(t 1) 4(t 1)

12.

Общее правило интегрирования
рациональных дробей
Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы
многочлена и правильной дроби.
Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на
множители, представить ее в виде суммы простейших дробей
с неопределенными коэффициентами
Найти неопределенные коэффициенты методом сравнения
коэффициентов или методом частных значений переменной.
Проинтегрировать многочлен и полученную сумму
простейших дробей.

13.

Пример
Приведем дробь к
x 5 2x 3 4 x 4
dx
правильному виду.
3
2
x 2x x
x 5 2x 3 4 x 4 x 3 2 x 2 x
2
5
4
3
2x 5
x
x 2x x
2x 4 x 3 4 x 4
4
3
2
2x 4 x 2x
3
2
5 x 2x 4 x 4
3
2
5 x 10 x 5 x
8x 2 x 4
2
x 5 2x 3 4 x 4
8
x
x 4
2
x 2x 5 3
3
2
x 2x x
x 2x 2 x

14.

Пример
8x 2 x 4 8x 2 x 4
A
B
C
3
2
2
x 2x x
x x 1 ( x 1)2
x( x 1)
A( x 1)2 Bx( x 1) Cx
x( x 1)2
Представим дробь в виде
2
2
простейших
A( x 1)Разложим
Bx(знаменатель
x суммы
1) Cx
8 xдробей
x 4
x 0
правильной дроби на
множители
A 4
A 4
x 1
C 3
B 12
Найдем неопределенные
C 3
x 1 4коэффициенты
A 2B Cметодом
5
2частных значений переменной
8x x 4
4
12
3
3
2
x 2x x
x x 1 ( x 1)2

15.

Пример
4 12
3
x 2x 5
dx
2
x x 1 ( x 1)
2
dx
dx
dx
x dx 2 xdx 5 dx 4 x 12 x 1 3 ( x 1)2
2
x3
3
2
x 5 x 4 ln x 12 ln x 1
C
3
x 1