Непосредственное интегрирование
Внесение под знак дифференциала.
Замена переменной
Интегрирование рациональных функций
Дробно – рациональная функция
Дробно – рациональная функция
Простейшие рациональные дроби
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби
Интегрирование простейших дробей
Интегрирование простейших дробей
Общее правило интегрирования рациональных дробей
Пример
Пример
Пример
1.02M
Категория: МатематикаМатематика

Методы интегрирования. Непосредственное интегрирование

1.

Методы
интегрирования

2. Непосредственное интегрирование

Этот метод основан на применении свойств
неопределенного интеграла и тождественных
преобразований.
Пример.
dx
(sin 2 x cos 2 x)dx
dx
dx
sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x
cos 2 x sin 2 x
tgx ctgx c

3. Внесение под знак дифференциала.

Этот метод основан на применении формулы f´(x)dx=df(x), которая
называется внесением под знак дифференциала. В частности,
1
u du
d (u n 1 ), n 1
n 1
du
dctgu
2
sin u
du
d ln u
u
du
darctgu darcctgu
2
1 u
n
a u du
1
da u
ln a
du
d u
2 u
du
dtgu
2
cos u
du
1 u
2
d arcsin u d arccos u
e du de
u
u
sinudu -dcosu
cosudu dsinu

4. Замена переменной

Этот метод основан на применении формул x=φ(t) или
t=φ(x), где t – новая переменная. Вычислив интеграл,
нужно вернуться к первоначальной переменной.
x
Пример. Вычислить (3x 1) 2 dx .
Обозначим 3x+1=t, откуда
Получаем
1
1
dx
dt.
x (t 1),
3
3
1
(t 1)
x
1
1 t 1
1 1 2
3
dx
dt
dt
t dt
(3x 1) 2 t 2 3 9 t 2
9 t
1
t 1
1
1
ln t c ln 3x 1
c
9
1
9
3x 1

5. Интегрирование рациональных функций

Дробно – рациональная функция
Простейшие рациональные дроби
Разложение рациональной дроби на простейшие
дроби
Интегрирование простейших дробей
Общее правило интегрирования рациональных
дробей

6. Дробно – рациональная функция

Дробно – рациональной функцией называется функция, равная
отношению двух многочленов:
Pm ( x )
f (x)
Qn ( x )
Рациональная дробь называется правильной,
если степень числителя меньше степени
знаменателя, то есть m < n , в противном
случае дробь называется неправильной.
Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления
числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена
L(x) и правильной рациональной дроби:
P( x )
R( x )
L( x )
Q( x )
Q( x )

7. Дробно – рациональная функция

x 5x 9
x 2
4
Привести неправильную дробь к правильному виду:
x 4 5x 9 x 2
3
2
4
3
4x 3
x
2x
x 2x
2x 5 x 9
2x 3 4 x 2
4x 2 5x 9
4x 2 8x
3x 9
3x 6
15
3
x 4 5x 9
x 2
15
3
2
x 2x 4 x 3
x 2

8. Простейшие рациональные дроби

Правильные рациональные дроби вида:
V
A
x a
A
x a
k
(k 2; k N )
Mx N
2
x px q
x
Mx N
2
px q
( p 2 4q 0)
k
( p 2 4q 0;
k 2; k N )
Называются простейшими рациональными дробями
, , , V типов.

9. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби

P( x )
Теорема: Всякую правильную рациональную дробь
Q( x )
знаменатель которой разложен на множители:
,
Q( x ) ( x x1 ) ( x x2 )k ( x 2 p1x q1 )
( x 2 p2 x q2 )s
можно представить, притом единственным образом в виде суммы
простейших дробей:
B1
B2
Bk
A
P( x )
2
k
x x2 ( x x2 )
( x x2 )
Q( x ) x x1
Cx D
M1x N1
M 2 x N2
2
2
2
2
x p1x q1 x p2 x q2 ( x p2 x q2 )
M s x Ns
2
s
( x p2 x q2 )

10. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби

Поясним формулировку теоремы на следующих примерах:
A
x2 4
B3
B1
B2
3
2
( x 2)( x 3)
x 2
x 3 ( x 3)
( x 3)3
Cx D
A1 A2
x3 3
2 2
2
2
x ( x 1)
x 1
x
x
M1x N1
M 2 x N2
A
7x 2 8x 9
2
2
2
2
x 4 x x 1 ( x x 1)2
( x 4)( x x 1)
Для нахождения неопределенных коэффициентов A, B, C, D…
применяют два метода: метод сравнивания коэффициентов и
метод частных значений переменной. Первый метод
рассмотрим на примере.

11. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби

Представить дробь в виде суммы простейших дробей:
A 1 Bx3 xC 2
2x 3 x 3
2 2
2
( x 1)( x 2x 5) x x1 1 x x 2 x2 x5 5
2
A( x 2 2x 5) (Bx C )( x 1)
2
( x 1)( x 2x 5)
Ax 2 2Ax 5 A Bx 2 Cx Bx C 2 x 2 3 x 3
x2
x1
x
0
A B 2
A 1
2A C B 3
B 3
C 2
5 A C 3

12. Интегрирование простейших дробей

Найдем интегралы от простейших рациональных дробей:
A
d ( x a)
dx
A
A ln x a C
x a
x a
A
k
dx
A
x
a
d ( x a)
k
x a
A x a
k 1
k 1
C
Mx N
x 2 px q dx
Интегрирование дроби 3 типа рассмотрим на примере.

13. Интегрирование простейших дробей

3x 1
3x 1
x 2 2x 10 dx ( x 2 2x 1) 9 dx
x 1 t
3x 1
3(t 1) 1
dx x t 1
dt
2
2
( x 1) 9
t 9
dx dt
3t 2
t dt
dt
3 d t2 9
2
dt 3 2
2 2
2
t 9
t 9
t 9 2
t 9
2
t
2
t 3
2
arctg ln t 9 arctg C
3
3
3
3 2
3
2
x 1
2
ln x 2 x 10 arctg
C
2
3
3

14. Общее правило интегрирования рациональных дробей

Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы
многочлена и правильной дроби.
Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на
множители, представить ее в виде суммы простейших дробей
с неопределенными коэффициентами
Найти неопределенные коэффициенты методом сравнения
коэффициентов или методом частных значений переменной.
Проинтегрировать многочлен и полученную сумму
простейших дробей.

15. Пример

Приведем дробь к
x 5 2x 3 4 x 4
dx
правильному виду.
3
2
x 2x x
x 5 2x 3 4 x 4 x 3 2 x 2 x
2
5
4
3
2x 5
x
x 2x x
2x 4 x 3 4 x 4
4
3
2
2x 4 x 2x
3
2
5 x 2x 4 x 4
3
2
5 x 10 x 5 x
8x 2 x 4
2
x 5 2x 3 4 x 4
8
x
x 4
2
x 2x 5 3
3
2
x 2x x
x 2x 2 x

16. Пример

8x 2 x 4 8x 2 x 4
A
B
C
3
2
2
x 2x x
x x 1 ( x 1)2
x( x 1)
A( x 1)2 Bx( x 1) Cx
x( x 1)2
A( x 1)2 Bx( x 1) Cx 8 x 2 x 4
x 0
A 4
A 4
x 1
C 3
B 12
C 3
x 1 4 A 2B C 5
2
8x x 4
4
12
3
3
2
x 2x x
x x 1 ( x 1)2

17. Пример

4 12
3
x 2x 5
dx
2
x x 1 ( x 1)
2
dx
dx
dx
x dx 2 xdx 5 dx 4 x 12 x 1 3 ( x 1)2
2
x3
3
2
x 5 x 4 ln x 12 ln x 1
C
3
x 1
English     Русский Правила