Интегрирование дробно-рациональных функций

1.

Интегрирование дробно-рациональных
функций
Дробно-рациональной функцией (или рациональной
дробью)называется функция,равная отношению двух
многочленов,т.е. f ( х) Pm ( х) ,где Pm ( х )- многочлен
Qn ( х)
степени m,а Qn ( х ) -многочлен степени n.
Рациональная дробь называется правильной,если
степеньчислителя меньше степени знаменателя,т.е. m n
в противном случае (если m n )рациональная дробь
называется неправильной.

2.

P( х)
Всякую неправильную рациональную дробь
Q( х)
можно,путем деления числителя на знаменатель
представить в виде суммы многочлена L( х) иPправильной
( х)
R( х)
R
(
х
)
L
(
х
)
рациональной дроби
т.е.
Q( х )
Q( х )
Q
(
х
)
Например P( х) х 4 5 х 9
Q( х)
х 2
Делим числитель на знаменатель в столбик.
Получим частное L( х) х3 2 х 2 4 х 3 и остаток R( х) 15.
Следовательно х 4 5 х 9
15
3
2
х 2х 4х 3
х 2
х 2

3.

Правильные рациональные дроби вида:
A
1)
х а
A
(k 2, k
2)
k
( х а)
Mх N
3)
( х 2 pх q)
Mх N
4)
( х 2 pх q)k
(корни комплексные,т.е. p 2 4q 0
)
(k >2,корни знаменателя комплексные),
Где А,а,М,N,р,q-действительные числа,называются
простейшими рациональными дробями 1,2,3 и 4 типов.

4.

P( x)
,
Теорема: Всякую правильную рациональную дробь
Q( x)
Знаменатель которой разложен на множители
Q( x) ( x x1 )k1 ( x x2 ) k2 ( x 2 p1 x q1 ) s1 ...( x 2 pm x qm ) sm ,
можно представить (и притом единственным образом ) в
виде следующей суммы простейших дробей:
Ak1
A1
A2
P( x)
...
k1
2
Q( x)
( x x1 ) ( x x1 )
( x x1 )
(*)
Bk2
B1
B2
...
...
k2
2
x x2
( x x2 )
( x x2 )
...
Cs1 x Ds1
C1 x D1
C2 x D2
...
...
x 2 p1 x q1 ( x 2 p1 x q1 ) 2
( x 2 p1 x q1 ) s1
M sm x N sm
M 1 x N1
M 2 x N2
...
,
x 2 pm x qm
( x 2 pm x qm ) 2
( x 2 pm x qm ) sm
где A , A ,..., B , B ,..., C , D ,..., M , N ... некоторые действительные
коэффициенты.
1
2
1
2
1
1
1
1

5.

Поясним формулировку теоремы на следующих примерах:
1)
x2 4
A
B
C
D
( x 2)( x 3)
2)
3)
3
x 2
x 3
( x 2)
2
( x 3)
3
;
x3 1
A
B
Cx D
2
;
2
2
2
x ( x 1)
x
x
x 1
7 x2 8x 9
A
B
Cx D
Mx N
2
2
.
2
2
2
( x 1)( x 2)( x x 1) x 1 x 2 x x 1 ( x x 1)
Для нахождения неопределённых коэффициентов A1 , A2 ,..., B1 , B2 ,
Можно применить метод сравнивания коэффициентов.
Суть метода такова:

6.

1) В правой части равенства(*)приведем к общему
знаменателю Q ( x ) ;в результате получим тождество
P( x) S ( x)
, гдеS(x)-многочлен с
Q( x) Q( x)
неопределёнными
коэффициентами.
2)Так как в полученном тождестве знаменатели равны ,то
тождественно равны и числители, т.е. P( x) S ( x)(**) x
A1 , A2 ,..., B1 ,...
3)Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
в обеих частях тождества, получим систему линейных
уравнений ,из которой и определим искомые
коэффициенты

7.

2 x 3x 3
Пример:
Представить дробь
2
(
x
1)(
x
2 x 5)
В виде суммы простейших дробей.
Решение: Согласно теореме имеем:
2
2 x 2 3x 3
A
Bx C
2
2
( x 1)( x 2 x 5)
x 1 x 2x 5
2 x 2 3x 3
A( x 2 2 x 5) ( x 1)( Bx C )
2
( x 1)( x 2 x 5)
( x 1)( x 2 2 x 5)
Отсюда следует
2 x 2 3x 3 Ax 2 2 Ax 5 A Bx 2 Cx C ,
2 x 2 3x 3 ( A B) x 2 ( 2 A B C ) x (5 A C )
2
1
0
Приравнивая коэффициенты при x , x , x , получаем
2
3
3
A B
2 A B C
5A C

8.

Решаем систему, находим, что
A 1, B 3, C 2
2 x 3x 3
1
3x 2
2
2
( x 1)( x 2 x 5)
x 1 x 2x 5
2
Для нахождения неопределённых коэффициентов
применяют также метод отдельных значений аргумента
после получения тождества(**) аргументу х придают
конкретные значения столько раз, сколько
Q( x)) вместо
неопределённых коэффициентов(обычно полагают
х значения действительных корней многочлена

9.

Найдём интегралы от простейших рациональных дробей.
1)
A
l ( x a)
х adx
x a
A ln x a C
(формула (2) таблицы интегралов)
2)
k 1
A
( x a)
k
( x a)k dx A ( x a) d ( x a) A k 1 C
(формула (1))
Mx N
3)
Выделяем в знаменателе полный
dx
. x2 px q
квадрат, делаем замену и подстановку в числителе.

10.

3x 1
x 2 2 x 10dx
Пример: Найти
Решение: x 2 2 x 10 ( x 1)2 9
x 1 t
3x 1
3x 1
dx
x
t
1
2
2
x 2 x 10 ( x 1) 9
dx dt
3(t 1) 1
tdt
dt
3 2
dt
3
2
ln(
t
9)
t2 9
t2 9 t2 9 2
2
t
3
2
x 1
2
arctg C ln( x 2 x 10) arctg
C.
3
3
2
3
3

11.

Интегрирование рациональных дробей
Сформулируем общее правило интегрирования
рациональных дробей:
1).Если дробь неправильная, то представить её в виде
суммы многочлена и правильной дроби;
2)Разложив знаменатель правильной рациональной дроби
на множители , представить её в виде суммы простейших
рациональных дробей;
3)Проинтегрировать многочлен и полученную сумму
простейших дробей.

12.

Пример:Найти интеграл
x 2x 4x 4
dx
4
3
2
x 2x 2x
5
3
Решение: Под знаком интеграла неправильная дробь;
выделим её целую часть путём деления числителя на
знаменатель. Получаем:
x5 2 x3 4 x 4
4 x3 4 x 2 4 x 4
x 2
4
3
2
x 2x 2x
x 4 2 x3 2 x 2
Разложим правильную рациональную дробь на простейшие
дроби:
4 x3 4 x 2 4 x 4 4 x3 4 x 2 4 x A B
Cx D
2 2
2 2
,
4
3
2
x 2x 2x
x ( x 2 x 2) x x x 2 x 2
т.е.4 x3 4 x 2 4 x 4 Ax( x 2 2 x 2) B( x 2 2 x 2) (Cx D) x 2 ,
т.е.4 x3 4 x 2 4 x 4 ( A C ) x3 (2 A B D) x 2 (2 A 2 B) x 2 B.

13.

Отсюда следует,что
Находим :
A C
2 A B D
2 A 2B
2B
4
,
4
,
4
,
4
.
B 2, A 0, C 4, D 2.
Таким образом получаем ,что:
4 x3 4 x 2 4 x 4
2
4x 2
2 2
4
3
2
x 2x 2x
x
x 2x 2
x5 2 x3 4 x 4
2
4x 2
и
x 2 2 2
.
4
3
2
x 2x 2x
x
x 2x 2
Найдем искомый интеграл, преобразуя подынтегральную дробнорациональную функцию, представляя её в виде полученной
суммы.

14.

x 2x 4x 4
2
4x 2
x4 2x3 2x2 dx ( x 2 x2 x2 2x 2 )dx
2
x
2
4x 2
2x
dx.
2
2
x ( x 1) 1
5
3
НАЙДЁМ ИНТЕРГАЛ:
4x 2
4t 4 2
4t 2
tdt
dt
( x 1)2 1dx t 2 1 dt t 2 1 dt 4 t 2 1 2 t 2 1
1
4 ln(t 2 1) 2arctg (t ) C 2 ln( x 2 2 x 2) 2 frctg ( x 1) C.
2

15.

Следовательно,
x 2x 4x 4
x 4 2 x3 2 x 2 dx
2
x
2
2
2 x 2 ln( x 2 x 2) 2 ar ctg ( x 1) C
2
x
5
3
Отметим,что любая рациональная функция интегрируется в
элементарных функциях.

16.

Пример:Вычислить
x3 x 2
I
dx
( x 3)( x 4)
Решение: Преобразуем знаменатель дроби
( x 3)( x 4) x 2 7 x 12
Выделим целую часть в дроби (поделим многочлен, стоящий в
числителе на многочлен знаменателя)
x3 x 2
38 x 82
38 x 82
x
7
x
7
x 2 7 x 12
x 2 7 x 12
( x 3)( x 4)
Поэтому
38 x 82
1 2
38 x 82
I (x 7
)dx x 7 x
dx
( x 3)( x 4)
2
( x 3)( x 4)
Дробь
38x 82
A
B
( x 3)( x 4) x 3 x 4

17.

Умножая обе части равенства на(х-3)(х-4),получаем
38 x 82 A( x 4) B ( x 3) Ax 4 A Bx 3B
38 x 82 x( A B ) ( 4 3)
x1
:
A B
x0
:
4 3 82
38
Решая систему с двумя неизвестными находим значения
А=-32;В=70.
38 x 82
32
70
Дробь
( x 3)( x 4)
А
x 3
x 4
1 2
32
70
I x 7 x (
) dx
2
x 3
x 4
1 2
x 7 x 32 ln x 3 70 ln x 4 C.
2

18.

Пример: Вычислить
xdx
I
3
1 x
Решение: Так как
1 x3 (1 x)(1 x x 2 ),
А корни трёхчлена комплексны, то дробь запишем в виде
x
A
Bx C
3
2
1 x 1 x 1 x x
A(1 x x 2 ) ( Bx C )(1 x) A Ax Ax 2 Bx Bx 2 C Cx
2
2
(1 x)(1 x x )
(1 x)(1 x x )
x ( A B) x( A B C ) ( A C )
(1 x)(1 x x 2 )
2

19.

x;
A B 0;
A B;
x1; A B C 1; ( B) B C 1;
x2 ;
A C 0;
B C 0;
A B
2B C 1
B C 0
1
1
1
Откуда вычитая из(2)-(3) получим: 3B 1; B ; A ; C
3
3
3
1
1
1
x
Таким образом имеем: A Bx C 3 3
3 ;
1 x 1 x x2 1 x 1 x x2
Тогда:
1
1
1
x
x 1
3 )dx 1 dx 1
I ( 3 3
dx
2
2
1 x 1 x x
3 1 x 3 1 x x

20.

Решим отдельно второй интеграл т.к. первый табличный №2:
1 1
1
3
1 x 1
1 x 2 2 1
1 x 2
1
2 dx
dx
dx
dx
3 1 x x2
3 1 x x2
3 1 x x2
3 1 x x2
1
1 x x2 t
Пусть 2
1)
x
dt
1
1
2
d
(
x
x
1)
dt
2
dx
ln
t
ln(
x
x 1) C
2
2 x 1 dt
x x 1
2t 2
2
2)
1 dt
x
2 2
3
dx
dx
2 dx 3
x2 x 1 2 2
1
1
3
1 2 3
(x 2 x )
(x )
2
4
4
2
4

21.

3
2
dx
1 2
3 2
(x ) ( )
2
2
1
x
3 2
2x 1
2
arctg
3arctg
2 3
3 2
3
1
1 1
1
2x 1
2
I ln 1 x ln x x 1 3 ar ctg
C
3
3 2
3
3
1
1
3
2x 1
2
Ответ : ln 1 x ln x x 1 arctg
C
3
6
3
3