03 Понятие числовой функции

1. Раздел 4 Введение в математический анализ Понятие функции

Понятие числовой функции
График функции
Способы задания функции
Классификация функций

2. Понятие числовой функции

1. Пусть задано некоторое множество
X R
X = D( f )
область определения функции
2. Пусть есть множество
Y R
Y = E( f )
множество значений функции
3. Определено ПРАВИЛО, по которому каждому элементу области
определения ставится в соответствие единственный элемент
из множества значений функции
x D( f ) y E ( f )
В этом случае говорят, что задана функция
аргумент
y = f (x)
значение функции
Раздел 4. Введение в математический анализ. Понятие функции.
2

3. График функции

Графиком функции у = f (x) называется множество
всех точек M( x, y) плоскости Оxy, координаты
которых удовлетворяют уравнению у = f (x).
y
f (x)
O
M
x
x
D
Раздел 4. Введение в математический анализ. Понятие функции.
3

4. Способы задания функции

• Аналитический способ – задание закона,
устанавливающего связь между
переменными х и y, с помощью формулы.
у =k/x
y = ax 2 + bx + c
− 1, если x 0,
y = sign x = 0, если x = 0,
1, если x 0
• Табличный способ – задание таблицы
отдельных значений аргумента и
соответствующих им значений функции.
Раздел 4. Введение в математический анализ. Понятие функции.
4

5.

• Графический способ – соответствие между
аргументом и функцией задаётся
y
посредством графика.
1
O
x
–1
• Алгоритмический способ – задание
функции с помощью алгоритма.
• Задание функции словесным описанием.
Например, функция у=[x], называемая целой частью числа х,
определяется как наибольшее целое число, не
превосходящее х.
Раздел 4. Введение в математический анализ. Понятие функции.
5

6. Классификация функций

y
Функция y = f (x) называется чётной, если
1. D( f ) симметрична относительно точки х = 0;
2. f (− x) = f ( x) для x D ( f ).
y = x2
(–x0, f(–x0))
x
–x0
O
y
x0
y=x3
(x0, f(x0))
Функция y = f (x) называется нечётной, если
1. D( f ) симметрична относительно точки х = 0;
2. f (− x) = − f ( x) для x D ( f ).
– x0
x
O
x0
(–x0, f(–x0))
Раздел 4. Введение в математический анализ. Понятие функции.
6

7.

Функция y = f (x) называется периодической, если
T 0 : x D( f )
Т – период функции
• x T D( f )
f ( x T ) = f ( x)
Пример. Найти наименьший период функции y =| sin x | .
| sin( x + T ) |=| sin x |
| sin T |=| sin 0 |
sinT = 0 T = πk , k Z
x R
T =π
| sin( x + π) |=| sin x | − sin x = sin x ◄
Раздел 4. Введение в математический анализ. Понятие функции.
7

8. Монотонные функции

Функция y = f (x) называется возрастающей на множестве X D( f ),
x1 , x2 X
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
Функция y = f (x) называется убывающей на множестве
x1 , x2 X
X D( f ),
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
Раздел 4. Введение в математический анализ. Понятие функции.
8

9. Ограниченные функции

Пусть E ( f ) – множество значений функции f (x)
f (x) ограничена сверху
• E ( f ) ограничено сверху
• E ( f ) ограничено снизу
• E ( f ) ограничено
f (x) ограничена снизу
f (x) ограничена
sup E ( f ) = sup f ( x)
x X
sup f ( x) E ( f ) sup f ( x) = max f ( x)
x X
x X
x X
inf E ( f ) = inf f ( x)
x X
inf f ( x) E ( f ) inf f ( x) = min f ( x)
x X
x X
x X
Раздел 4. Введение в математический анализ. Понятие функции.
9

10. Композиция функций, или сложная функция

Пусть даны функции y=f (x) и z=g (y),
E ( f ) D( g )
x D( f )
z=g( f (x)) – композиция функций f и g, или сложная функция
Примеры
y = sin(x 2 )
y = ln(cos x )
y = sin 2 x
y = 5 arctg log2 sin x 2 + 1
Раздел 4. Введение в математический анализ. Понятие функции.
10

11. Обратная функция

y = f (x)
D( f )
E( f )
y E ( f ) единственный x D( f ) : y = f (x)
−1
x = f ( y)
D( f
−1
) = E( f )
E ( f −1 ) = D( f )
Графики функций у = f (x) и x = f -1(y) – одна и та же кривая
Графики функций у = f (x) и y = f -1(x) симметричны y
относительно диагонали первого и третьего
4
координатного угла
3
O
y=x
y =1+ x
1
Раздел 4. Введение в математический анализ. Понятие функции.
y = ( x −1)2
1
x
3
4
11

12.

12