лекция_4_электрическое_поле_в_диэлектриках

1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

Диполь, напряженность электрического поля,
потенциал диполя
Электрический диполь – система, состоящая из двух одинаковых по величине разноименных
точечных зарядов, расположенных на постоянном
расстоянии (вектор, идущий от отрицательного
заряда к положи
тельному), много меньшем, чем расстояние r до точки наблюдения его
электрического поля (рис. 24). Для характеристики свойств диполя
вводится его электрический (дипольный) момент p = q . Линии
напряженности электрического поля и эквипотенциальные поверхности
диполя изображены на рис. 25.
Рис. 24
Рис.25

2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

Напряженность электрического поля диполя на его оси
На оси диполя (прямой, проходящей от отрицательного заряда через
положительный), используя принцип суперпозиции для двух точечных
зарядов, найдем:
2
2
r + − r −
1
q
q
q
2q
2p
2
2
Eпар =
−
=
=
=
.
2
2
2
2
3
3
4 0
4 0r
4 0r
4 0
r
−
r
+
r
−
r
+
2
2
2
2
Потенциал электрического поля диполя
В точке, отстоящей на расстоянии r от центра
диполя на его оси (рис. 26), потенциал равен:
q
q
q
p
=
−
=
.
2
2
4 0r
4 0 r − 4 0 r + 4 0 r 2 −
2
2
4
Таким образом, напряженность электрического поля диполя обратно
пропорциональна кубу расстояния, а потенциал обратно пропорционален

3. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

квадрату расстояния.
Рис.26
Диполь в однородном электростатическом поле
На каждый заряд диполя в однородном электрическом поле (рис. 27) действуют равные по величине и противоположные
по направлению силы
F = q E = pE , модуль котоF = qE, создающие момент сил M =
рого равен M = pE sin d
. . Поворот диполя прекратится при = 0, когда
его электрический момент
установится вдоль направления
p
напряженности поля E .
Рис.27

4. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

Работа внешних сил по повороту диполя на бесконечно малый угол d
равна изменению потенциальной энергии диполя
dA = dW = M d = pE sin d .
Тогда потенциальная энергия диполя в электрическом
поле равна
W = − pE cos = − pE.
Минимальная энергия будет у диполя при ориентации по направлению
поля, максимальная – при ориентации в сторону, противоположную полю
и нулевая при перпендикулярной ориентации.
Диполь в неоднородном электростатическом поле
В неоднородном электрическом поле напряженность E = E( x) не будет
постоянной, поэтому силы, действующие на каждый заряд, будут разными
по величине. Изменение напряженности поля (рис. 28) E равно
E =
E
cos .
x
Рис.28

5. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

Суммарная сила, действующая на диполь, равна
F2 − F1 = q E = q
E
cos .
x
Диполь втягивается в область более сильного поля, если угол - острый и
выталкивается из нее, если он тупой.
Рис.28
Диэлектрики в электрическом поле
Все тела состоят из атомов и молекул, содержащих положительно заряженные ядра и отрицательно заряженные электроны. Заряды, входящие в
состав молекул у диэлектриков жестко связаны между собой, поэтому
они называются связанными. Внутри или на поверхности диэлектрика
могут находиться другие заряды, не имеющие к нему отношения. Они
называются сторонними или свободными. Введем радиус-векторы
центров положительных и отрицательных зарядов атомов или молекул:

6. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

+
r =
+ +
q
i ri
i
q
+
i
и
−
r =
− −
q
i ri
i
−
q
i
.
i
i
Если центры положительных и отрицательных зарядов совпадают, то
такие молекулы в отсутствие внешнего поля не обладают дипольным
моментом и называются неполярными. Если же центры положительных и
отрица-тельных зарядов не совпадают, то такие молекулы в отсутствии
внешнего поля обладают дипольным моментом и называются полярными.
Дипольный момент полярных молекул равен
p = q = q( r + − r − ) = qi+ri + − qi−ri − .
i
i
Примеры неполярных молекул: N2,O 2,H 2,CO 2,CH 4,CCl 2, примеры
полярных молекул: H 2O, CO, SO 2, H S, NH 3, нитробензол, эфиры, органические кислоты. Ионные кристаллы NaCl,KCl,KBr представляют собой
кристаллические решетки, которые под действием поля раздвигаются.
Под действием внешнего поля происходит поляризация неполярных молекул (смещение в пределах одной молекулы положительных зарядов по полю, а отрицательных против поля). В результате у неполярной молекулы

7. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

образуется дипольный момент, ориентированный по направлению поля.
p = q = q( r + − r − ) = qi+ri + − qi−ri − .
i
i

8. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

Полярные молекулы, расположенные в отсутствии внешнего поля
хаотично, под действием внешнего поля ориентируются по полю как
жесткие диполи (неполярные – как упругие диполи).
И у полярных и у неполярных диэлектриков под действием внешнего поля
на одной поверхности образуется отрицательный заряд, а на другой
положительный заряд. Внутри своего объема диэлектрик остается
незаряженным.

9. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

Поляризация диэлектриков
Электрически нейтральный диэлектрик при включении внешнего поля
поляризуется. Этот процесс характеризуется дипольным моментом единицы объема диэлектрика. Введем вектор поляризованности
p
i
V ,i
P=
.
V
Его размерность К л 2 . Для однородных диэлектриков (кроме сегнетоэлекм
триков) вектор поляризованности связан
с вектором напряженности элек
трического
поля (при не очень больших E ) следующим образом:
P = 0 æ E, где æ - диэлектрическая восприимчивость диэлектрика.
Возьмем плоскопараллельную пластину однородного изотропного диэлектрика, помещенную во внешнее электрическое поле под углом .

10. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

Выделим в пластине цилиндрический объем с осью параллельной внешнему полю (рис. 29). Его объем равен V = S cos и обладает электрическим моментом P V = P S cos
Рис. 29
С другой стороны, этот объем есть диполь с зарядами на поверхности
пластины, равными q ' = ' S и −q ' = − ' S. Его электрический момент
равен p = q ' = ' S . Приравнивая это значение электрического момента
к выражению, полученному с помощью вектора поляризованности, будем
иметь P S cos = ' S , откуда ' = P cos = Pn , где Pn - нормальная
составляющая вектора поляризации. В процессе поляризации электричес-

11. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

ки нейтральный диэлектрик заряжается по поверхности зарядом
q ' = ' dS = Pn dS,
а внутри диэлектрика образуется охватываемый этой поверхностью заряд
противоположного знака
q ' охв = − Pn dS = − PdS.
Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике.
Микроскопическое электрическое поле в диэлектрике сильно меняется в
пределах межмолекулярных расстояний. Действие сил этого
поля на макроскопические тела определяется усредненным значением
микроскопического поля, не
учитывающим эти изменения.
Макроскопическое поле E в диэлектрике
складывается из поля E0
сторонних (свободных) зарядов и поля E ' связанных зарядов
.
E = E0 + E '.

12. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

На них начинаются
или заканчиваются линии напряженности электричес
кого поля E '.
Запишем теорему Гаусса для макроскопического поля в диэлектрике с
напряженностью E для некоторой замкнутой поверхности S :
1
EdS
=
( qi + q ' связ i ) ,
0 i
i
где qi - сумма свободных зарядов, создающих поле E0 , а q ' связi
i
i
сумма связанных зарядов, создающих поле E ' внутри объема диэлектрика, ограниченного выбранной замкнутой
поверхностью S . Последняя
сумма равна q ' связi = q ' связ = − PdS, тогда теорема Гаусса для
i
диэлектрика примет
вид
S ( 0 E + P) dS = i qi .
.
Удобно ввести величину электрического
смещения или индукции:
D = 0 E + P = 0 E + 0æ E = 0 (1+ æ) E = 0 E,
которая является непрерывной при
через границу двух диэлект
переходе
риков. Окончательно получим
S D dS = i qi. Поток вектора смещения
через замкнутую поверхность равен сумме зарядов внутри объема,
ограниченного этой поверхностью.
S

13. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

Сегнетоэлектрики
Сегнетоэлектрики - особый класс диэлектриков имеющих высокую
диэлектрическую проницаемость 104 ( H O = 81) . Название происходит
от сегнетовой соли (двойная калий натриевая соль винной кислоты
K N aC4 H 4O6 4H 2O ). Сегнетоэлектрики характеризуются 1) высоким ( E) ,
значением , 2) нелинейной зависимостью D(E) и, следовательно,
3)
гистерезисом (отставанием D от E и петлей гистерезиса при циклическом
изменении E.
2

14. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

Примеры решения задач
Задача 24. Диполь с электрическим моментом 20 нКл∙м свободно
установился в однородном электрическом поле с напряженностью 100
кВ/м. Найдите работу, необходимую для поворота диполя на 1800 .
Решение.
На диполь в однородном электрическом поле действует
момент сил M, модуль которого равен M = pE sin . Момент сил равен
нулю, когда =0 и =1800. В первом случае диполь будет находиться в
положении устойчивого равновесия (свободно установился в электрическом поле), во втором – в положении неустойчивого равновесия. Начальная
энергия диполя в электрическом поле равна W1 = − pE cos 0 = − pE, а
конечная W2 = − pE cos180 = pE.
Работа A12 = W2 − W1 = 2pE = 4 мДж.
Задача 25. Величина поляризованности в диэлектрике составляет
35,4 нКл/м2, а напряженность электрического поля в нем равна 1 кВ/м.
Найдите диэлектрическую проницаемость этого диэлектрика.
Решение. Поляризованность диэлектрике равна P = 0æE .
Диэлектрическая проницаемость = 1 + æ = 1 + P 0 E = 5.