Lek_6_TPS

1. Тема 4. Спектральный и корреляционный анализ детерминированных сигналов.

Лекция №6
Тема 4. Спектральный и
корреляционный анализ
детерминированных сигналов.

2. Вопрос 1. Автокорреляционная функция и энергетический спектр сигнала

3.

Обобщенная формула Релея.
Взаимная спектральная плотность сигналов
Энергия суммы двух произвольных сигналов u(t) и v(t) определяется
выражением
E = u (t ) + v(t ) dt = Eu + Ev + 2 u (t )v(t )dt
2
−
−
Сумма энергии сигналов, в отличие от суммы сигналов, не обладает
свойством аддитивности и энергия суммарного сигнала u(t)+v(t) кроме
суммы энергий составляющих сигналов, содержит в себе и энергию
взаимодействия сигналов или взаимную энергию
+
Euv = 2 u (t )v(t )dt
1
j t
U (t ) =
U
(
j
)
e
d
2 −
+
1
j t
V (t ) =
V
(
j
)
e
d
2 −
−
Обобщенная формула Рэлея
!!! Скалярное произведение двух сигналов пропорционально
скалярному произведению их спектральных плотностей!!!

4.

Обобщенная формула Релея.
Взаимная спектральная плотность сигналов
Произведение спектральных плотностей двух сигналов u(t) и v(t)
образует взаимный энергетический спектр этих сигналов
!!! Удаление из взаимного
энергетического спектра
сигналов u(t) и v(t) тех
составляющих, которые
попадают в область
пересечения их энергетических
спектров позволяет выполнить
ортоганализацию сигналов с
целью их взаимного
различения (разрешения)!!!

5.

Энергетический спектр сигнала
Спектральное представление энергии сигнала вытекает из обобщенной формулы
Рэлея, если положить, что вместо пары сигналов u(t) и v(t) действует один и тот
же сигнал, например u(t), тогда
Формула Рэлея для энергетического спектра сигнала
Физический смысл: энергия любого сигнала есть результат суммирования
энергетических вкладов (ΔEu) от различных элементарных интервалов частот
(Δω) в пределах спектра этого сигнала, где
Eu =
1
dWu ( i )
Пример нормированного
энергетического спектра
прямоугольного видеоимпульса
и проблема выбора полосы
пропускания канала

6.

Автокорреляционная функция сигнала и ее связь с
энергетическим спектром
Корреляция — это статистическая мера, которая показывает степень линейной
зависимости между двумя случайными величинами или переменными. Значение
корреляции варьируется от -1 до 1, где -1 означает идеальную отрицательную
линейную зависимость, 0 — отсутствие линейной связи, а 1 — идеальную
положительную линейную зависимость.
Формальное определение: Пусть есть две случайные величины X и Y. Их
корреляция (коэффициент корреляции Пирсона) определяется как:
Cov(X,Y) – ковариация между X и Y;
σX, σY – СКО величин X и Y.
Ковариация — это мера того, насколько связаны между собой изменения двух
случайных процессов. Положительная ковариация показывает, что переменные Xt и
Yt обычно увеличиваются или уменьшаются вместе, отрицательная — что одна
переменная увеличивается, а другая в это же время уменьшается.
Формальное определение: Пусть X и Y — случайные величины с
математическими ожиданиями E[X] = μX и E[Y] = μY. Тогда ковариация между X и Y
определяется как:

7.

Автокорреляционная функция сигнала и ее связь с
энергетическим спектром
Автокорреляция — это корреляция сигнала или временного ряда с его же
сдвинутой копией по времени. Она показывает, насколько текущие значения
временного ряда связаны с его прошлыми значениями (т.е. время
стационарности процесса или сигнала).
Формальное определение: Для стационарного временного ряда Xt,
автокорреляция при лаге k между последовательными отсчетами времени
определяется как:
μ - математическое ожидание временного
ряда Xt; σ2 – дисперсия ряда Xt.
Взаимная корреляция — это мера зависимости между двумя различными
временными рядами или сигналами, которая учитывает сдвиги по времени между
ними. Она показывает, насколько один сигнал связан с другим при различных
временных задержках этих сигналов друг относительно друга.
Формальное определение: Для двух временных рядов Xt и Yt. Их при взаимная
корреляция при лаге k между последовательными отсчетами времени равна:
E[…] – математическое ожидание;
μX, μY – математическое ожидание
рядов Xt и Yt.

8.

Автокорреляционная функция сигнала
Автокорреляционная функция (АКФ) сигнала определяется путем
последовательного сдвига этого сигнала u(t) относительно самого себя на
временные отрезки τ:
r ( ) = u (t )u (t − )dt
−
Свойства АКФ:
r (0) = Eu
r (− ) = r ( )
r ( ) r (0) = Eu

9.

Автокорреляционная функция сигнала
2
tИ
U m t И 1 − ,
r ( ) =
tИ
0,
tИ

10.

Автокорреляционная функция сигнала и ее связь с
энергетическим спектром
Обозначим сигнал u(t) и его копию, сдвинутую на величину τ, как
u (t ) = u
Тогда:
u (t − ) = u
(u, u ) = 1 U ( )U * ( )d
2 −
Инвариантность спектрального разложения для временного сдвига дает:
U ( ) = U ( ) exp (− j ); U * ( ) = U * ( ) exp ( j )
Откуда:
1
1
1
2
*
r ( ) = u (t )u (t − )dt =
U ( )U ( )d =
U ( ) d =
Wu ( )d
2 −
2 −
2 −
−
Взаимосвязь АКФ и энергетического спектра в общем случае:
1
2
r ( ) =
U ( ) exp( j )d
2 −
U ( ) = r ( ) exp( − j )d
2
−

11.

Автокорреляционная функция сигнала и ее связь с
энергетическим спектром
Практические выводы:
1. Корреляционные свойства сигнала можно оценить, исходя из
известного энергетического спектра этого сигнала.
2. Чем шире эффективный энергетический спектр сигнала, тем
уже главный лепесток АКФ. Этот факт указывает на
возможность оптимального выбора типа сигнала для
наиболее точного измерения момента приема данного сигнала
по его АКФ (задачи радиолокации);
3. В ряде случаев удобнее получить АКФ сигнала и с помощью
преобразования Фурье определить энергетический спектр
сигнала