10_Собственные_значения_и_собственные_векторы_1

1.

Линейные операторы

2.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
n
m
Пусть R и R - конечномерные арифметические пространства.
Если установлено соответствие, сопоставляющее каждому вектору X из R
n
m
вполне определенный вектор У из R , то говорят, что задан оператор А,
m
n
действующий из R в R . Записывается это в виде
У = AX
( )
или Y = A X
n
Оператор А, действующий из R в R
любых элементов
выполняется:
m
называется линейным, если для
X 1 , X 2 пространства R n
и для любого числа
1) A(X 1 + X 2 ) = A X 1 + A X 2 (свойство аддитивности)
2) A( X ) = A X ( свойство однородности)
n
m
Если пространство R совпадает с R , то оператор А называется линейным
n
преобразованием R в себя.

3.

Для преобразований в обычном трехмерном пространстве условия (1) и (2)
имеют определенный геометрический смысл.
Пусть под воздействием преобразования А векторы X и У
переходят в
векторы A X и AУ . Тогда диагональ параллелограмма, построенного на
(X + У ), переходит в диагональ параллелограмма,
построенного на векторах A X и AУ ( A X + AУ ).
векторах
X
и У
X +У
У
AУ
A X + AУ
X
AX
Второе условие означает, что при изменении длины вектора X в раз,
во столько же раз меняется длина вектора A X .

4.

(
)
При 0 векторы X
и A X
меняют направление на
противоположное.
n
Пусть А и В – линейные преобразования, действующие в R , тогда:
Суммой этих преобразований называется преобразование (А+В),
определяемое равенством
( X R )
( A + B )X = A X + B X
n
Произведением линейного преобразования А на число
линейное преобразование A , определяемое равенством
( A)X = A(X )
назовем
( X R )
n
Произведением
линейного
преобразования
А
на
линейное
преобразование В называется линейное преобразование АВ, действующее по
закону:
AB (X ) = A(B (X ))
Замечание:
Пример.
AB BA
Является
ли
преобразование
пространства R3 в себя линейным ?
A X = ( x1; x2 + 1; x3 + 2)

5.

Решение
Надо проверить выполнение условий:
1) A(X + У ) = A(X ) + A(У )
2) A( X ) = A(X )
A(X + У ) = ( x1 + y1 ; x2 + y2 + 1; x3 + y3 + 2 ) =
= ( x1 ; x2 ; x3 ) + ( y1 ; y2 + 1; y3 + 2 ) A X + AУ
Итак, одно из условий линейности не выполняется, следовательно, данное
преобразование не является линейным.

6.

МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
n
e1 , e2 , , en задано линейное
n
преобразование А. Каждый вектор пространства R можно разложить по
X Rn :
базисным векторам. Для
X = x1e1 + x2e2 + + xn en
Координаты X
запишем в столбец
x1
x2
X =
xn
Пусть в R с фиксированным базисом
Так как преобразование А – линейное, то
A X = x1 Ae1 + x2 Ae2 + + xn Aen
(1)

7.

Aei (i = 1, , n) являются элементами Rn и
поэтому и их можно разложить по векторам базиса e1 , e 2 , , e n :
(i = 1, , n)
Aei = a1i e1 + a2i e2 + + ani en
С другой стороны векторы
А именно:
Ae1 = a11 e1 + a21 e 2 + + an1 e n
Ae 2 = a12 e 2 + a22 e 2 + + an 2 e n
Ae n = a1n e1 + a2 n e 2 + + an e n
n
Учитывая эти равенства в равенстве (1), получим:
A X = (a11 e1 x1 + a21 e 2 x1 + + an1 e n x1 ) +
+ (a12 e1 x2 + a22 e 2 x2 + + an e n x2 ) + +
2
+ (a1n e1 xn + a2 n e 2 xn + + ann e n xn ) =
= (a11 x1 + a12 x21 + + a1n xn1 )e1 + (a21 x1 + a22 x2 + +
+ a2 n xn )e 2 + + (an1 x1 + an 2 x2 + + ann xn )e n
(2)

8.

Т.е.
A X = y1 e1 + y2 e2 + + yn en , где
y1 = a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn
y2 = a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn
yn = an1 x1 + an 2 x2 + + ann xn
y1 a11
y2 a21
=
yn an1
a12
a22
an 2
или
a1n x1
a2 n x2
ann xn
(3)
Матрица
a11
a21
an1
a12
a22
an 2
a1n
a2 n
ann
называется матрицей преобразования А в данном базисе
e1 , e 2 , , e n .

9.

Из соотношения (3) видно, что для того, чтобы
преобразованного вектора
У
получить координаты
надо матрицу линейного преобразования
умножить на столбец координат вектора Х .
Если в n - мерном линейном пространстве задан базис e1 , e 2 , , e n , то
каждому линейному преобразованию соответствует квадратная матрица
порядка n , и наоборот.
Чтобы найти матрицу линейного преобразования, надо:
1)
подвергнуть его действию базисные векторы e1 , e 2 , , e n

10.

1)
полученные векторы Aei
(i = 1, , n) разложить в этом базисе
Ae1 = a11e1 + a21e2 + + an1en
Ae2 = a12e1 + a22e2 + + an 2en
Aen = a1n e1 + a2 n e2 + + an en
(4)
n
2) коэффициент разложения (4) записать в виде матрицы А, помещая
коэффициент строк в соответствующие столбцы матрицы.
ПРИМЕР. Найти матрицу линейного преобразования:
A X = (x2 + x3 ; 2 x1 + x3 ; 3x1 − x2 + x3 )
пространства R3 в себя, в каноническом базисе

11.

Решение
Ae1 = (0 + 0; 2 1 + 0; 3 1 − 0 + 0) = (0; 2; 3)
Ae2 = (1 + 0; 2 0 + 0; 3 0 − 1 + 0) = (1; 0; − 1)
Ae3 = (0 + 1; 2 0 + 1; 3 0 − 0 + 1) = (1;1;1)
Ae1 = 0 e1 + 2 e2 + 3 e3
Ae2 = 1 e1 + 0 e2 − 1 e3
Ae3 = 1 e1 + 1 e2 + 1 e3
0 1 1
A = 2 0 1
3 − 1 1

12.

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
X Rn называется собственным
вектором линейного преобразования А, если найдется такое число , что
( X 0)
AX = X
Само число называется характеристическим числом линейного
преобразования А, соответствующим вектору X .
Если линейное преобразование А в базисе e1 , e 2 , , e n имеет матрицу
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Ненулевой вектор
a11 a12
a21 a22
A=
an1 an 2
a1n
a2 n
ann

13.

AX = X
то уравнение
в координатной форме имеет вид:
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = x1
a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn = x2
an1 x1 + an 2 x2 + + ann xn = xn
(a − )x + a x + + a x = 0
a x + (a )x + + a x = 0
11
1
12
21 1
22
2
2
1n
2n
n
n
an1 x1 + an 2 x2 + + (ann − )xn = 0
(5)
Известно, что для существования отличного от нуля решения системы
однородных уравнений, необходимым и достаточным условием является
равенство нулю определителя основной матрицы, т.е.

14.

a11 −
a21
an1
a12
a22 −
an 2
a1n
a2 n
=0
ann −
(6)
Если вычислим этот определитель, то получим многочлен n -й степени по
отношению к . Этот многочлен называется характеристическим
многочленом
линейного
преобразования,
а
(6)
называется
характеристическим уравнением.
Числа 1 , 2 , , n называются собственными числами линейного
преобразования.
Подставив найденные числа i в систему (5) и решив эту систему
относительно
x1 , x2 , , xn . Найдем
координаты собственных векторов,
соответствующих собственному числу .
Пример. Определить собственные числа и собственные векторы линейного
преобразования с матрицей.
1 4
A=
2 − 1

15.

Составим характеристическое уравнение
1−
4
=0
2
−1−
− (1 − )(1 + ) − 8 = 0
2 − 9 = 0
1 = 3
2 = −3 - собственные числа
(1 − )x1 + 4 x2 = 0
2 x1 + (− 1 − )x2 = 0
Для 1 = 3 система имеет вид:
− 2 x1 + 4 x2 = 0
x1 = 2 x2
2 x1 − 4 x2 = 0

16.

Пусть x2 = , тогда
x1 = 2
x = (2 ; ) - собственный вектор, отвечающий собственному
значению = 3 .
Для 2 = −3 система имеет вид
4 x1 + 4 x2 = 0
x1 = − x2
2 x1 + 2 x2 = 0
Пусть x2 = , тогда x1 = − .
X = (− ; )- собственный вектор, отвечающий собственному числу
= −3 .