ТЙМС Ч.2.1 Випадкові величини (2)

1. МОДУЛЬ 2. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

Трунова Олена Василівна
доцент, к. пед. н.
1

2.

• ЛЕКЦІЯ 3. Дискретні випадкові величини
1.Способи задання випадкових величин
2.Числові характеристики випадкових величин
3.Основні дискретні розподіли

3.

Означення. Випадковою величиною називають
величину, яка в результаті випробування набуває
одне і тільки одне можливе значення, наперед не
відоме і незалежне від випадкових причин, які не
можуть бути враховані наперед.
Приклади.
1. Кількість хлопчиків, що народилися серед 100
новонароджених.
2. Відстань, яку пролетить снаряд при пострілі.
Дискретні і неперервні випадкові величини.
Випадкові величини: X, Y, Z,… , їх значення: x, y, z,…
3

4. Класифікація випадкових величин

Випадкові величини
Дискретні
Зліченні
Неперервні
Незліченні
4

5.

Означення. Законом розподілу дискретної випадкової
величини називають відповідність між можливими
значеннями і їх імовірностями.
Таблично:
X
P
x1
p1
x2 …
p2 …
xn
pn
p1+ p2 +…+ pn= 1
Аналітично:
Графічно:
p( xi ) = f (i ), i = 1, 2, ..., n
p1
x1
p2
x2
p3
p4
x3
x4
– багатокутник
розподілу
5

6.

p( X x)
x1
x2
x
Означення. Функцією розподілу випадкової
величини Х називається функція F(x), що визначає
імовірність того, що випадкова величина Х
приймає значення, менше x, тобто
F(x) = P(X < x).
Функцію F(x) називають інтегральною функцією
розподілу.
Означення. Випадкова величина Х називається
неперервною, якщо її функція розподілу
неперервна на всій числовій осі.
6

7.

Властивості функції розподілу:
1) 0 F ( x) 1
2) Якщо x1 < x2, то
F ( x1 ) F ( x 2 )
4) Якщо можливі значення випадкової величини
x a
належать інтервалу (a, b), то а) F(x)=0 при
і б) F(x)=1 при x b
5) Якщо Х – непрерывна випадкова величина, то
імовірність того, що вона прийме одне визначене
значення дорівнює нулю: P(X=x) = 0.
7

8.

Означення. Щільністю розподілу імовірностей
неперервної випадкової величини Х називають
функцію, яка є похідною від функції розподілу:
f (x) = F’(x).
Функцію f(x) називають щільністю імовірності
або диференціальною функцією розподілу.
8

9.

Графік щільності розподілу
9

10.

Властивості щільності ймовірності:
P(a < x < b)
x
2) F ( x ) = f ( x )dx
−
f (x)
a
b
3) f ( x) 0
+
4)
f ( x)dx = 1
f (x)
−
10

11.

Дискретні і неперервні випадкові величини.
Дискретна випадкова величина:
приймає окремі, ізольовані значення.
X
P
x1
p1
x2 …
p2 …
xn
pn
Неперервна випадкова величина:
можливі значення цілком заповнюють
проміжок.
F(x) = P(X < x)
функція
розподілу
f (x) = F’(x)
щільність
розподілу
деякій

12.

Означення.
Математичне
сподівання
дискретної випадкової величини Х називається
сума добутків всіх можливих значень випадкової
величина
на
відповідні
їм
імовірності.
Позначається М (X).
Нехай
X
P
x1
p1
x2 …
p2 …
xn
pn
M ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + + xn pn
Якщо випадкова величина Х приймає нескінченну
множину значень, то M ( X ) = x p
i =1
i
i
12

13.

Імовірнісний зміст математичного сподівання:
математичне
сподівання
наближено
дорівнює
середньому арифметичному значень випадкової
величини.
Доведення
Нехай n – кількість випробувань (достатньо велика).
Нехай випадкова величина Х приймає значення x1 , x2 , , xk
відповідно m1 , m2 , , mk раз.
m1 + m2 + + mk = n
Знайдем середнє арифметичне всіх значень:
x1m1 + x2 m2 + + xk mk x m1 + x m2 + + x mk
X=
= 1
2
k
n
n
n
n
x1 p1 + x2 p2 + xk pk = M ( X )
13

14.

Означення.
Математичне
сподівання
неперервної випадкової величини x, можливі
значення, якої належать відрізку [а, b],
називається визначений інтеграл
b
M ( X ) = xf ( x)dx
a
Якщо можливі значення випадкової величини
розподілені по всій осі ОХ, то
+
M ( X ) = xf ( x )dx
−
14

15. Властивості математичного сподівання

• 1. M ( C ) = C, де C = const.
• 2. M ( CX ) = CM ( X )
n
n
• 3. M X i = M ( X i )
i =1 i =1
• 4. M ( aX + b ) = aM ( X ) + b
• 5. M ( XY ) = M ( X )M ( Y )
- тільки для
незалежних ВВ !
• 6. M ( X ) = 0, якщо
f ( x ) = f ( −x )

16.

Приклад.
X
– 0.1
0.1
P
1/2
1/2
Y
– 100
100
P
1/2
1/2
1
1
M ( X ) = −0.1 + 0.1 = 0
2
2
1
1
M (Y ) = −100 + 100 = 0
2
2
M ( X ) = M (Y ), але X і Y сильно відрізняються
16

17.

Питання: чи можна оцінити дисперсії можливих
значень випадкової величини розрахувавши відхилення
кожного з цих значень від математичного сподівання і
потім знайти їх середнє?
X–М(Х) x1–М(Х) x2–М(Х)
P
p1
p2
…
xn–М(Х)
…
pn
M ( X − M ( X )) =
( x1 − M ( X )) p1 + ( x2 − M ( X )) p2 + + ( xn − M ( X )) pn =
x1 p1 + x2 p2 + + xn pn − M ( X ) ( p1 + p2 + + pn ) =
M (X )
1
M(X ) − M(X ) = 0
17

18.

(X–М(Х))2
(x1–М(Х))2
(x2–М(Х))2
…
(xn–М(Х))2
P
p1
p2
…
pn
Означення. Дисперсією випадкової величини Х
називається математичне сподівання квадрата
відхилення
випадкової
величини
Х
від
математичного сподівання:
D( X ) = M [ X − M ( X )]2
18

19.

1. Дискретна випадкова величина
D( X ) = M [ X − M ( X )]
2
(X–М(Х))2
(x1–М(Х))2
(x2–М(Х))2
…
(xn–М(Х))2
P
p1
p2
…
pn
D( X ) = ( x1 − M ( X )) 2 p1 + ( x 2 − M ( X )) 2 p2 +
2
+ ( x n − M ( X )) pn
або
D( X ) = ( xi − M ( X )) 2 pi
i
D( X ) = M ( X 2 ) − [ M ( X )]2
19

20.

2. Неперервна випадкова величина
За означенням
b
D( X ) = M [ X − M ( X )]2
Але M ( X ) = xf ( x )dx
a
b
2
(
x
−
M
(
X
))
f ( x )dx
M [ X − M ( X )] =
2
b
a
D( X ) = ( x − M ( X )) 2 f ( x )dx
a
b
D( X ) = x 2 f ( x )dx − [ M ( X )]2
a
20

21.

Середнє квадратичне відхилення
Означення. Середнім квадратичним відхиленням
випадкової величини Х називається корінь з її
дисперсії:
( X ) = D( X )
21

22. Властивості

Середнє квадратичне відхилення
D( C ) = 0
C = const.
D( C + X ) = D( X )
D(CX ) = C 2 D( X )
n
n
D Xi = D( Xi )
i = 1 i =1
1. (С ) = 0 , де C = const.
2. ( C + X ) = ( X )
3. (СХ ) = С ( Х )

23. Приклад

• Дискретна ВВ задана рядом розподілу:
xi
• Обчислить
дисперсію
відхилення.
0
1
2
0.2
0.5
0.3
математичне
и
середнє
сподівання.
квадратичне

24.

n
• 1. M ( X ) = xi pi = 0 0.2 + 1 0.5 + 2 0.3 = 1.1 .
i =1
• 2. D( X ) = M ( X ) − M ( X ) .
M( X 2 ) = 0 2 0.2 + 12 0.5 + 22 0.3 = 1.7
.
D( X ) = 1.7 − ( 1.1)2 = 0.49
2
2
• 3. ( X ) = + D( X ) = 0.49 = 0.7
.
.

25.

• Неперервна
імовірності
ВВ
задана
щільністю
2x при 0 x 1
f(x)=
при x 0 и x 1
0
• Обчислить
дисперсію
відхилення.
математичне
и
середнє
сподівання.
квадратичне

26.

+
1
1
3 1
x
2
1. M ( x ) = x f ( x )dx = x 2xdx = 2 x dx = 2
=
3 0 3
−
0
0
2
2. D( X ) = M ( X ) − M ( X )
2
2
+
1
1
4 1
x
1
M ( x ) = x f ( x )dx = x 2xdx = 2 x dx = 2
=
4 0 2
−
0
0
2
1 2
D( X ) = − 0.28
2 3
2
2
2
3
3. ( X ) = + D( X ) = 0.28 0.53

27.

4. Початковий момент порядку k
k = M (X )
k
k = xik pi
i
– дискретна
+
k = x k f ( x)dx
– неперервна
−
Початковий момент першого порядку:
1 = M ( X )
– математичне сподівання

28.

0 = M (X 0) =1
• Якщо
k = 0, то
.
• Якщо
k = 1, то
1 = M ( X 1 ) = М ( Х ) .
• Якщо
k = 2, то
.
2 = M (X 2)
• математичне сподівання ВВ це початковий момент
1-го порядку, а дисперсія може бути виражена
через початкові моменти 1-го и 2-го порядків:
.
D( X ) = M ( X ) − [M ( X )] = 2 −
2
2
2
1

29.

5. Центральний момент порядку k
k = M ( X − M ( X )) k
k = ( xi − M ( X )) k pi
– дискретна
i
+
k = ( x − M ( X )) k f ( x)dx
– неперервна
−
Центральний момент другого порядку:
2 = M ( X − M ( X )) 2 – дисперсія

30.

• Якщо k = 0, то 0 = M ( ) = 1;
• Якщо k = 1,то
1
1
1 = M ( ) = M X − M ( X ) =
0
;
= M( X )− M( X ) = 0
• Якщо k = 2, то
2
2 = M X − M ( X ) = D( X ) ,
• дисперсія ВВ це центральний момент
другого порядку : D( X ) = 2

31.

3 = 3 − 3 2 1 + 2 13
x
a<0
a>0

32.

4
=3
4
x

33.

• Вводиться числова характеристика, яка
називається ексцесом кривої розподілу
і обчислюється як

34.

6. Мода
Для дискретної випадкової величини мода – це
найбільш імовірне значення ВВ.
0,24 < 0,36 > 0,20
Мода: 20

35.

Для неперервної випадкової величини мода –
значення, при якому щільність розподілу f(x)
досягає максимуму.

36.

У випадкової величини може бути декілька мод.
Розподіли з однією, двома або більшим числом
мод називаються відповідно унімодальними,
бімодальними або мультимодальними.

37.

7. Медіана
таке число m, для якого однаково імовірно, що
випадкова величина менше m або більше m, то б то
p( X m) = p( X m) = 0.5
Геометрично медіана – це абсциса точки, в якій
площа, обмежена кривою щільності розподілу,
ділиться навпіл.
Площа всієї фігури: = 1

38.

Медіани
38

39.

8. Квантіль рівня р
таке число хр, що
F(x) – функція розподілу
F(xp ) = p
x p = F −1 ( p )
F-1(x) – функція, обернена до функції розподілу
Квантіль рівня 0.5 – це медіана.
Квантілі рівня ¼, ½, ¾ називають відповідно
першим, другим і третім квартілями.
Квантілі рівня 0.1, 0.2, 0.3, …, 0.9 називають
децілями.
Квантілі рівня 0.01, 0.02, 0.03, …, 0.99 називають
процентілями.

40. Основні дискретні розподіли

• Біноміальний розподіл
• Розподіл Пуассона
• Геометричний розподіл
• Гіпергеометричний розподіл
• Рівномірний розподіл
40

41. Якоб Бернуллі

Я́коб Берну́ллі (6
січня 1655, Базель, Швейц
арія — 16 серпня 1705, там
само) —
швейцарський математик,
основоположник
теорій варіаційного
числення і диференційних
рівнянь, старший із
знаменитої династії
науковців Бернуллі.
41

42. Біноміальний розподіл (Бернуллі)

ρ – імовірність події А
Х – число появ події А у n незалежних випробувань
Тоді імовірність події A обчислюється за формулою:
42

43. Біноміальний розподіл (Бернуллі)

Щільність розподілу
Функція розподілу
43

44. Сімеон-Дені Пуассон

Сімеон-Дені
Пуассон (фр. Siméon-Denis
Poisson) (21
червня 1781, Пітів'є,
департамент Луаре, — 25
квітня 1840, Париж) —
французький фізик і
математик, член Паризької
академії наук (1812),
почесний член
Петербурзької академії
наук (1826).
44

45. Розподіл Пуассона

Нехай n-дуже велике, а p-дуже мале, тоді:
X – число появ А у n незалежних випробуваннях
Тоді імовірність події А обчислюється за формулою:
45

46. Розподіл Пуассона

Щільність розподілу
Функція розподілу
46

47. Геометричний розподіл

47

48. Геометричний розподіл

Щільність розподілу
48
Функція розподілу

49.

4. Гіпергеометричний розподіл
Партія з N виробів містить М стандартних.
З партії випадковим чином вибирають n виробів.
Х – число стандартних виробів серед відібраних
Можливі значення:
CMk C Nn −− kM
Р(k ) =
C Nn
nn M
M
M
M((X
X )) ==
і
N
N
k = 0, 1, 2, …, min (M,n)
N, M, n – параметри розподілу
M
M ((N
N −− M
M )) ((N
N −− nn)) nn
D
D((XX )) ==
N
N 22 ((N
N −−11))
49

50. 5. Рівномірний розподіл

Графік характеристичної функції
Графік кумулятивної функції

51. Основні неперервні розподіли

• Рівномірний розподіл
• Показниковий (експоненціальний)
розподіл
• Нормальний розподіл
• Розподіл Пірсона
• Розподіл Стьюдента
• Розподіл Фішера
51

52.

1. Рівномірний розподіл
В інтервалі (a, b) стала щільність розподілу
x a
0,
1
f ( x) =
, a x b
b − a
x b
0,
x a
0,
x −a
F ( x) =
, a x b
b − a
x b
0,
a, b – параметри розподілу
f(x)
1/(b–a)
a
a +ab+ b
M (M
X ()X=) =
2 2
F(x)
1
a
b
2
(b −(ba−) a )
D( D
X ()X=) =
12 12
2
b
Аs = 0
Еk = −1,2
52

53.

2. Показниковий (експоненціальний) розподіл
x 0
0,
f ( x ) = − x
e , x 0
x 0
0,
F ( x) =
− x
1 − e , x 0
λ – параметр розподіл
1
F(x)
f(x)
1 1
M (M
X )( X
=) =
1 1
D ( XD)( X
= ) =2 2
53

54.

54

55.

3. Нормальний розподіл
1
f ( x) =
e
2
−( x − a )
2
2
2
x
1
F ( x) =
e
2 −
−( x − a ) 2
2 2
dx
a, σ – параметри розподілу
X ()X=) =2 2
M (M
X ()X=)a= a D( D
55

56.

Німецька марка із портретом
Гаусса
Carl Friedrich Gauß, 1777-1855,
56

57. Правило 3 сігм

При нормальному розподілі:
M(+/-)σ=68,26%
⚫ M(+/-)2σ=95,44%
⚫ M(+/-)3σ=99,72%,
⚫
M(+/-)3σ - інтервал всіх можливих
значень

58. Властивості нормального розподілу

Правило 3 сігм (99,72% значень лежать в межах
M+/-3σ)
⚫ Розподіл симетричний (Аs=0), ексцес Еk = 0
⚫ Мода, медіана і математичне сподівання
співпадають
⚫ Значення, що лежать на однаковій відстані від
M(Х), будуть мати однакову імовірність
⚫

59. Логнормальний розподіл

Функція розподілу
Функція щільності
59

60. Логнормальний розподіл

Властивості розподілу
60

61.

2
4. Розподіл Пірсона ( -розподіл)
Нехай незалежні випадкові величини Х1, Х2, …, Хk
мають нормальний розподіл, до того ж матаматичне
сподівання кожної з них дорівнює 0, а середнє
квадратичне відхилення дорівнює 1.
Тоді сума квадратів цих величин:
2
2
2
2
= X1 + X 2 + + X k
k – параметр розподілу
має 2 – розподіл з k ступенями свободи.
1) випадкова величина χ2 ≥ 0.
2) при збільшення числа ступенів свободи розподіл
Пірсона повільно наближається до нормального. 61

62. 5.Розподіл Стьюдента (t-розподіл)

62

63. 5.Розподіл Стьюдента (t-розподіл)

Щільність розподілу
Функція розподілу
63

64. 5.Розподіл Стьюдента (t-розподіл)

64

65.

5. Розподіл Стьюдента (t-розподіл)
Нехай X і Y – незалежні випадкові величини.
X має нормальний розподіл з математичним
сподіванням, що дорівнює 0, і середнім квадратичним
відхиленням, що дорівнює 1.
2
Y має – розподіл з k ступенями свободи.
Тоді величина
X
T=
Y /k
має розподіл Стьюдента з k ступенями свободи
k – параметр розподілу
При збільшенні числа ступенів свободи розподіл
Стьюдента швидко наближається до нормального. 65

66.

66

67.

6. Розподіл Фішера (F-розподіл)
Нехай X і Y – незалежні випадкові величини.
2
X має – розподіл з k1 ступенями свободи.
2
Y має – розподіл з k2 ступенями свободи.
Тоді величина
X / k1
F=
Y / k2
має розподіл Фішера з k1 і k2 ступенями свободи.
k1 і k2 – параметри розподілу
Оскільки X ≥ 0 і Y ≥ 0, то F ≥ 0.
67

68.

Граничні теореми
1. Закон великих чисел.
2. Центральна гранична теорема.
68

69. Нерівність Чебишева

Основою закону великих чисел є нерівність
Чебишова. Вона є частковим випадком більш
загальної нерівності, яка носить ім’я іншого
вченого – Маркова:
для
і для будь-якої випадкової величини Х
яка має скінченне M(X), імовірність події
69

70.

З попередньої нерівності випливає наступна:
70

71. Нерівність Чебишова. Наслідок 1

Для
де
71

72. Нерівність Чебишова. Наслідок 2

Нехай
де
72

73. Нерівність Чебишова. Наслідок 3

Нехай
- відносна частота A в n незалежних
випробуваннях тоді:
p – імовірність події
73

74.

Теорема Чебишова. Якщо дисперсії незалежних
випадкових величин
X1, X2,…, Xn,… не
перевищують сталого числа С, то для довільного
скільки завгодно малого числа > 0 справедлива
рівність
n
1 n
1
lim p X i − M ( X i ) = 1
n →
n
i =1
n i =1
Наслідок з теореми Чебишова. Якщо випадкові
величини X1, X2,…, Xn,… незалежні і однаково
розподілені, з математичним сподіванням a і
2
дисперсією
, то для довільного скольки завгодно
малого числа > 0 справедлива рівність
1 n
lim p X i − a = 1
n → n
i =1
74

75.

Теорема Бернуллі. Якщо в кожному з n незалежних
випробуваннях імовірність p того, що відбудеться
подія A стала, то для довільного, скільки завгодно
малого числа > 0 справедлива рівність
m
lim p − p = 1,
n → n
де m – число появ події A в n випробуваннях.
75

76.

Теорема Ляпунова. Якщо випадкова величина X
дорівнює сумі великої кількість взаємнонезалежних
випадкових величин, усі значення якої мають
скінченні математичні сподівання і дисперсії, і
жодне із значень різко не відрізняється від всіх
інших, тобто має незначний вплив на їх суму, то X
має розподіл, який близький до нормального.
76

77.

Теорема. Нехай незалежні випадкові величины X1,
X2,…, Xn однаково розподілені з математичним
сподіванням a і середнім квадратичним відхиленням .
Тоді випадкова величина
1 n
Xi
n i =1
має
розподіл,
близький
до
нормального
з
математичним сподіванням, що дорівнює a і середнім
квадратичним відхиленням / n
77

78.

Наслідок. Нехай незалежні випадкові величины X1,
X2,…, Xn однаково розподілені з математичним
сподіванням a і середнім квадратичним відхиленням .
Тоді випадкова величина
1 n
Xi − a
n i =1
/ n
має
розподіл,
близький
до
нормального
з
математичним сподіванням, що дорівнює 0, і середнім
квадратичним відхиленням, рівним 1.
78

79.

79