Модели на основе ДУ в частных производных и метод конечных разностей

1. Модели на основе ДУ в частных производных и метод конечных разностей

1
Модели на основе ДУ в частных производных
и метод конечных разностей
В стационарном режиме поток тепла в данной точке пространства
определяется теоремой Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме:
div j
– объёмная плотность мощности тепловых источников.
Плотность потока тепла определяется законом Фурье:
j grad T
– коэффициент теплопроводности.
div gradT
T
2T 2T 2T
T 2 2 2
x
y
z

2.

2
Физическая модель: тонкая проволока, окружённая теплоизолирующей
оболочкой. Концы проволоки прикреплены к массивным контактам,
обеспечивающим хороший теплоотвод, и как следствие, поддержание их
температуры
постоянной; будем считать температуру проволоки не слишком
высокой, что позволяет пренебречь зависимостью сопротивления от температуры.
Уравнение Пуассона:
d 2T
dx 2
Аналитическое решение:
x
T x T0 4 1
l
x
l
l 2
– максимальное приращение температуры.
8
Перейдём к безразмерной координате x / l
d 2T
8 ,
2
d
T T0 4 1

3. Метод конечных разностей

3
Метод конечных разностей
Рассмотрим одномерный случай: y f x
Для упрощения задачи будем считать, что функция y(x) задана своими
значениями на системе равноотстоящих узлов
x0 , x1,..., xn
xi x0 ih, i 0,1,..., n
Разложим функцию y в ряд Тейлора в окрестности точки xi:
y ( x) yi yi ( x xi )
1
1
yi ( x xi ) 2 yiIII ( x xi )3 ...
2
6
h x xi - шаг сетки
Для (i-1)-го и (i+1)-го узлов сетки:
1 2 1 III 3
yi h yi h ;
2
6
1
1
yi 1 yi yi h yi h 2 yiIII h3 .
2
6
yi 1 yi yi h

4.

4
h3 III
yi 1 yi 1 yi 2h yi
3
2
y yi 1 h III
yi i 1
yi
2h
6
O h 2
O h 2 – остаточный член 2-го порядка точности.
Для вычисления 2-й производной ряд Тейлора ограничим членом
1 2 1 III 3 1 IV 4
yi h yi h
yi h ,
2
6
24
1
1
1 IV 4
yi 1 yi yi h yi h 2 yiIII h3
yi h .
2
6
24
yi 1 yi yi h
yi 1 yi 1 2 yi yi h2
1 IV 4
yi h
12
yi 1 2 yi yi 1 h 2 IV
yi
yi
h2
12
O h2
1 IV
yi ( x xi ) IV
12

5.

5
Таким образом
yi
yi 1 yi 1
;
2h
yi
yi 1 2 yi yi 1
.
2
h
В двумерном случае используют разделенные конечные разности по x- и yкоординате:
x
U i , j 1 U i , j 1
2h
x
2
y
2
;
y
U i 1, j U i 1, j
U i , j 1 2U i , j U i , j 1
U i 1, j
2
;
2
.
h
Uyi , j U i 1, j
h
2h
.
2U 2U
Например, уравнение Лапласа
2 0 можно преобразовать как
2
x
y
x 2 y 2 0
или U i , j 1 2U i , j U i , j 1 U i 1, j 2U i , j U i 1, j 0

6.

6
d 2T
8 имеет вид
2
d
Конечностно-разностный аналог уравнения
8
T
2
T
T
, для i 1,..., n
i
i 1
2
i 1
n 1
T T const.
n 1 0
Здесь шаг сетки h 1 / n 1
В виде трёхдиагональной матрицы:
0
1 Ti 1
1 T
n 1
2 T1
1 T2
2 Ti
1 Ti 1
2 Tn
0
8
n 1
2
T0
8
n 1
2
8
n 1
2
T0
( i 1)
(i 2,..., n 1)
(i n)

7.

7
Решение системы уравнений методом прогонки
Этот метод применяется в общем случае для систем вида:
bi xi 1 ci xi di xi 1 ri , для i 1,..., n
при условии b1=0 и dn=0.
Введем коэффициенты δi и λi:
xi i xi 1 i
Уменьшим индекс i на 1:
xi 1 i 1 xi i 1
bi i 1 xi bi i 1 ci xi di xi 1 ri ,
xi bi i 1 ci ri bi i 1 di xi 1 ,
xi
ri bi i 1
di
xi 1
bi i 1 ci bi i 1 ci
i
i

8.

8
Прямой ход (вычисление δi и λi)
i=1
b1 0, 1
r1
d
, 1 1
c1
c1
i
ri
d
, i i
ci
ci
i=2,3,…, n-1
Обратный ход (вычисление xi)
xn n
i=n
dn 0
i=(n-1), (n-2)…, 1
xi i 1 xi 1
rn bn n 1
bn n 1 cn

9.

9
Рассматриваемую задачу можно приблизить к реальности, учитывая
теплоотдачу с поверхности проводника. Если превышение температуры
проводника много меньше температуры окружающей среды, то теплоотдачу с
поверхности проводника можно считать пропорциональной разности температуры
T проводника и температуры T0 окружающей среды:
d 2T
8 T T0
2
d
α – коэффициент теплоотдачи поверхности
Тогда трёхдиагональная матрица примет вид
8 T0
0
2
T1 1 T2
T0 ( i 1)
2
2
n 1
n 1
8 T0
Ti 1 Ti 1
( i 2,..., n 1)
1 Ti 1 2
2
2
n 1
n 1
8 T0
1
T
2
T
0
T
(
i
n
)
n
0
2
2
n 1
n
1
n
1