Показательная и тригонометрические функции комплексного переменного

1.

Ряд с комплексными членами
z1 z2 ... zn ...
1
называется сходящимся, если
существует конечный предел
последовательности его частичных
сумм:
lim S n S
n

2.

Число S называется суммой ряда:
z1 z2 ... zn ... S

3.

Ряд (1) сходится тогда и только тогда,
когда сходится ряд
x1 x2 ... xn ...
составленный из действительных
частей членов ряда (1), и ряд
y1 y2 ... yn ...
составленный из
членов ряда (1).
мнимых
частей

4.

Таким
образом,
из
сходимости
последовательности комплексных чисел следует
сходимость двух последовательностей, одна из
которых состоит из действительных, а другая –
из
мнимых
частей
комплексной
последовательности.
Если
lim z n 0
n
то
lim xn lim yn 0
n
n

5.

Ряд (1) сходится абсолютно, если
сходится ряд
z1 z2 ... zn ...
xn zn
yn z n
x1 x2 ... xn ...
y1 y2 ... yn ...
сходятся
Определение суммы, разности, произведения
рядов с комплексными членами такие же,
как и для рядов с действительными членами.

6.

Когда показатель степени является комплексным
числом, определение степени
a
z
вводимое в алгебре, теряет смысл. Аналогично,
известные из тригонометрии функции
sin z, cos z, tgz, ctgz
теряют смысл при комплексном аргументе z.

7.

Воспользуемся известными разложениями в ряд
функций действительного аргумента
x
e , sin x, cos x
и определим их для комплексного аргумента:
2
3
n
z
z
z
e 1 z ... ...
2! 3!
n!
z
2

8.

3
2 n 1
5
z
z
z
n
sin z z
... ( 1)
...
3! 5!
(2n 1)!
3
2
4
2n
z
z
z
n
cos z 1
... ( 1)
...
2! 4!
(2n)!
4

9.

Ряды, стоящие в правой части равенств,
сходятся, и притом абсолютно, при любом
комплексном значении z. Поэтому эти
равенства определяют функции
z
e , sin z, cos z
во всей плоскости комплексного переменного.
При действительных значениях z эти функции
будут совпадать с функциями, определенными
ранее в курсе математического анализа.

10.

Найдем связь между этими функциями.
Подставим в разложение (2) вместо z величину iz.
z
i z
z
i z
e 1 i z
...
2!
3!
4!
5!
2
3
4
5
iz
Умножим почленно равенство (3) на i:
i z3 i z5
i sin z i z
...
3!
5!
5

11.

Складываем почленно полученное равенство с
равенством (2):
z
i z
z
i z
cos z i sin z 1 i z
...
2!
3!
4!
5!
2
3
4
5
Правые части этого равенства и равенства (5)
равны, следовательно можно приравнять их
левые части:

12.

e cos z i sin z
iz

13.

Если в формуле Эйлера заменить z на –z, то
e
iz
cos z i sin z
Складывая и вычитая почленно последние два
равенства, получаем:
e e
iz
iz
cos z i sin z cos z i sin z 2 cos z
eiz e iz
cos z
2
e e
iz
iz
cos z i sin z cos z i sin z 2i sin z
e e
sin z
2 i
iz
iz

14.

Эти формулы позволяют вычислять значения
тригонометрических функций с комплексным
аргументом.
С помощью формулы Эйлера можно перейти от
тригонометрической формы комплексного числа
к показательной:
e r e
iz
i

15.

Получим выражение, позволяющее вычислять
значения показательной функции при любом
комплексном значении показателя.
Т.к.
e
то
z1 z 2
e e
z
e e
x iy
z1
z2
e e
x
iy
По формуле Эйлера
e cos y i sin y
iy
следовательно

16.

e e (cos y i sin y)
z
x
Тогда
e e
z
x
и одно из значений аргумента равно у:
Arge y
z

17.

Вычислить
1
2
3
4
2 3i
e
i
e
e2
i
sin( 1 2 i )

18.

1
2
e
2 3i
e e (cos i sin ) 1
i
3
e (cos 3 i sin 3)
2
e
2
0
i
e (cos
0
2
i sin
2
) i

19.

4
i 2
2 i
2
i
e e e e
e
sin( 1 2 i )
2i
2i
2
2
e (cos 1 i sin 1) e (cos 1 i sin 1)
2i
2
2
2
2
cos 1 (e e ) i sin 1 (e e )
2i
e 2 e 2
e 2 e 2
cos 1
sin 1 i
2
2
e
i
2

20.

Из равенства
e e (cos y i sin y)
следует периодичность функции e z
z
x
с периодом 2Пi:
z x i y
e
z 2 i
e
x i ( y 2 )
e (cos( y 2 ) i sin( y 2 ))
x
e x (cos y i sin y ) e z

21.

В частности:
e 2 k i e0 (cos 2k i sin 2k ) e0 1
e( 2 k 1) i e0 (cos( 2k 1) i sin( 2k 1) ) 1
Поскольку показательная функция имеет период
2Пi, то и функции
iz
iz
iz
iz
e
e
e e
sin z
cos z
2 i
2
тоже будут периодичными с периодом 2П:
cos( z 2 ) cos z sin( z 2 ) sin z

22.

Между
тригонометрическими
функциями
сохраняются связывающие их тождества.
Поскольку функции sinz и cosz определены, можно
задать функции tgz и ctgz для комплексного
аргумента:
iz
sin z
e e
tgz
iz
iz
cos z i (e e )
iz
iz
cos z i (e e )
ctgz
iz iz
sin z
e e
iz