ДУ второго порядка, допускающие понижение степени

1.

Существуют три вида уравнений второго порядка,
допускающих понижение степени.
1
Уравнения вида
y f (x)

2.

Введем новую функцию:
z ( x) y
Тогда исходное уравнение станет
уравнением первого порядка:
неполным
z f (x)
Его решение:
dz
f ( x) dz f ( x)dx z f ( x)dx C1
dx

3.

Возвращаемся к старой переменной:
y f ( x)dx C1
y
y
f ( x)dx C dx
1
f ( x)dx dx C x C
1
2
Рассмотренный в предыдущем параграфе пример
относится к этому случаю.

4.

2
Уравнения вида y f ( x, y )

5.

Введем новую функцию:
z ( x) y
Находим общее решение этого уравнения:
z ( x, C1 )
Затем проинтегрируем его и найдем общее решение
исходного уравнения:
y ( x) ( x, C1 )dx C2

6.

Решить дифференциальное уравнение:
x y y 0

7.

В это уравнение явно не входит у. Делаем замену:
z ( x) y
x z z 0
Разделяем переменные:
dz
x z 0
dz
dz
dx
z x
dz
z
dz
x
dz
dx
z
x
ln z ln x C1

8.

z e
ln x C1
e
ln x
e C2 e
C1
ln
1
x
1
C2
x
1
z C2
x
Возвращаемся к старой переменной:
dy
1
C2
z C2
dy dx
dx
x
x
y C2 ln x C3
C2
dy x dx

9.

3
Уравнения вида y f ( y, y )

10.

Введем новую функцию:
z ( y ) y
По
правилу
функции:
дифференцирования
сложной
d
dz
dz
y z ( y ) y z
dx
dy
dy
Тогда исходное уравнение преобразуется в ДУ
первого порядка относительно функции z(y):
dz
z f ( y, z )
dy

11.

Пусть общее решение этого уравнения
z ( y, C1 )
Тогда обратной заменой получаем неполное
уравнение первого порядка относительно у(х):
dy
( y, C1 )
dx
Решаем его методом разделения переменных:
dy
( y, C1 ) x C2
Отсюда находим искомую функцию у=у(х).

12.

Решить дифференциальное уравнение:
y ( y ) 0
2

13.

В это уравнение явно не входит х. Делаем замену:
z ( y ) y
dz
y
z
dy
dz
z
dy
Первое решение этого уравнения:
z 0
y C1
dz
2
z z 0
dy

14.

dz
z dy ln z y C2
y C2
C2
y
y
z e
e e C3 e
z C3 e y C4 e y
Возвращаемся к старой переменной:
dy
C4 e y
dx
e
y
dy
dx
y
C4 e
C4 x C5
e
y
dy
e y C4 dx
(C4 x C5 )
y( x) ln( C4 x C5 )