Линейные ДУ n-го порядка

1.

Уравнение вида
y
(n)
a1 ( x) y
( n 1)
... an ( x) y f ( x)
где
a1 ( x),..., an ( x), f ( x)
- известные функции, называется ЛДУ nго порядка.

2.

Если f(x)=0:
y
(n)
a1 ( x) y
( n 1)
... an ( x) y 0
то уравнение называется линейным
однородным.
В противном случае уравнение будет
неоднородным.

3.

Для однородного ДУ n-го порядка можно
выделить
совокупность
линейнонезависимых частных решений:
y1 ( x), y2 ( x),..., yn ( x)
которые называются

4.

Определитель Вронского n–го порядка,
составленный
из
решений
фундаментальной системы неравен нулю:
y1
y1
Wn ( x)
y2
y2
...
...
yn
yn
... y
( n 1)
n
...
( n 1)
1
y
y
( n 1)
2
0

5.

1
Если функции
y1 ( x), y2 ( x),..., yn ( x)
являются решениями уравнения, то их
линейная комбинация
C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) ... Cn yn ( x)
тоже будет решением этого уравнения.

6.

2
Если функции
y1 ( x), y2 ( x),..., yn ( x)
являются фундаментальной системой
решений, то любое общее решение
уравнения
выражается
в
виде
линейной комбинации:
y( x) C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) ... Cn yn ( x)
где С1…Сn – произвольные постоянные, не
равные нулю одновременно.

7.

Общее решение неоднородного уравнения n го порядка состоит из любого частного
решения этого уравнения и общего
решения соответствующего однородного
уравнения.