Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами

1.

Линейные однородные ДУ n-го порядка
с постоянными коэффициентами
y
n
a1 y
n 1
a2 y
n 2
... an 2 y an y 0
a1 , a2 ,..., an - постоянные

2.

• Если x D имеет место равенство
n ( x) A1 1 ( x) A2 2 ( x) ... An 1 n 1 ( x)
где A1 , A2 ,..., An 1 - постоянные, не все
равные нулю, то говорят, что n (x)
выражается линейно через функции
1 ( x), 2 ( x),..., n 1 ( x)

3.

• n функций 1 ( x), 2 ( x),..., n 1 ( x), n ( x)
называются линейно независимыми, если
никакая из этих функций линейно не
выражается через остальные.

4. Замечание

Если функции 1 ( x), 2 ( x),..., n 1 ( x), n ( x)
линейно зависимы, то найдутся постоянные
С1, С2,…,Сn не все равные нулю, такие, что
x D будет выполняться тождество
C1 1 ( x) C2 2 ( x) ... Cn n ( x) 0

5. Пример 1.

x
y
e
,
Например, функции
y e2 x ,
y 3e x
линейно зависимые, так как при
1
C1 1, C2 0, C3
3
имеет место тождество:
C1e x C2 e 2 x C3 3e x 0

6. Пример 2.

Например, функции
y 1,
y x,
y x2
линейно независимые, так как ни при каких C1 , C2 , C3
одновременно не равных нулю, выражение не равно
нулю:
C1 C2 x C3 x 2 0

7. Пример 3.

k1 x
y
e
,
Например, функции
y e k2 x ,..., y e kn x
линейно независимые, так как ни при каких C1 , C2 ,..., Cn
одновременно не равных нулю, выражение не равно
нулю:
C1e k1x C2e k2 x ... Cn e kn x 0

8. Теорема

Если функции у1, у2,…, уn являются линейно
независимыми решениями уравнения
y
n
a1 y
n 1
a2 y
n 2
... an 2 y an y 0
то его общее решение есть
y C1 y1 C2 y2 ... Cn yn
где С1, С2,…, Сn- произвольные постоянные.

9. Нахождение общего решения ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами.

1. Составляем соответствующее
характеристическое уравнение:
k a1k
n
n 1
a2 k
n 2
... an 0
2. Находим корни характеристического
уравнения: k1, k2, …, k n

10.

3. По характеру корней выписываем частные
линейно независимые решения:
а) каждому действительному однократному
корню k соответствует частное решение e kx
b) каждой паре комплексных сопряженных
однократных корней k i соответствует
два частных решения e x cos x и e x sin x

11.

с) каждому действительному корню
кратности r
соответствует r линейно
независимых
частных
решений
kx
kx
r 1 kx
e , xe ,..., x e
d) каждой паре комплексных сопряженных корней
кратности r соответствуют 2r частных
k i
решений:
e x cos x, xe x cos x, ..., x r 1e x cos x
e x sin x, xe x sin x, ..., x r 1e x sin x
Этих частных решений будет ровно столько, какова степень
характеристического уравнения (т.е. столько , каков порядок данного
линейного ДУ)

12.

4. Найдя n линейно независимых частных
решений у1, у2, …, уn, строим общее решение
данного линейного уравнения:
y C1 y1 C2 y2 ... Cn yn
где С1, С2,
постоянные.
…,
Сn
–
произвольные

13. Пример 1. Решить ДУ:

y IV y 0
Пример 1.
Решить ДУ:
Решение.
Характеристическое уравнение:
k 4 1 0
k 1 0
2 2
k
2
1 k 2 1 0
2) k
1 0
1) k 2 1 0 k 2 1 k1 1, k2 1
2
k 2 1 k3 i, k 4 i
x
x
y
C
e
C
e
C3 cos x C4 sin x
Ответ. Общее решение:
1
2

14. Пример 2. Решить ДУ:

y 6 9 y 5 27 y 4 27 y 3 0
Решение.
Характеристическое уравнение:
k 6 9k 5 27k 4 27k 3 0
k (k 9k 27k 27) 0
3
3
2
k 3 (k 3)3 0
1) k 3 0 k1 k 2 k3 0
y1 1,
y 2 x,
y3 x 2
2) k 3 0 k4 k5 k6 3
3
Ответ.
y4 e 3 x ,
y5 xe3 x ,
y C1 C2 x C3 x 2 e3 x (C4 C5 x C6 x 2 )
y6 x 2 e 3 x

15. Пример 3. Решить ДУ:

Решение.
y 10 y 41y 0
Характеристическое уравнение:
k 3 10k 2 41k 0
k (k 10k 41) 0
2
1) k 0 k1 0 y1 1
2) k 2 10k 41 0
Ответ. Общее решение
k2 5 4i
y2 e5 x cos 4 x
k3 5 4i
y3 e5 x sin 4 x
y C1 e5 x (C2 cos 4 x C3 sin 4 x)