Замена переменной в двойном интеграле

1.

Пусть функция f(x,y) непрерывна в некоторой
замкнутой ограниченной области D, и существует
f ( x, y)dxdy
D
Предположим, что возможен переход к новым
переменным:
( x, y ) (u, v)

2.

x x (u , v )
y y (u , v )
u u ( x, y )
v v ( x, y )

3.

Пусть преобразование x=x(u,v), y=y(u,v)
переводит замкнутую ограниченную
область
D
в
замкнутую
ограниченную область D* и является
взаимно однозначным.
Если функции x(u,v), y(u,v) имеют в D*
непрерывные частные производные,
и выражение

4.

x
( xy)
u
y
(uv )
u
x
v 0
y
v
то имеет место

5.

f ( x, y)dxdy
D
D
( xy)
f x(u, v), y (u, v)
dudv
(uv)

6.

x
( xy)
u
y
(uv )
u
x
v
y
v

7.

1
Вычислить двойной интеграл
sin( x y) dxdy
D
где область D ограничена линиями
x y,
x y
2
,
y 0

8.

Введем новые переменные:
x y u
x y v
u v
x
2
u v
y
2

9.

Тогда прямая x y
2
u
переходит в прямую
2
Прямая
x y
переходит в прямую
v 0
Прямая
y 0
переходит в прямую
v u

10.

Область D* –треугольник:
v
u
u v
D
0
2
2
u

11.

Найдем якобиан:
x 1
u 2
x 1
v 2
1
( xy)
2
1
(uv )
2
y 1
u 2
1
2 1
1
2
2
( xy) 1
(uv) 2
y
1
v
2

12.

1
1
D sin( x y) dxdy 2 sin ududv 2
D
1
2
2
1
0 du sin u v 0 2
u
2
u
du sin udv
0
0
2
du sin u u
0
2
1
1
1
1
2
2
u cos u 0 cos udu sin u 0
2
2 0
2
2
0

13.

2
Вычислить двойной интеграл
e
x2 y2
dxdy
D
где область D ограничена осью х и
верхней полуокружностью
x y 1
2
2

14.

Область D –полуокружность:
y
1
D
1
0
1
x

15.

Введем новые переменные:
x cos
y sin
0
Прямая
y 0
переходит в прямую
Полуокружность
переходит в прямую
x y 1
2
2
1

16.

Область D* –прямоугольник:
D
0
1

17.

Найдем якобиан:
x
cos
x
sin
y
cos
y
sin
(xy) cos sin
2
2
cos sin
( ) sin cos
(xy)
( )

18.

e
x2 y2
1
0
0
dxdy e d d d e d
2
D
D
1
2
1
1 2
1
d e d e (e 1)
2 2
2
0 0
2
0