Гармонический анализ

1.

2.

Функция f(x) называется периодической на
промежутке Х, если существует такое
наименьшее число Т, называемое периодом
функции, что для любого х выполняется
равенство
f(x+T)=f(x)

3.

Если Т – период функции, то при
x nT X
где n – целое число, выполняется равенство:
f ( x nT ) f ( x)
Поэтому число nТ тоже часто называют периодом
функции в широком понимании этого слова.
Простейшими
периодическими
функциями
являются sin x и cоs x с периодом 2П.
Из простых периодических функций можно
составить более сложные.
Например, рассмотрим функции

4.

f 0 ( x) A
2
f1 ( x ) A1 sin
x 1
T
4
f 2 ( x ) A2 sin
x 2
T
6
f 3 ( x ) A3 sin
x 3
T
...
1

5.

Где Аn и αn – постоянные величины, которые
называются амплитудой и сдвигом фаз,
соответственно.
Периоды для этих функций равны:
f 0 ( x) :
любое число
f1 ( x ) :
f 2 ( x) :
f 3 ( x) :
...
Т
Т
2
Т
3

6.

Проверим это для одной из функций:
4
f 2 ( x) A2 sin
T
T
4
x 2 A2 sin x 2 2
2
T
4
A2 sin x 2
T
Если сложить эти функции, то снова получится
периодическая функция, но более сложного вида.
Геометрически это означает, что график сложной
периодической
функции
есть
результат
наложения простых синусоид.

7.

Поставим обратную задачу: можно ли данную
периодическую функцию f(x)
с периодом Т
представить в виде конечной или бесконечной
суммы периодических функций?
Такая задача решается для широкого класса
функций и называется гармоническим анализом.
При этом отдельные функции вида (1) называются
гармоническими
составляющими
или
гармониками функции f(x).

8.

Ряд вида
a0
a1 cos x b1 sin x a2 cos 2 x b2 sin 2 x
2
a3 cos 3 x b3 sin 3x ...
a0
an cos nx bn sin nx
2 n 1
называется тригонометрическим рядом.

9.

Числа an и bn –называются коэффициентами этого
ряда.
В этот ряд входят функции
1
, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x,..., cos nx, sin nx
2
2
имеющие общий период 2П.

10.

Следовательно,
любая
частичная
сумма
тригонометрического
ряда
тоже
будет
периодической функцией с периодом 2П.
Поэтому, если ряд сходится на отрезке [-П,П], то он
сходится и на всей числовой прямой.