Дифференциальные уравнения и ряды. Применение рядов Тейлора. Периодические функции. Ряды Фурье

1. Дифференциальные уравнения и ряды

Лекция 12

2.

§7. Применение рядов Тейлора
1. Вычисление приближенных значений функции
Для решения этой задачи используется и формула
Тейлора, но преимуществом ряда Тейлора является то,
что остаток ряда Rn(x) оценить проще, чем остаточный
член формулы Тейлора.
Основные приемы оценки остатка ряда:
- для знакочередующегося ряда Rn ( x) un 1 ( x) ;
- если ряд не является знакочередующимся, то остаток
оценивают с помощью бесконечно убывающей
геометрической прогрессии;
2

3.

- иногда для оценки
положительных рядов удобна
оценка Rn ( x) f ( x)dx, где f(x) непрерывная монотонно
n
убывающая на промежутке [1; +∞) функция такая, что
f(i) = ai (ai i-ый член ряда).
Пример 1. Вычислить ln 2 с точностью = 10 2.
( 1) n 1 x n
, x ( 1, 1].
Воспользуемся разложением ln(1 x)
n
n 1
Подставляем х = 1 (учитываем, что точка входит в
( 1) n 1
.
область сходимости) и получаем ln 2
n
n 1
Применим формулу оценки остатка для
знакочередующегося ряда и выясним сколько слагаемых
нужно взять для достижения указанной точности
3

4.

Rn an 1
( 1) n 2
1
10 2 n 1 100 n 101.
n 1
n 1
Начиная со 101 номера получаем слагаемые, которые
меньше . Т.е. нужно вычислить сумму 100 первых
членов ряда, что весьма затруднительно.
Поэтому будем использовать другую функцию для
1 x
.
вычисления указанного значения: ln
1 х
Найдем разложение этой функции в ряд Маклорена:
1 x
ln
ln(1 x) ln(1 х).
1 х
Из разложения ln(1+x) получим разложение ln(1 x)
путем смены знака при х:
( 1) n 1 ( x) n
( 1) 2 n 1 x n x n
ln(1 x)
, х [ 1, 1).
n
n
n 1
n 1
n 1 n
4

5.

1 x x n ( 1) n 1 x n
ln
[объединяем в один ряд]
1 х n 1 n
n
n 1
x 2 x3
xn
x 2 x3
( 1) n 1 x n
x ... ... x ...
...
2 3
n
2 3
n
x3
x 2 n 1
x 2 n 1
2 x 2 ... 2
... 2
.
3
2n 1
n 1 2 n 1
Область сходимости этого ряда определяем
через
( 1) n 1 x n
xn
:
пересечение областей сходимости
и
( 1, 1] [ 1, 1) ( 1, 1).
n 1
n
n 1
n
1 x
x 2 n 1
Значит ln
2
, x ( 1, 1).
1 х
n 1 2 n 1
5

6.

1
При x получим
3
1 1 3
( 1 3) 2 n 1
2
1
ln
ln 2 2
2 n 1
, x ( 1, 1).
1 1 3
2n 1
3
(2n 1)
n 1
n 1 3
Здесь уже имеем знакоположительный ряд, поэтому
остаток оцениваем с помощью бесконечно убывающей
геометрической прогрессии:
2
2
2
1
1
Rn 2 k 1
2 k 1 2 n 1
2 n 10 2.
1 1 3 3
(2k 1) k n 1 3
3
k n 1 3
Из последнего неравенства найдем n (n N):
1
2
2n
10
3
100 2n 5 n 3.
2n
3
Значит, для достижения указанной точности нужно
взять три первых члена ряда.
6

7.

3
2
2
2
2
842
ln 2 2 n 1
0,693... 0,69.
(2n 1) 3 1 27 3 243 5 1215
n 1 3
Результат округляем до второго знака после запятой,
т.к. = 10 2. Ответ гарантирует один верный знак
после запятой.
3
2
Ответ. ln 2 2 n 1
0,69 с точностью 10 2.
n 1
3
(2n 1)
7

8.

2. Вычисление интегралов
Ряды применяются в тех случаях, когда интеграл
неберущийся или хотя и берущийся, но имеет
громоздкую первообразную.
Разложение функции в степенной ряд позволяет
интегрировать функцию, почленно интегрируя ее ряд в
области сходимости.
Пример 2.0,2Вычислить приближенное значение
интеграла 3 1 x3 dx с точностью ε = 10−5. Указать число
0,1
членов ряда, взятых в частичную сумму для достижения
нужной точности на верхнем и нижнем пределах
интегрирования.
8

9.

Воспользуемся разложением
( 1)...( n 1) n
(1 t ) 1
t , t ( 1, 1).
n!
n 1
( 1)...( n 1) n
Можно ряд записать в виде: (1 t )
t .
n!
n 0
У нас t = х3, = 1/3:
1 1 1
1
...
n
1
1 2 ... 3n 4
3n
3 3 3
3
3
3n
1 x
x
x ,
n
n!
3 n!
n 0
n 0
x3 ( 1, 1) x ( 1, 1).
9

10.

Теперь, учитывая, что промежуток интегрирования
находится в области сходимости, находим интеграл,
почленно интегрируя ряд:
1 2 ... 3n 4 3n
I 1 x dx
x dx
n
3 n!
0,1
0,1 n 0
3 n 1 0,2
1 2 ... 3n 4 0,2
1 2 ... 3n 4
3n
x
x dx
n
n
n 0
3n 1 0,1
3 n!
3 n!
n 0
0,1
1 2 ... 3n 4
(0, 2)3n 1 1 2 ... 3n 4 (0,1)3n 1
.
n
n
3n 1 n 0
3n 1
3 n!
3 n!
n 0
0,2
0,2
3
3
Начиная со второго слагаемого получим чередование
знаков, т.к. каждая новая скобка в числителе первой
дроби меняет знак на противоположный.
10

11.

Будем вычислять сумму отдельно для каждого ряда с
указанной точностью ε = 10−5 (члены ряда берем до тех
пор, пока не получим значение, по модулю не
превосходящее ε):
1 2 ... 3n 4 (0, 2)3n 1
Sверхн
n
3 n! (3n 1)
n 0
(0, 2) 4
2 (0, 2) 7
0, 2
... 0,2 0,000133 0,20013.
3 4
9 2 7
0,0001(3)
0,0000002...
На промежуточных этапах вычислений берем цифры с
запасом, т.к. преждевременные округления дают
дополнительную погрешность.
11

12.

1 2 ... 3n 4 (0,1)3n 1
Sнижн
n
3 n! (3n 1)
n 0
(0,1) 4
0,1
... 0,10000.
3 4
0,000008(3)
В ответе пишем 5 знаков после запятой с учетом , при
этом гарантированы 4 верных знака после запятой.
I Sверхн Sнижн 0,20013 0,10000 0,10013.
Ответ. I 0,10013 с точностью ε = 10−5. Для
достижения нужной точности на верхнем пределе
интегрирования взяли 2 члена ряда, на нижнем 1
член ряда.
12

13.

3. Решение дифференциальных уравнений
Решение многих нетривиальных ДУ можно найти в виде
ряда. Например, в виде ряда Тейлора (или его частичной
суммы). Метод последовательного дифференцирования
применяется для ДУ, разрешенных относительно
старшей производной, при наличии начальных условий.
Пример 3.1. Представить в виде степенного ряда
решение дифференциального уравнения y y ln( xy ) x y ,
удовлетворяющее начальному условию y(1) = 1. Найти
четыре члена ряда.
Ищем решение в виде ряда Тейлора в окрестности
начальной точки x0 = 1
13

14.

y ( x0 )
y ( x0 )
y ( x0 )
2
y ( x) y ( x0 )
( x x0 )
( x x0 )
( x x0 )3 ...
1!
2!
3!
Первое слагаемое находим из начального условия:
1
y
(1)
1
ln(1)
1
1.
y(1) = 1. Далее, из ДУ
Дифференцируем ДУ, учитывая, что ln(xy) = lnx + lny и y
зависит от x:
1 y
y ( y (ln x ln y ) x ) y (ln x ln y ) y
x y
y 1
y
yx x y ln x .
y
Для последнего слагаемого использовали формулу
дифференцирования степенно-показательной функции:
fg
g f g 1 f f g g ln f .
14

15.

Находим y (1) 1 0 (1 1) (1 0) 1.
Теперь вычисляем 3 производную для у:
y
y ( y ) y (ln x ln y ) y x y yx 1 y ln x
x
1 y y x y
y (ln x ln y ) y
y
2
x
x y
yx y 1 x y y ln x yx 1 y ln x x y y x 1 yx 2 y ln x y x 1 .
Тогда
1 1
y (1) 1 0 1 (1 1)
1 (1 0)(1 0) 1 ( 1 1 0 1)
1
2 1 1 3 1.
15

16.

Искомое решение ДУ в окрестности x0 = 1 имеет вид:
1
1
1
2
y ( x) 1 ( x 1) ( x 1) ( x 1)3
1!
2!
3!
( x 1) 2 ( x 1)3
1 ( x 1)
.
2
6
( x 1) 2 ( x 1)3
.
Ответ. y ( x) 1 ( x 1)
2
6
Замечение. При x0 0 получаем разложение по
степеням (x x0) и ответ записываем в таком же виде,
не раскрывая скобок.
16

17.

Пример 3.2. Найти первые четыре члена (отличных от
нуля) разложения в степенной ряд решения уравнения
y 2 xy y 2 , y(0) 1, y (0) 1.
В ответе записать соответствующее решение ДУ.
Здесь начальное условие задано в нуле, поэтому ищем
решение в виде ряда Маклорена:
y (0)
y (0) 2 y (0) 3
y ( n ) (0) n
y ( x) y (0)
x
x
x ...
x ...
1!
2!
3!
n!
Первые два ненулевых члена найдем из начальных
условий y(0) = 1, y (0) = 1. Нужно найти еще два
ненулевых члена ряда.
Из ДУ находим y (0) 0 1 1.
17

18.

Дифференцируем ДУ: y (2 xy y 2 ) 2( y xy ) 2 yy
и находим y (0) 2 0 2 0.
Получили нулевой коэффициент при х3, поэтому
вычисляем следующую производную
y IV 2( y y ( x y )) 2( y y ( x y ) y (1 y )).
Тогда y IV (0) 2( 1 1(0 1) 1(1 1)) 2( 1 1) 0.
Вновь получили нулевой коэффициент.
Вычисляем далее:
yV 2(2 y y ( x y ) ( y ) 2 ) 2(2 y y ( x y) y (1 y ) 2 y y );
yV (0) 2(2 0 1 (1 1) 2) 0;
yVI 2(3 y y ( x y ) 3 y y )
2(3 y y IV ( x y ) y (1 y ) 3(( y ) 2 y y ));
18

19.

yVI (0) 2(0 0 0 3(1 0)) 6.
Искомое решение ДУ в окрестности нуля имеет вид:
1
1 2
6 6
3
4
5
y ( x) 1 x x 0 x 0 x 0 x x ...
1!
2!
6!
x2 x6
1 x
.
2 120
x2 x6
.
Ответ. y ( x) 1 x
2 120
19

20.

§ 8. Периодические функции. Ряды Фурье
Функция называется периодической с периодом Т>0
(или Т − периодической), если для всех значений x Х
выполняется равенство f(x+T) = f(x).
Простейшими периодическими функциями являются
простые гармоники:
где |A|−амплитуда, ω− частота, φ0− начальная фаза.
В механике такая функция описывает гармонические
колебания точки, у которой период колебаний равен
2π/ω.
20

21.

Преобразуем эту функцию к виду
Таким образом, простая гармоника имеет вид:
При наложении простых гармоник получается
сложное гармоническое колебание, которое
описывается функцией вида
21

22.

При неограниченном возрастании n получим ряд,
который обычно записывают в виде
и называют тригонометрическим рядом; числа a0, an, bn
называют коэффициентами ряда.
Если ряд сходится, то его сумма S(x) является
2π/ω−периодической функцией.
22

23.

Пусть f(x) произвольная периодическая функция с
периодом 2l. Предположим, что f(x) разлагается в
тригонометрический ряд, т.е. является его суммой:
Так как сумма является 2π/ω − периодической функцей,
то 2l=2π/ω и ω=π/l.
Если равенство (1) выполняется во всех точках
непрерывности функции f(x), то ряд, стоящий в правой
части этого равенства, называется рядом Фурье
функции f(x), а сама функция называется разложимой
в ряд Фурье.
23

24.

Теорема 1 (Дирихле).
Если 2l−периодическая функция f(x) является кусочномонотонной и ограниченной на отрезке [−l; l], то:
1) функция f(x) разложима в ряд Фурье;
2) в каждой точке x0 разрыва функции сумма ряда
Фурье S(x) равна среднему арифметическому пределов
функции f(x) слева и справа, т.е.:
3) ряд Фурье можно почленно интегрировать.
Домашнее задание.
Записать формулу для вычисления S(x0) в случае, когда
x0 не является точкой разрыва.
24

25.

Теорема 2 (о коэффициентах ряда Фурье).
Если функция удовлетворяет условиям теоремы
Дирихле, то коэффициенты её ряда Фурье вычисляются
по формулам:
Коэффициенты a0, an, bn, определяемые по этим
формулам, называются коэффициентами Фурье.
Замечание. Иногда удобно вычислять интегралы в
указанных формулах не по отрезку [−l; l], а по другому
промежутку длиной 2l (в силу свойства периодических
функций), например по отрезку [0; 2l]
25