Скалярное произведение векторов

1. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов называется
число, равное произведению длин этих векторов
на косинус угла между ними
a, b a b cos(a, b) a Пр b b Пр a
a
b

2. Векторное произведение векторов

Пусть вектора a и b заданы своими
геометрическими моделями

3. Векторное произведение векторов

Векторным произведением векторов a и b
называется новый вектор E a b , который:
1.
E a b
и плоскости векторов
a
и
b
2. имеет длину, численно равную площади
параллелограмма, построенного на векторах a
и b как на сторонах , E a b sin где (a, b)
3. E направлен так, что если смотреть с его
конца, то поворот от a к b по кратчайшему
углу виден против часовой стрелки

4. Векторное произведение векторов

Обозначение векторного произведения
a
,
b
a b или
Свойства векторного произведения
a b b a
a b 0 a // b
a, b,
a b a b a b
a b c a c b c

5. Векторное произведение векторов

Соотношения между ортами
i j k
j i k
j j 0
k i j
k j i
i k j
j k i
k k 0
i i 0

6. Векторное произведение векторов

Пусть заданы два вектора
a ax i a y j az k
b bx i by j bz k
Выражение векторного произведения
через координаты
a b ax i a y j az k bx i by j bz k
a y az
ax a y
ax az
i
j
k
by bz
bx bz
bx by
i
a b ax
bx
j
ay
by
k
az
bz

7. Векторное произведение векторов

i
a // b a b 0 a x
bx
j
ay
by
k
az 0
bz
ax a y az
bx b y bz
S a b
- площадь параллелограмма
1
S a b
2
- площадь треугольника

8. Смешанное произведение векторов

Рассмотрим произведение векторов a, b и
составленное следующим образом:
c,
a b c a b c
Первые два вектора a, b перемножаются векторно,
а их результат скалярно умножается на вектор c
Такое произведение называется
смешанным произведением векторов
ОБОЗНАЧЕНИЕ
a b c
В результате смешанного произведения получается
число

9. Геометрический смысл смешанного произведения векторов

a b c E c E ïð E c Vïàð äà
Смешанное произведение трех векторов равно объему
параллелепипеда, построенного на этих векторах
Vïàð äà a b c

10. Свойства смешанного произведения векторов

Смешанное произведение не меняется при
циклической перестановке его сомножителей
a b c c a b b c a
Смешанное произведение не меняется при
перемене местами скалярного умножения
a b c a b c

11. Свойства смешанного произведения векторов

Если a b c 0 , то a, b, c - компланарны
Выражение смешанного произведения
через координаты
ax
a b c bx
cx
ay
by
cy
az
bz
cz