Прикладная тригонометрия

1.

«Сближение
теории
и
практики
дает
самые
благотворные
результаты, и не одна
только
практика
выигрывает; сама наука
развивается под влиянием
ее».
П.Л.Чебышев
Авторы проекта:ученики 10 г класса
ГОУ СОШ № 37 ЗАО г. Москвы Голубева Е.,
Минина Д., Сметанин А., Пильщикова Е.,
Шибаева Ю.
Руководитель проекта :
Адрова И.А., учитель математики

2.

?
Каждого изучающего
математику интересует
как и где применяются
полученные знания

3.

Цель проекта :
создание
дидактических
материалов
для
учителей
математики, внедрение которых в
учебный процесс в ходе изучения
тригонометрии позволит ученикам
получить наглядную иллюстрацию
применения
тригонометрии
в
окружающем нас мире.

4.

5.

Слово «тригонометрия» впервые встречается
в 1505 году в заглавии книги немецкого теолога
и математика Питискуса. Происхождение
этого слова греческое τρίγωνον – треугольник,
μετρεω – мера. Иными словами, тригонометрия
– наука об измерении треугольников.
Тригонометрия выросла из человеческой
практики, в процессе решения конкретных
практических задач в областях астрономии,
мореплавания и в составлении географических
карт.

6.

Тригонометрия зародилась в странах древнего Востока и,
будучи тесно связанной с астрономией,сделала первые
шаги в своем развитии .
Основы этой науки заложены в Древней Греции.

7.

Греческие астрономы
Гиппарх
во II веке
до н.э.
Птолемей
во II веке
н.э
составили таблицу числовых значений хорд в
зависимости от величин стягиваемых ими дуг.

8.

Следующий шаг в развитии
тригонометрии был сделан индийцами
в период с V по XII в.
В отличие от греков
Наряду с синусом
индийцы ввели в тригонометрию
индийцы
стали
косинус, точнее
говоря, стали употреблять в своихи
рассматривать
вычислениях употреблять
линию косинуса. Им были известны в
2 +cos2 =r2,
также соотношения
cos =sin(90 - ) и sin
вычислениях
уже
не
а также формулы
для синуса суммы
и разности ММ
целую
хорду
двух углов. соответствующего
центрального угла, а
только ее половину МР,
т. е. синуса - половины

9.

Следующий шаг в развитии
тригонометрии был сделан индийцами
в период с V по XII в.
Сам термин косинус появился
значительно позднее в работах
европейских ученых впервые в конце XVI
в.из так называемого «синуса
дополнения», т.е. синуса угла,
дополняющего данный угол до 90 . «Синус
дополнения» или ( по латыни) sinus
complementi стали сокращенно
записывать как sinus co или co-sinus.

10.

Развитие
тригонометрии
в
странах Средней Азии , Ближнего
Востока, Закавказья(VII-XV в.)
Развиваясь
в
тесной
связи
с
астрономией
и
географией,среднеазиатская математика имела
ярко выраженный «вычислительный
характер» и была направлена на
разрешение
прикладных
задач
измерительной
геометрии
и
тригонометрии. Из числа сделанных
ими важнейших успехов следует в
первую очередь отметить введение
всех
шести
тригонометрических
линий: синуса, косинуса, тангенса,
котангенса, секанса и косеканса, из
которых лишь первые две были
известны грекам и индийцам.

11.

Сирийский астроном алБаттани (Хв.) вычислил
небольшую таблицу
котангенсов через 1
Решая задачу об определении высоты Солнца S по тени
b вертикально стоящего шеста a (см чертеж), он пришел
к выводу, что острый угол в прямоугольном
треугольнике определяется отношением одного катета к
другому, и вычислил небольшую таблицу котангенсов
cos
через 1 . Точнее говоря, он вычислил
длину тени b=a
sin
=a ctg шеста
определенной длины для =1 ,2 ,3 ……

12.

Абу-ль-Вафа из Хоросана, живший в Х веке
(940-998) , составил аналогичную
«таблицу тангенсов».
sin
cos
т.е. вычислил длину тени b=a
=a tg ,
отбрасываемой
горизонтальным
шестом
определенной длины ( а=60) на вертикальную
стену (см. чертеж).

13.

Тригонометрия отделяется от
астрономии
и
становится
самостоятельной наукой (Х III
в.)
В трудах среднеазиатских ученых
тригонометрия превратилась из
науки,
обслуживающей
астрономию,
в
особую
математическую
дисциплину,
представляющую
самостоятельный интерес.
Это отделение обычно связывают
с
именем
азербайджанского
математика
Насирэддина
Туси
(1201-1274).

14.

Позже тригонометрия
начала широко изучаться
в Европе.
Его обширные таблицы синусов
Швейцарский
математик
через 10 с точностью до 7-ой цифры
Иоганни Бернулли
его изложенный
(1642-1727)
тригонометрический труд
«Пять
книг о треугольниках
всех
уже
применял
символы
видов»
имели большое значение
для
тригонометрических
функци
дальнейшего развития тригонометрии
в XVI – XVII вв.

15.

В XVII – XIX вв. тригонометрия становится
одной из глав математического анализа.
Она находит большое применение в механике,
физике и технике, особенно при изучении
колебательных движений и других
периодических процессов.
всякое
О Доказал, чтосвойствах
периодическое
периодичности
движение может быть
тригонометрических
представлено
(с любой
функций
знал
еще
степенью первые
Виет,
точности) в виде суммы
математические
простыхкоторого
исследования
гармонических колебаний.к
относились
тригонометрии.

16.

Во «Введении в анализ бесконечных» (1748 г)
Исключил
из косинус
своих иформул
трактует синус,
т.д. не как
тригонометрические
линии,
обязательно
учение
R –Разрабатывает
целый синус,
принимая
связанные
с окружностью,
а как
о тригонометрических
функциях
R
= 1, и упростил
таким
тригонометрические функции, которые он
любогокакаргумента.
образом
записи
и сторон
рассматривал
отношения
прямоугольного
треугольника, как числовые
вычисления.
величины.

17.

В XIX веке продолжил
развитие теории
тригонометрических
функций.
« Геометрические рассмотрения ,- пишет
Лобачевский,- необходимы до тех пор в начале
тригонометрии, покуда они не послужат к
открытию
отличительного
свойства
тригонометрических
функций…
Отсюда
делается
тригонометрия
совершенно
независимой от геометрии и имеет все
достоинства анализа».

18.

В наше время тригонометрия
больше не рассматривается
как
самостоятельная
ветвь
математики. Важнейшая ее
часть-учение
о
тригонометрических функциях
-является
частью
более
общего,
построенного
с
единой точки зрения учения о
функциях,
изучаемых
в
математическом
анализе;
другая же часть- решение
треугольников
рассматривается
как
глава
геометрии.

19.

Прикладная направленность тригонометрии
Как глава математического
анализа
Как глава геометрии
Учение о тригонометрических
функциях
Решение
треугольников
Периодические процессы.
Гармонические колебания (механические
колебания, колебания маятника, разряд
конденсатора, исследование движения
ползуна
в
кривошипно-шатунном
механизме. задача на соединение двух
труб, ).Биения
Зависимость
между
угловой
и
линейной скоростями.
Расчет длины ременной
передачи, соединяющей
два шкива: ведущий и
ведомый.
Определение
коэффициента трения.
Тригонометрия
в
артиллерии
Задача
на
применение
винтовой линии
Построение
интересных
кривых
в
полярных
координатах
(розетки,
геометрические формы, встречающиеся в
мире растений ).
Построение
интересных
кривых
в
декартовых координатах (кривых Лиссажу,
у=m·arcsin(sin k(x- ))).
Математические орнаменты на основе
решений тригонометрических уравнений,

20.

Представим
себе, что
на
Задача на применение
винтовой
линии
Полученная формула
позволяет также
определить угол
подъема по данным
h и d.
tg =
h
d
боковую
поверхность
цилиндра с диаметром d
наматывается
прямоугольный треугольник
Практическая задача.
АВС (см.рис.)с основанием
АС = d так , что основание
Необходимо
выточить
винт
это
совпадает
с окружностью
диаметра 2,54
см, имеющий
основания
цилиндра.
расстояние
между соседними
Мы
получили
один виток
витками ( шаг винта)2,54
Под
винтовой
линии. мм.
Длина
каким углом
к оси винта
надо
катета
ВС α (h)
называется
производить
нарезку.
шагом
винтовой
линии. Угол
ВАС ( ) называется углом
Решение. tgα=25,4/ 2,54=1/10
подъема
винтовой
линии.
Найдем зависимость между
h,d, и . Из треугольника АВС

21.

Исследование движения ползуна в кривошипно-шатунном механизме.
Кривошипно-шатунный механизм служит для
преобразования равномерного вращательного
движения конца кривошипа в неравномерное
прямолинейное движение ползуна, и обратно.
Аналогично работает двигатель автомобиля.
В начальный момент, когда кривошип занимает положение ОА1, точка В
шатуна находится в В1. Если в данный момент кривошип находится в
положении ОА, образуя угол с линией мертвых точек, соответственно
чему шатун занимает положение АВ, образуя с той же прямой угол , то,
следовательно, палец В ползуна за время поворота кривошипа на угол
переместился на величину х=В1В. Выразим перемещение х в зависимости
от данных величин.
Опустим перпендикуляр АК на ОВ1; тогда :ОВ=ОК+КВ. Из треугольников
АОК и АВК имеем: ОК=ОА cos =rcos
и KB=ABcos =lcos ;следовательно,
].
ОВ=rcos +lcos и x=r+l- rcos - lcos =r(1-cos )+l(1-cos ).
Выразим cos в зависимости от угла из треугольников АОК и АВК;
найдем
r
sin
l
АК=rsin и AK=lsin . Отсюда: rsin =
lsin и sin =
2
2
2
cos =
1 sin =
r
r
х=r(1-cos )+l[1]
1 (
l
sin )
1 (
l
sin )

22.

Расчет длины ременной передачи,
соединяющей два шкива: ведущий и ведомый.
Пусть расстояние между центрами шкивов
равно d и радиусы их- R и r. Длину
ременной передачи разобьем на части АВ,
ВС, СD=AB, DE, EF, EA=DF.Определим длину
каждой отдельной части.
2
2
Из треугольника О1КО имеем: О1К=АВ= d ( R r )
AOE= BO1G= KO1O; обозначим AOE через и найдем его величину.
R r
Из треугольника О1КО sin =
d
Зная sin , мы сможем по таблицам определить и угол .
AE= DF=
2 R
360
=
BG= CH= 2 R =
360
R
180
R
180
R
; BC= r-
R
90
2
2
+ (R+r)+ R (R-r).
90
90
;
.
Длина всего ремня =2 d
2 d ( R r)
R
AEFD= R+2 180 = R+
2
( R r)
2
+ R+
R
90
+ R-
R
90
=

23.

Тригонометрия в артиллерии
Координаты этого тела в момент времени
t выражается так:
x v0 t cos
2
gt
(1)
y v0 t sin
2
Определяем из первого уравнения системы t
и подставляем полученное значение во второе уравнение:
y=xtg -
gx
2
2 v0 cos
2
2
Мы получили формулу, выражающую зависимость между высотой у, на которой
находится брошенное тело над Землей, и горизонтальным расстоянием его х от
начальной точки полета.
Эта формула принадлежит к типу : у=bx-ax2. Следовательно, перед нами квадратичная
функция и графиком ее будет парабола, ось которой параллельна оси ординат и ветви
которой обращены вниз от ее вершины. Координаты вершины параболы мы найдем по
b
формулам: xA=2a
и yA= 4ac b .
4a
tg 2 v0 cos
2
2
xA=
2g
2
tg v0 cos
2
=
2
g
v sin 2
2
=
0
2g
Дальность полета артиллерийского снаряда, начальная скорость которого v0 будет:
2
v0 sin 2
Последняя формула показывает, что дальность полета зависит от угла .
D=2xA=
g
Функция y=sin2 принимает наибольшее значение, равное1, если 2 =90 ,т.е. =45 .А
это и значит, что наибольшая дальность поражения получится, если наклонить
орудие под углом 45 к горизонту.

24.

Определение коэффициента трения.
Тело веса Р положено на наклонную плоскость с углом
наклона . Тело под действием своего собственного
веса прошло ускоренно путь S в t секунд. Определить
коэффициент трения k.
Решение.
Сила давления тела на наклонную плоскость =kPcos .
=
Сила,
которая тянет тело вниз равна F=Psin kPcos =P(sin -kcos ).(1)
Если тело движется по наклонной плоскости, то
ускорение а=
F
.
С другой стороны, ускорение
а= =
m
2S
t
2
F
P =gF ;следовательно,
g
.
2S
Из равенств (1) и (2) следует, что g(sin -kcos )= 2
t
2S
2S
Отсюда: k==gtg - g sin
=gtg 2
2
cos
g t cos
g t cos
gF 2 S
2
P
t
.(2)

25.

Зависимость между угловой и линейной скоростями
Выразим зависимость между угловой ( )и линейной (v) скорост
равномерного движения по окружности .Пусть за время t секун
материальная точка проходит по окружности радиуса R путь,
равный l, и совершает при этом поворот вокруг центра окружн
на угол . Тогда линейная скорость точки : lv=
, а угловая ее скорость : =
t
t
l
R
. Из равенства =
находим, что l= R.Подставим произведение R вместо l
R
l
в формулу линейной скорости : v=
t = R.
t=
По этой формуле можно находить линейную скорость точки, зная угловую ее скорость и
радиус окружности, по которой движется точка; по линейной скорости точки и радиусу
окружности, по которой она движется, можно найти угловую скорость.
Пример1.Маховое колесо диаметром в 320 см вращается с угловой
скоростью 9 радианов в секунду. Определить линейную скорость в точке на
внешней части обода колеса в м/мин.
Решение.R=100cм; v=R ;v=160 9 cм/сек=160 9 60 см/мин=864 м/мин.
Пример2.Определить угловую скорость шлифовального камня диаметром
90 см,
если его линейная скорость на окружности равна 225 м/сек.
v;
Решение.R=45 см; = =
R
22500
45
=500 1/сек.(рад/сек)

26.

Соединение двух труб
Практическая задача.
Пусть жестянщику надо изготовить колено цилиндрической
водосточной трубы диаметром D. Взяв лист железа шириной
D ( без учета швов), он должен разрезать его по синусоиде и
согнуть в виде трубы. В зависимости от угла α, под которым
должно быть изготовлено колено, амплитуду А следует
сделать равной D/2·tg(α/2).Аналогичным образом мастер
поступит со вторым листом, затем соединит обе трубы по
образовавшимся из синусоид эллипсам.

27.

Периодические процессы и
колебания в окружающем
мире
Электромагнитные колебания доносят до нас вести о
В течение процессах,
месяца
Луна
меняет
свойвнутри
облик,
сложнейших
происходящих
звезд,
Механические
колебания
применяются
для
превращаясь
из тонкого
серпа
сначала
в
о взрывах
в отдаленных
галактиках.
С помощью
скорейшей
укладки
бетона
специальными
полукруг,
потом вколебаний
полный
диск,
апротекающие
затемучеными
снова
Многие
процессы,
в
электромагнитных
советскими
виброукладчиками,
для просеивания
убывая
до полного
исчезновения.
Ежедневно
мы
были
получены
снимки
обратной
стороны
материалов
на
виброситах
и даже
для
почти
окружающем
нас мире,
поЛуны.
истечении
видим,
как восходит
Солнце,
движется
по
Такие
колебания
сопровождают
и биологические
безболезненного
высверливания
отверстий
некоторого
промежутка
более или
небосводу
заходит
за горизонт,
с времени
тем,
чтобы
процессы,
передачу
возбуждения
по
в зубах.инапример
Акустические
колебания
нужны
дляна
другое
утро
вновь
на востоке.
А их,
менее
точноизвука,
повторяются.
нервной
работупоявиться
сердца
мозга.
приематкани,
и воспроизведения
аЗаписывая
ночью
звездыэлектрокардиограммы
вращаются
вокруг
Полярной
врачи
получают
и
электромагнитныедля радио,
телевидения,
звезды,
по истечении
энцефалограммы.
связи с возвращаясь
космическимиобратно
ракетами.
суток.

28.

Гармонические колебания
Уравнение гармонического колебания
имеет вид: y = A sin ( t+ α )
График гармонических колебаний называется
синусоидой, поэтому в физике и технике сами
гармонические колебания часто называют
синусоидальными колебаниями.
Одним из простейших
видов
колебаний
является движение по
оси проекции точки М,
которая
равномерно
вращается
по
окружности.
x= R cos( t+ ).

29.

Груз на пружине
Возьмем, например, гирю, подвешенную на
пружине и толкнем ее вниз.
Отклонение гири от положения равновесия
v
0
выражается формулой s= sin t.
Здесь v0-скорость, с которой мы толкнули гирю,а =k
m
где m-масса гири,k- жесткость пружины( сила, которая нужна,
чтобы растянуть пружину на 1 см).
Если мы сначала оттянем гирю на s0 см,а потом
толкнем ее со скоростью v0, то она будет
совершать
колебания по более сложному закону:
s=Asin( t+ ) .

30.

Колебания маятника
Колебания маятника тоже
происходят по
синусоидальному закону. Если эти колебания малы,
то
угол
отклонения
маятника
приближенно
выражается gформулой:
l ), l-длина маятника, 0-начальный угол
= 0sin(t
отклонения.
Чем длиннее маятник,
тем медленнее он качается
Изменение начального отклонения
влияет на амплитуду колебаний
маятника, период при этом не
меняется.

31.

Разряд конденсатора
И в электрических цепях также возникают
синусоидальные колебания ,например, в цепи, изображенной
в правом верхнем углу, где С- емкость конденсатора, U –напряжение на
источнике тока,
- угловая частота колебаний в цепи.
L –индуктивность катушки,

32.

у=arcsin(sinx)
1)
При
2
x
2
и 2)siny=sinx.
2
x
в
2 этим двум условиям
А
удовлетворяет функция у=х.
;Графиком
ее в интервале (-
; )
2 2
будет отрезок АВ ломаной,
изображенной на графике.
В интервале
2
x
3
2
будем иметь
у= -х, так как sin( -x)=sinx
x
и в этом интервале
2
2
Здесь график изобразится отрезком ВС.
с

33.

у=m·arcsin(sin k(x- )).
k=2
=0
m=1; -2 ;0,5
в
А
с

34.

Полярные координаты
При решении многих задач удобнее пользоваться так
называемыми полярными координатами: на плоскости
выбирают неподвижную точку О (полюс) и выходящий
из нее луч ОР (полярная ось). Положение точки М в
этом случае определяется двумя числами: ее
расстоянием r от полюса и углом у = угол РОМ . Числа r
(полярный радиус) и (полярный угол) называются
полярными координатами точки М.
Рис. 16
Часто оказывается полезным рассматривать на плоскости
полярную систему координат вместе с декартовой. Рассмотрим
такое расположение, когда полюсом служит начало декартовой
системы, а полярной осью - ось абсцисс ; рисунок сам
подсказывает связь между полярными и декартовыми
координатами
точки:

35.

Кривые, заданные уравнениями: r=a+sin3
в полярных координатах
I. r=sin3 ( трилистник ) (рис.1)
II.r=1/2+sin3 (рис.2),
III. r=1+ sin3 (рис.3),
IV.
r=3/2+ sin3 (рис.4) .
У кривой IV наименьшее значение r=0,5 и лепестки имеют
незаконченный вид.(рис.IV в приложении). Таким образом при
а 1 лепестки трилистника имеют незаконченный вид.

36.

Уравнения, найденные немецким математиком-натуралистом Хабених
для геометрических форм, встречающихся в мире растений.
Например, уравнениям r=4(1+cos3 ) и r=4(1+cos3 )+4sin23

37.

m
Кривые r=sin
n
Первый лепесток будет заключен
180 n
), т.к. в этом
m
в секторе ( 0 ;
секторе 0 ≤
m
n
≤180 .
1
2
При mn 1 лепесток будет
занимать сектор,
больший 180 ,
m
1
но меньший 360 , а приn 2
для одного лепестка
потребуется «сектор»,
превышающий 360 .
На рис.
показан вид
m
лепестков при
n
2
=
3

38.

r sin
4

39.

r sin
3

40.

r sin
2

41.

Рассмотрим кривые
5
r a sin
3
при а=0; 1/2; 1;3/2
При а=0 ( рис.1),при а=1/2 (рис.2),
при а=1 (рис.3) лепестки
имеют законченный вид,
при а=3/2 будет пять
незаконченных лепестков., (рис.4).

42.

Кривые Лиссажу.
Кривые Лиссажу, характеризуемые в общем случае уравнениями:
x a sin mt
y b sin n(t )
В общем случае кривая располагается внутри прямоугольника
со сторонами 2а и2в. Кривые могут быть замкнутыми и незамкнуты
Рассмотрим это на следующих примерах:
Замкнутые кривые.

43.

Замена уравнений : x=sin3t; y=sin 5t
уравнениями: x=sin 3t; y=sin5(t+3)
превращает незамкнутую кривую в кривую
замкнутую.

44.

Математические орнаменты
(y2-arcsin2(sinx))(y2-arcsin2(sin(x+
)))<0
6

45.

Математические орнаменты
Решение
неравенств
системы
y sin x,
y sin x
Решение неравенства
(y-sinx)(y+sinx)<0.

46.

Математические орнаменты
(y2-sin2x)(y2-sin2(x+
))(y2-sin2(x-
6
))<0
6

47.

КРОССВОРД
1. Наука об измерении
треугольников
3
2.Автор работы
«Пять книг о
треугольниках
всех видов» в
XVI-XVII в.
3.Греческий
астроном,
основоположник
тригонометрии
5.Математик, придавший
тригонометрии
современный вид
1
2
7.Русский ученый
математик, продолживший
развитие тригонометрии
в XIX веке
4
5
7
4.График гармонических
колебаний
6. «синус дополнения»
6
8
8.Колебания , задаваемые
уравнением y=Asin(wt+ )
Проверь!

48.

КРОССВОРД
Г
С И
Э Й Л
Л О Б А Ч Е В С К
Т
Р
И
Г
О
Н
О
М
Е
Т
Р
И
Я
П П А Р
Е
Г
У С О И
О
М
Р
К О
Н
Т
Й
Г А
Н
Х
Д А
С И Н У С
Р М О Н И Ч Е С К И Е

49.

Вывод.
Внедрение данных материалов в учебный процесс на
уроках , кружках, факультативах в 9-11 классах в ходе
изучения тригонометрии позволит ученикам получить
наглядную иллюстрацию применения тригонометрии в
окружающем нас мире: в технике, науке, быту, побудит
интерес к изучаемой теме, поможет понять ее
практическую значимость , более глубоко усвоить
изучаемый материал.