Дискретное преобразование Фурье. (Лекция 11)

1. Лекция № 11 Дискретное преобразование Фурье

• Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) относится к
классу основных преобразований при цифровой
обработке сигналов. Дискретное преобразование
Фурье, по возможности вычисляемое быстрыми
методами, лежит в основе различных технологий
спектрального анализа.
• Моделью последовательности из N дискретных
отсчетов x(k ) является сигнал из смещенных по
времени дельта-функций:
x(t )
x(k ) (t kT )
k

2. Дискретное преобразование Фурье

• Мысленно периодизируем этот сигнал с периодом T1 NT
Дискретный периодический сигнал можно представить
рядом Фурье:
xдп (t )
c( n)e jn 1t
n
• Коэффициенты c ( n) этого ряда находят согласно формуле:
1
c ( n)
NT
1
NT
NT
0
1
jn 1t
x(t )e
dt
NT
N 1
NT
k 0
0
NT n 1
jn 1t
x
(
k
)
(
t
kT
)
e
dt
0 k 0
jn 1t
x
(
k
)
(
t
kT
)
e
dt.

3. Дискретное преобразование Фурье

• Переходя к новой переменной t t T, получим:
1
c ( n)
N
• Так как
N 1
N
k 0
0
x(k ) (t k )e
2
2
1
T1
NT
1
c(n)
N
N 1
jn 1Tt
1
dt
N
n 0,1, 2,..., ( N 1).
jn 1kT
x
(
k
)
e
k 0
, окончательно имеем:
x ( k )e
k 0
N 1
j
2 nk
N
.
(11.1)

4. Дискретное преобразование Фурье

• Соотношение, позволяющее вычислить комплексные
амплитуды гармоник дискретного сигнала,
представляет собой линейную комбинацию отсчетов
этого сигнала. Его называют прямым дискретным
преобразованием Фурье (ДПФ).
• Наряду с прямым ДПФ существует обратное
дискретное преобразование Фурье:
N 1
x(k ) c(n)e
n 0
j
2
kn
N
, k 0,1,..., ( N 1).
• Замечание. В размещении множителя 1 N в выражении ДПФ
нет полного единства. В некоторых источниках этот
множитель относят к формуле обратного ДПФ, удаляя его из
формулы для прямого ДПФ.

5. Свойства дискретного преобразования Фурье

Линейность.
Дискретное преобразование Фурье – линейное
преобразование, то есть если последовательностям x(k ) и
y (k ) с одним и тем же периодом N соответствуют
наборы гармоник c1 (n) и c2 (n) , то
последовательности ax(k ) by(k ) будет
соответствовать спектр ac1 (n) bc2 (n) .
Ортогональный дискретный базис Фурье, в котором
выполняется ДПФ, представляет собой систему
дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ),
заданную на дискретной временной оси N отсчетами:
2
eN (k , n) exp( j
kn); k , n 0,1,..., N 1.
N

6. Свойства дискретного преобразования Фурье

Симметрия.
Свойство симметрии, которым обладает спектр
непрерывного сигнала, сохраняется и для спектра
дискретного периодического сигнала. Если отсчеты x(k ) –
вещественные числа, тогда коэффициенты ДПФ, номера
которых расположены симметрично относительно N 2 ,
образуют сопряженные пары:
2
2
N 1
j
k ( N n )
j
kn
1 N 1
1
N
N
c( N n) x(k )e
x(k )e
c (n)
N k 0
N k 0
Из формулы следует, что спектр является сопряжено
симметричным относительно N 2 , то есть содержит ровно
такое же количество информации, что и сам сигнал.

7. Свойства дискретного преобразования Фурье

• Гармоника с нулевым номером (постоянная
составляющая) представляет собой среднее значение всех
отсчетов сигнала на одном периоде:
1 N 1
с (0)
x(k ) c( N )
N k 0
• Если
N четное число, то
N 1
1
k
N
c(
) x(k )( 1)
2
N k 0
и амплитуда гармоники с номером N 2 определяется
суммой отсчетов с чередующимися знаками:
1
N
c( ) x(0) x(1) ... x( N 2) x( N 1)
2 N

8. Свойства дискретного преобразования Фурье

ДПФ круговой свертки.
Возьмем две последовательности x1 (k ) и x2 (k ) одинаковой
длины N , ДПФ которых соответственно равны c1 (n) и
c2 (n.) Вычислим их круговую свертку по одному периоду:
N 1
y (n) x1 ( m) x2 (n m)
m 0
Найдем N точечное ДПФ этой свертки:
1
s(k )
N
N 1
y ( n)e
n 0
j
2 nk
N
1
N
N 1
j
x1 (m) x2 (n m) e
n 0 m 0
N 1
2 nk
N
2 k ( n m )
2 km
j
j
N 1
N
x1 (m) x2 (n m)e
e N c1 (k )c2 (k ),
m 0
n 0
k 0, 1,..., N 1.
1
N
N 1
(11.2)

9. Свойства дискретного преобразования Фурье

Таким образом, круговой свертке дискретизированных и
заданных на одном временном промежутке сигналов
соответствует перемножение их спектров.
Вычисление круговой свертки двух сигналов с помощью
ДПФ осуществляется по следующему алгоритму:
• вычисление ДПФ исходных сигналов по формуле
(11.1);
• перемножение коэффициентов полученных ДПФ
согласно (11.2);
• вычисление сигнала y (n) с помощью обратного ДПФ
полученной последовательности s(k ) .

10. Свойства дискретного преобразования Фурье

Равенство Парсеваля для дискретных сигналов.
Определим значение
ДПФ:
N 1
2
c ( n ) , используя формулу
n 0
1 N 1
1 N 1
c(n) x(k )eN (k , n) x(m)eN (m, n)
N m 0
n 0
n 0 N k 0
1 N 1 N 1
1 N 1
1 N 1
2
x(k )x(m) eN (k , n)eN (m, n) x(k ) .
N k 0 m 0
N n 0
N k 0
N 1
2
N 1
Таким образом, мощность сигнала на N отсчетах равна
сумме мощностей его частотных компонентов.

11. Свойства дискретного преобразования Фурье

Связь ДПФ с Z-преобразованием.
Сравнивая формулу прямого ДПФ дискретной
последовательности с формулой Z-преобразования, видим, что
коэффициенты ДПФ равны значениям Z-преобразования этого
сигнала в N точках, равномерно распределенных по единичной
окружности Z-плоскости.
Получим Z-преобразование последовательности через
коэффициенты ДПФ этой последовательности:
N 1
X ( z ) x ( n) z n
n 0
2 nk
j
N 1
n
N
c ( k )e
z
n 0 k 0
N 1
n
N 1
j 2N k 1
1 z N
c ( k ) e
z c(k )
2 k
j
k 0
n 0
k
0
1 e N z 1
N 1
N 1