Анализ сигналов

1. Анализ сигналов

Лекции по курсу
«Электроника систем регистрации элементарных частиц»
Жуланов Владимир Викторович
тел. 329-47-32
e-mail: [email protected]

2. Импульсные сигналы

v(t )dt
- мера воздействия сигнала на объект
t
1
VC (t ) I ( )d
C
t
1
I L (t ) V ( )d
L
E V 2 (t )dt
— энергия сигнала
Сигнал называется импульсным, если
Анализ сигналов
0 E
2

3. Примеры импульсных сигналов

1
u (t ) e
t0
t
t0
2
—
u(t )dt 1
1
u0 (t ) lim e
t 0 0 t
0
t
t0
гауссов импульс
1
u (t )dt 2t0
2
2
— единичный импульс
формально единичный импульс не является импульсным сигналом
u0 (t )dt 1
S v(t )dt
2
u
0 (t )dt
— линейный импульс
Анализ сигналов
3

4. Периодические сигналы

u (t ) u (t T )
Периодическим называется сигнал, повторяющийся
через равные промежутки времени
Наименьшая величина сигнала, удовлетворяющая этому определению
называется периодом сигнала
Интеграл периодического сигнала и интеграл квадрата периодического
сигнала (энергия) расходятся, по этому при работе с периодическими
сигналами используют средние значения по времени:
a
T /2
1
1
u lim
u(t )dt
u(t )dt
a 2a
T T / 2
a
a
— среднее по времени сигнала
T /2
1
1
2
2
2
u lim
u
(
t
)
dt
u
(t )dt
a 2a
T T / 2
a
— средняя мощность сигнала
Анализ сигналов
4

5. Случайные сигналы

Случайный сигнал порождается случайным процессом
Случайный сигнал часто называют выборочной функцией процесса
Случайный дискретный сигнал V принимает счетное количество значений Vk
Частота появления данного значения сигнала называется вероятностью pk
значения Vk
p
k
V Vk pk
V 2 Vk2 pk
1 — по определению вероятности
— среднее значение случайного дискретного сигнала
— средняя мощность случайного дискретного сигнала
Анализ сигналов
5

6.

Если случайный сигнал принимает непрерывный ряд значений, то вместо
вероятности pk пользуются плотностью вероятности P(v), которая
определяется следующим образом
Случайный сигнал принимает значения в интервале (v0, v0+dv) с вероятностью
P(v0)*dv
v2
P(v)dv
v1
— вероятность попадания величины сигнала в интервал (v1,v2)
v2
P(v)dv 1
— по определению плотности вероятности
v1
v vP(v)dv
— среднее значение случайного сигнала
v 2 v 2 P(v)dv — средняя мощность случайного сигнала
Анализ сигналов
6

7. Стационарные случайные процессы

Статистические характеристики сигнала, порожденного стационарным
случайным процессом, не меняются с течением времени
Выборочная функция, взятая из стационарного процесса, не позволяет
определить, какому времени она принадлежит
Анализ сигналов
7

8.

Рассмотрим случайный сигнал v, имеющий плотность вероятности P(v)
Для такого сигнала отклонение от среднего равняется:
vd v v
Так как среднее значение отклонения (vd) равно 0, то средний квадрат
сигнала (средняя мощность)
v 2 (v vd ) 2 P(v)dv (v 2 2v vd vd2 )P(v)dv v 2 vd2
Средний квадрат сигнала равен квадрату его среднего плюс средний
квадрат отклонения
Анализ сигналов
8

9.

Вычислим среднюю мощность для важного частного случая — нормального
(гауссова) распределения вероятности:
1 v
( )2
1
Pd (v)
e 2
2
— стандартное отклонение распределения
Такое распределение имеет, например, напряжение тепловых шумов
Среднее значение сигнала равно 0 — распределение симметрично
относительно нуля. Если сигнал имеет ненулевой средний уровень, то
средняя мощность возрастет на квадрат среднего:
v2
Используя табличный интеграл, получаем:
1
v v Pd (v)dv
2
2
2
1 v 2
( )
2
2
v e
dv 2
У стационарного случайного процесса с нормальным распределением
амплитуд средняя мощность переменной составляющей равна квадрату
стандартного отклонения, называемому дисперсией нормального
распределения
Анализ сигналов
9

10. Четная и нечетные составляющие

Сигнал можно разбить на четную и нечетные составляющие:
v ve vo
ve (t ) 1 / 2 v(t ) v( t )
— четная составляющая
vo (t ) 1 / 2 v(t ) v( t )
— нечетная составляющая
Так как vevo—нечетная функция, то
v 2 (ve2 2ve vo vo2 ) ve2 vo2
Средняя мощность сигнала равна сумме средних мощностей его четной
и нечетной составляющих
Анализ сигналов
10

11. Действительная и мнимая составляющие

Сигнал, мгновенное значение которого является комплексной
величиной, описывается суммой действительной и мнимой
составляющих: v vr jvi
v * vr jvi
vr 1 / 2(v v * )
vi 1 / 2(v v * )
—комплексно-сопряженное с
v
—действительная составляющая
—мнимая составляющая
v
v
v v v * vr2 vi2
2
Мощность комплексного сигнала равна сумме мощностей
действительной и мнимой составляющих
Анализ сигналов
11

12. Сравнение сигналов

Для того, чтобы ответить на вопрос, насколько два сигнала похожи, удобно
воспользоваться аналогией с геометрией
Было показано, что сигнал можно разложить на составляющие, причем
средняя мощность (энергия) сигнала равна сумме средних мощностей
(энергий) составляющих. Так же и в геометрии, квадрат длины вектора
равен сумме квадратов его проекций в ортогональной системе координат
Для двух векторов v1, v2, ответ на вопрос: какая часть вектора v1 лежит на
направлении вектора v2, состоит в том, что эта часть равна проекции с12v2
вектора v1 на линию v2
Коэффициент c12 можно найти, минимизируя квадрат модуля вектора
разности r2=(v1-cv2)2. Значение, на котором будет достигнут этот минимум, и
будет искомым коэффициентом. При этом вектор r будет ортогонален
вектору v2
Анализ сигналов
12

13.

Применительно к электрическим сигналам, для нахождения «проекции»
сигнала v1(t) на сигнал v2(t) необходимо минимизировать среднюю мощность
(энергию) сигнала разности:
r (t ) v1 (t ) cv2 (t )
Приравняем нулю производную квадрата этого сигнала:
dr
2
2
d
v1 cv2 dt 2 v1 cv2 v2 dt 0
dc
dc
c12
v1v2dt
v
Аналогично:
2
2
c21
v v dt
v
1 2
2
1
Коэффициенты c12, c21 называют коэффициенты корреляции
Равенство нулю одного коэффициента влечет равенство нулю второго
C c12c21
( v1v2 dt ) 2
2
2
v
dt
v
1 2 dt
—квадрат нормированного «скалярного
призведения» сигналов является удобной мерой
сходства сигналов
Анализ сигналов
13

14.

Полученные соотношения можно распространить на комплексные сигналы:
v 1 c 12v 2 (v 1 c 12v 2 )(v 1* c 12* v *2 )
2
v c
1
2
2
v dt v1 dt 2 Re c
12 2
*
12
v v dt c v
2
*
1 2
12
2
2
dt
j 1
j 2
*
v
v
dt
Ae
,
c
c
e
12
12
12
Представим средний интеграл и c12 в виде:
Интеграл разностного сигнала будет минимален при максимальном
значении действительной части в квадратных скобках
1 2 и
v
1
2
2
c 12v 2 dt v1 dt 2 c 12 A c 12
2
v
2
2
dt
Это выражение принимает минимум при:
c 12
A
v
2
2
c 12
dt
*
v
v
1 2 dt
v
Анализ сигналов
2
2
dt
14

15. Корреляционная функция

Автокорреляционная функция (АКФ) импульсного сигнала:
( ) v (t )v * (t )dt v (t )v * (t )dt
2
(0) v dt — энергия сигнала
Взаимная корреляционная функция двух сигналов:
12 ( ) v 1 (t )v 2* (t )dt v 1 (t )v 2* (t )dt
21 ( ) v 2 (t )v 1* (t )dt v 2 (t )v 1* (t )dt
12 (0) v 1v 2*dt
— «скалярное произведение» сигналов
Анализ сигналов
15

16.

*
12 (t ) 21
( t )
в частности:
11 (t ) 11* ( t )
АКФ является симметричной функцией; причем ее действительная
часть является четной функцией, а мнимая — нечетной
12 (0)
21(0)
c 12
, c 21
22 (0)
11(0)
12
—корреляционные коэффициенты,
определенные ранее
( )d v 1 (t )v (t )dt d
*
2
v (t )dt v (t )dt
*
1
2
Площадь под корреляционной функцией двух сигналов равна
произведению площадей под функциями этих сигналов
Если один сигнал имеет конечную мощность, а другой—конечную
энергию, то одно интегрирование можно заменить усреднением:
12 v 1 v 2 (t )dt
Анализ сигналов
*
16

17.

( ) v (t )v * (t ) v (t )v * (t )
12 ( ) v 1 (t )v 2* (t ) v 1 (t )v 2* (t )
(0) v (t )
*
12 ( ) 21
( )
2
(0)
c12 12
22 (0)
— АКФ для сигналов конечной
мощности
— корреляционная функция для
сигналов конечной мощности
12 (0) v 1v 2*
11 ( ) 11* ( )
(0)
c21 21
11 (0)
Анализ сигналов
C c 12c 21
12 (0)
2
11 (0) 22 (0)
17

18.

12 ( )
— коэффициен т корреляциимежду v1 (t ) и v2 (t )
22 (0)
( )
c 21 ( ) 21
— коэффициен т корреляциимежду v2 (t ) и v1 (t )
11 (0)
c 12 ( )
Анализ сигналов
18

19. Свертка

v v1 v2 v1 ( )v2 (t )d
— свертка двух функций
Свойства свертки:
v1 v2 v2 v1
— коммутативность
v1 (v2 v3 ) (v1 v2 ) v3
— ассоциативность
v1 (v2 v3 ) v1 v2 v1 v3
— линейность
Анализ сигналов
19

20.

Для удобства введем обозначение:
f (t ) f * ( t )
тогда:
11 v1 v1 11
12,12 12 12
12 v1 v2 21
— АКФ корреляционной функции 2-х сигналов
12,12 (v1 v2 ) (v1 v2 ) (v1 v1 ) (v2 v2 )
12,12 11 22 11, 22
Автокорреляционная функция корреляционной функции 2-х сигналов
равна корреляционной функции автокорреляционных функций этих
сигналов
Анализ сигналов
20

21. Тригонометрический ряд Фурье для периодических сигналов

Разложение периодического сигнала в ряд Фурье — способ разложения
сигнала на ортогональные составляющие
{1, cos( 1t ), cos( 2t ),..., sin( 1t ), sin( 2t ),...},
2
где n n *
— частота n-ой составляющей (nT
ой гармоники)
0, при n m
cos( n t ) cos( mt )
1 / 2, при n m
0, при n m
sin( nt ) sin( mt )
1 / 2, при n m 0
{
{
cos( n t ) sin( mt ) 0, при любых n , т
Анализ сигналов
21

22.

Величина n-ой гармоники определяется коэффициентом корреляции,
называемыми коэффициентами ряда Фурье:
v(t ) cos( nt )
T
2
an
v(t ) cos( nt )dt , n 1
2
T 0
cos ( nt )
T
2
a0 2v(t ) v(t )dt ,
T 0
v(t ) sin( nt )
T
2
bn
v(t ) sin( nt )dt , n 1
T 0
sin 2 ( nt )
a0
v(t ) an cos( nt ) bn sin( nt )
2 n 1
Анализ сигналов
— ряд Фурье
22

23.

a0 k
v(t ) an cos( nt ) bn sin( nt ) k (t ) — конечный
2 n 1
ряд
Фурье, аппроксимация реального сигнала
k (t ) — ошибка
аппоксимации
2
k
a
1
2
v (t ) 0 an2 bn2 k2 (t )
4 2 n 1
Анализ сигналов
23

24.

c0
v(t ) сn cos( nt n ) — болеераспространенная форма
2 n 1
bn
2
2
записи ряда Фурье, где c0 a0 , cn an bn , n arctg
an
an cos( nt ) bn sin( nt )
a
b
n
n
a b
cos( nt )
sin( nt )
2
2
a 2 b2
a
b
n
n
n
n
cn cos( n ) cos( nt ) sin( n ) sin( nt )
2
n
2
n
Анализ сигналов
24

25. Экспоненциальный ряд Фурье

v(t )
j n t
v
e
n , где n n 1 2 n / T
n
e j t cos( t ) j sin( t ) формула Эйлера
e j t e j t
e j t e j t
cos( t )
, sin( t )
2
2j
e
j n t
e e
j m t *
j ( n m ) t
1, при n m
0, при n m
{
Анализ сигналов
25

26.

c0 cn j ( nt n )
v(t )
e
e j ( nt n )
2 n 1 2
1
v(t ) cn e j ( nt n ) , где cn c n , n n , n n
2 n
v(t )
n
v n e j nt , где v n
1 j n 1
cn e
( an jbn )
2
2
v n v(t )e j nt
v
2
v n
2
—мощность периодического сигнала
n
Анализ сигналов
26

27.

АКФ периодического сигнала, представленного в виде
экспоненциального ряда:
( )
v e
n
( )
j n t
n
v n e
2
*
j m ( t )
v m e
v n v m* e j ( n m )t e j m
m
n ,m
j m
n
( )
j m
e
n
n
j m
e
n
—ряд Фурье для АКФ сигнала, где
n
n ( )e j n v n
2
Коэффициент Фn ряда Фурье для АКФ сигнала v(t) равен средней
мощности n-ой экспоненциальной гармоники сигнала
Анализ сигналов
27

28. Интеграл Фурье для импульсного сигнала

1
v(t )
n 2
T /2
v(t )e
T / 2
j n t
j nt 1 1
dt e ,
2 T
d
j n t
j n t
j n t d
v(t ) v(t )e
dt e
V ( )e
,
2
2
где V ( )
v(t )e j nt dt— спектр сигнала
Спектр импульсного сигнала непрерывен, причем составляющая на
частоте ω имеет амплитуду:
d
V ( )
2
Анализ сигналов
28

29.

АКФ импульсного сигнала:
( ) ( )e
j
d , ( ) ( )e
j
2
d
, ( ) V ( )
2
( ) v (t )v * (t )dt
d 1
d 2 *
j 1t
j 2 ( t )
V
(
)
e
V
(
)
e
dt
2
2 1 2
d 1
dt j ( 1 2 )t
j 2
*
2 V ( 1 ) d 2V ( 2 )e 2 e
2 j d
d 1
j 2
*
2 V ( 1 ) d 2V ( 2 )e ( 1 2 ) V ( ) e 2
2 d
v (t )dt V ( ) 2
2
— энергия импульсного сигнала
Анализ сигналов
29

30.

Представим сигнал v(t) через четную и нечетную составляющие и
подставим в формулу для преобразования Фурье:
V ( )
j t
v
(
t
)
v
(
t
)
e
dt
o
e
v (t ) v (t ) (cos t j sin t )dt
e
o
0
0
2 ve (t ) cos tdt j 2 vo (t ) sin tdt
V ( ) V * ( )
Анализ сигналов
30

31. Связь ряда Фурье и преобразования Фурье

Выберем из периодического сигнала k=2m+1 периодов:
T / 2
j t
dt — спектр
e
)
t
(
v
V 1 ( )
одного импульса;
T / 2
nT T / 2
T / 2
nT T / 2
T / 2
j t
dt
e
)
t
(
v
V k ( )
e
V1 ( )
j
j nT
j ( t nT )
V1 ( );
e
dt
e
)
t
(
v
kT / 2
m
kT / 2
n m
j t
( ) e jn T
V
dt
e
)
t
(
v
1
2 m 1
T
2
j
2 m 1
T
2
e
e j T / 2 e j T / 2
j ( m 1) T
jm T
e
e
V 1 ( )
j T
1 e
sin( k T / 2)
V1 ( )
sin( T / 2)
Анализ сигналов
31

32.

Анализ сигналов
32

33. Резюме

•3 типа сигналов. Энергия, мощность, интеграл, среднее значение сигнала
•Разложение на составляющие
•Корреляционная функция. АКФ. Корреляционные коэффициенты
•Свертка
•Ряд и преобразование Фурье
Анализ сигналов
33