Второй и третий признаки подобия треугольников

1. Второй и третий признаки подобия треугольников

2.

II
признак подобия треугольников. Если две стороны одного
треугольника пропорциональны двум сторонам другого
треугольника и углы, заключенные между этими сторонами,
равны, то такие треугольники подобны.

3.

АВ
АС
Дано: ABC, А1В1С1, А А1 ,
А1 В1 А1С1
Доказать: ABC
А1В1С1
Идея доказательства: Рассмотрим два треугольника ABC и А1В1С1 .
Докажем, что они подобны. Для этого построим треугольник ABC2 и
докажем, что он подобен треугольнику А1В1С1 . Рассмотрим треугольники
ABC и ABC2 и докажем, что они равны. Сделаем вывод о подобии
треугольников ABC и А1В1С1.

4.

Доказательство: докажем, что В В1 и применим 1
признак подобия треугольников
С1
А1
С
В1
А
В

5.

С
С1
В1
А1
В
А
1
2
1). Рассмотрим ABC2, у которого
1= А1,
2= В1.
ABC2
А1В1С1
по двум углам
АВ
АС2
Тогда
А1 В1 А1С1
АВ
АС
по условию
А1 В1 А1С1
С2
АС = АС2

6.

С
С1
В1
А1
В
А
1
2
2).
ABC = АВС2
В = 2,
=
по двум сторонам и углу
между ними
2= В1
С2

7.

III
признак подобия треугольников. Если три стороны одного
треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то
такие треугольники подобны.

8.

Дано:
АВ
ВС
АС
А1 В1 В1С1 А1С1
ABC, А1В1С1,
Доказать:
ABC
А1В1С1
Доказательство: (аналогично)
Что нужно рассмотреть, чтобы доказать, что
ABC
А1В1С1 ?
Каким признаком подобия мы воспользуемся?
Какой вспомогательный треугольник мы должны рассмотреть?
Какому треугольнику он будет подобен? По какому признаку?
Если треугольники подобны, то какое отношение мы можем составить?
С каким отношением мы должны его сравнить? Что будет следовать?

9.

Доказательство:
докажем, что А А1 и применим
2 признак подобия треугольников
С
С1
А1
В1 А
В

10.

С
С1
В1
А1
В
А
1
2
1). Рассмотрим ABC2, у которого
1= А1,
2= В1.
ABC2
А1В1С1
Тогда
по двум углам
АВ ВС 2 АС2
А1 В1 В1С1 А1С1
АВ
ВС
АС
по условию
А1 В1 В1С1 А1С1
АС = АС2
С2
ВС = ВС2

11.

С
С1
В1
А1
В
А
1
2
2).
ABC = АВС2
А = 1,
=
по трем сторонам
1= АА11
С2

12. Решение задач

13.

№1
По данным рисунка
Найти: x
Доказать: BC||AD
Решение:
1) Рассмотрим два треугольника с общей вершиной AOD
и COB
:
BOC DOA, так как они вертикальные.
Рассмотрим отношение прилегающие стороны:
DO AO
DO 4
AO 6
2
2
BO
CO
AO 2
CO 3
Согласно II признаку подобия AOD
~ COB
. Коэффициент подобия k=2.
С помощью него определим длину x=AD:
x
2 | x 2 * BC 2 * 4 8
BC
2) Так как AOD ~ COB, то все углы у них равны. OBC ODA - эти углы являются
накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Таким образом,
BC||AD.
Ответ: 8

14.

№2
По данным рисунка найти длину x, отметить равные углы,
доказать, что ABC ~ AB1C1

15.

№3
Подобны ли треугольники ABC и А1В1С1, если АВ = 3 см, ВС = 5 см, АС
= 7 см, А1В1 = 4,5 см, B1C1 = 7,5 см, A1C1 = 10,5 см?
C
C1
AA1
B1 B

16.

№4
По данным рисунка докажите, что B1C1 || BC.
B
A

17.

№5
Докажите, что два равносторонних треугольника подобны.
B
N
A
C
M
K

18.

№6
Дано:
Найти:
ABC
AB, NC
B
4
6
N
M
А
5
10
C

19.

Домашняя работа: из презентации задачи №2, 3, 4, 5, 6
тетрадь-конспект стр. 54 – типовая задача
стр. 55 – типовая задача, опорная задача.