Колебания и волны. Механические гармонические колебания (на примере маятников)

1. ЛЕКЦИЯ №8 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

2. Механические гармонические колебания (на примере маятников)

Если физическую систему, обладающую состоянием устойчивого
равновесия, вывести из этого состояния каким-либо внешним воздействием и затем предоставить самой себе, то возникающие в
системе колебания вблизи устойчивого равновесия называют
собственными или свободными.
Способную совершать собственные колебания систему называют
осциллятором. Примером линейных (одномерный случай) осцилляторов могут служить маятники (рис.): а) пружинный (груз
на пружине); б) крутильный (диск на проволоке); в) математический (материальная точка на нерастяжимой нити); г) физический
(С – центр масс твердого тела, О – точка прохождения оси колебаний, перпендикулярной плоскости чертежа).

3.

Рассмотрим случай а)– пружинный маятник.
Второй закон Ньютона для колеблющегося тела для одномерного
случая можно записать в виде: m∙ax = Fx = -k∙x или
d 2x
d 2x
2
k
d
x
2
m 2 k x 0
x 2 x 0
2
dt
m
dt
dt
x = Xmax∙cos(ω0t +φ0)
2
k
m
T
2
0
k
0
m
Система, совершающая колебания под действием квазиупругой силы , называется линейным гармоническим осциллятором (ЛГО).
Кинетическая энергия материальной точки (колеблющегося тела):
m 2 mA2 02 cos2 ( 0t 0 )
Wê
2
2

4.

Потенциальная энергия ( пружинный маятник):
x
x
x
2 2
m
0x
Wï U Fx dx max dx m( 02 x)dx
2
0
Полная механическая
энергия:0
0
mA2 02 sin 2 ( 0t 0 ) mA2 02 cos2 ( 0t 0 ) mA2 02
W Wê Wï
2
2
2
Классическая колеблющаяся точка не может выйти за границы отрезка
[−xmax;+xmax], т.е. находится в потенциальной яме параболической формы.
Колебания Wk и Wn совершаются со сдвигом по фазе на π и, следовательно, полная механическая энергия материальной точки при
свободных незатухающих гармонических колебаниях не изменяется
со временем (const).

5.

г) физический маятник
Физический маятник – твердое тело, которое может совершать
колебания под действием собственной силы тяжести mg вокруг
неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр
масс тела и называемой осью качания. Центр тяжести маятника
совпадает с его центром масс. Как правило, силой трения в подвесе маятника пренебрегают и момент относительно оси качания
маятника создает только его сила тяжести mg.
При отклонении маятника на угол α момент,
создаваемый силой тяжести равен:
M = mgd sinα .
Согласно основному уравнению динамики
вращательного движения (для тела с моментом инерции I, вращающегося вокруг неподвижной оси в отсутствие трения):
M J J
2
t
2
mgd sin .
При малых α → sinα ≈ α
→
2
t 2
mgd
0
J

6.

Сравнивая с уравнением свободных незатухающих гармонических
колебаний: d2x/dt2 + ω2x = 0 , имеем для физического маятника:
mgd
,
J
J
T 2
.
mgd
Предельным случаем физического маятника является математический маятник - материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Вся масса сосредоточена в
центре масс тела. При этом d=l – длина маятника и момент инерции J = ml2. Тогда
mgl
ml
2
g
,
l
l
T 2
g
Длина математического маятника, имеющего такой же период колебаний, что и данный физический маятник, называется приведенной длиной физического маятника. Точка О1, находящаяся на
расстоянии lпр от точки подвеса О маятника, называется центром
качания физического маятника. Точки O и О1 обладают свойством
взаимности, т.е. при перемене их ролей длина и период маятника
останутся прежними.

7.

Свободные гармонические колебания в электрическом
колебательном контуре
Простейшим колебательным контуром является замкнутая цепь,
состоящая из емкости C и катушки индуктивности L.
По закону Ома для замкнутой цепи: сумма падений
напряжений на проводниках сопротивлением R и на
конденсаторе Uс равна ЭДС самоиндукции в контуре
IR + Uc = IR + Q/C = εsi = -L(dI/dt).
I = dQ/dt → dI/dt = d2Q/dt2,
d 2Q
dt
2
R dQ
1
Q 0
L dt
LC
1
LC
,
(R→0) → d2Q/dt2 + ω2Q =0
T 2 / 2 LC.
Q =Qmsin(ωt + φ0) и I = dQ/dt = ωQmcos(ωt + φ0) = Imcos(ωt + φ0)
W = Wэл + Wмагн = (1/2)∙(LI2 + CU2)

8. Сложение гармонических колебаний. Фигуры Лиссажу

Сложение колебаний – нахождение значения результирующих колебаний системы при ее участии в нескольких колебательных
процессах. Различают сложение сонаправленных и взаимноперпендикулярных колебаний.
Используем метод векторных
диаграмм.
x1 = A1sin(ω1t + φ1) = A1sinФ1(t)
x2 = A2sin(ω2t + φ2) = A2sinФ2(t)
Результирующее колебание: x = x1 +x2 = AsinФ(t) , где амплитуда
A2(t) = A12 + A22 + 2A1A2cos(Ф2 –Ф1)
A1 sin Ô1 (t ) A2 sin Ô 2 (t )
tgÔ (t )
.
Ax A1 cosÔ1 (t ) A2 cosÔ 2 (t )
Ay

9.

Когерентными называются колебания, разность фаз которых во
времени постоянна; т.к. Φ(t) = (ω2 − ω1)t + (ϕ2 − ϕ1 ) = const , то это
выполняется при ω2= ω1= ω, тогда x = x1+ x2= Asin(ωt+ϕ0), где
амплитуда А и фаза Ф результирующего колебания. Тогда в зависимости от значения (ϕ2 −ϕ1) результирующая амплитуда А
изменяется в пределах от A = |A1 − A2| при ϕ2 -ϕ1 = ±(2m +1)π, до A
= |A1 + A2| при ϕ2 -ϕ1 = ±2 π m (m → целые числа).
При ϕ2 -ϕ1 = ±2 π m колебания называются синфазными (в одной
фазе), а при ϕ2 -ϕ1 = ±(2m +1)π – противофазными.
При ω1 ≠ ω2 результирующий вектор A будет изменяться по длине
и вращаться с переменной скоростью. При сложении колебаний с
близкими частотами (Δω=|ω2 −ω1|<<ω) возникают, так называемые, биения, тогда x1 = xmcosωt,
x2 = xmcos(ωt + Δωt).
x(t ) x1 x2 2 xm cos
t t t
cos
t t t
2
t
2 xm cos t cos
xm cos t
2
2

10.

[2ωt >>Δω; cos(-Δωt)=cos(Δωt)]
t
xm 2 xm cos
2
x(t ) xm cos t
Косинус берется по модулю, так как функция четная и поэтому
частота биений ωб = Δω, а не Δω/2.
x
Период биений равен
T
t
xm 2 xm cos
2
половине периода мо- 2xm
дуляции:
t
Тб = Тмод /2 = 2π/(Δω) -2xm