Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий

1.

3. Решение задач на применение аксиом
стереометрии и их следствий
23.09.2018
www.konspekturoka.ru
1

2.

Повторить аксиомы стереометрии:
- о взаимном расположении точек,
- о взаимном расположении прямых,
- о взаимном расположении плоскостей
в пространстве.
Повторить следствия из аксиом
стереометрии.
Формировать навык применения аксиом
стереометрии и их следствий при решении
задач.
23.09.2018
www.konspekturoka.ru

3.

Вспомним!
C
А1.
Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость, и притом только
одна.
B
A
B a
A
А2.
Если две точки прямой лежат в плоскости,
то все точки прямой лежат в этой
плоскости.
a
23.09.2018
А3.
Если две плоскости имеют общую точку,
то они имеют общую прямую, на
которой лежат все общие точки этих
плоскостей.
www.konspekturoka.ru
3

4.

Вспомним!
Некоторые следствия из аксиом.
Теорема
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит
плоскость, и притом только одна.
Q
a
23.09.2018
P
М
www.konspekturoka.ru
4

5.

Вспомним!
Некоторые следствия из аксиом.
Теорема
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
23.09.2018
М
N
www.konspekturoka.ru
5

6.

1
Дано :
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
23.09.2018
Куб АВСДА₁В₁С₁Д₁.
Назовите точки,
лежащие в
плоскости
C
D
www.konspekturoka.ru
6

7.

2
Дано :
B1
Q
P
A1
C1
D1
M
K
B
A
23.09.2018
Куб АВСДА₁В₁С₁Д₁.
Назовите точки, не
лежащие в плоскости
C
D
www.konspekturoka.ru
7

8.

3
Дано :
B1
Q
P
A1
C1
D1
K
B
A
23.09.2018
Куб АВСДА₁В₁С₁Д₁.
Назовите прямые,
которые лежат в
M
плоскости
C
D
www.konspekturoka.ru
8

9.

4
Дано :
B1
Q
P
A1
C1
D1
K
B
A
23.09.2018
Куб АВСДА₁В₁С₁Д₁.
Назовите прямые,
которые не лежат в
M
плоскости
C
D
www.konspekturoka.ru
9

10.

5
Дано :
B1
Q
P
A1
C1
D1
K
B
A
23.09.2018
Куб АВСДА₁В₁С₁Д₁.
Назовите прямые,
которые пересекают
M
прямую ВС
C
D
www.konspekturoka.ru
10

11.

6
Дано :
B1
Q
P
A1
B
23.09.2018
Куб АВСДА₁В₁С₁Д₁.
M
Назовите
прямые, которые
не пересекают
прямую ВС
D1
K
A
C1
C
D
www.konspekturoka.ru
11

12.

7
Дано :
B1
Q
P
A1
B
23.09.2018
Куб АВСДА₁В₁С₁Д₁.
M
Назовите
точки, лежащие
в плоскости
D1
K
A
C1
C
D
www.konspekturoka.ru
12

13.

Задача
Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые,
не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые,
лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые,
проходящие через точку М?
Решение
l₂
n
Пусть l₁ ∩ l₂ = M
А
n – произвольная прямая
M n,
n - пересекает l₁ и l₂ в точках А и К,
M
l₁
К
Значит через точку А и прямую l₂
можно провести единственную
плоскость (по теореме).
т
Поэтому отрезки АМ, АК и КМ лежат в одной плоскости (по аксиоме А₂)
и прямые , которым принадлежат эти отрезки, лежат в одной плоскости.
Все прямые, проходящие через М не лежат в одной плоскости.
Например, прямая т.
23.09.2018
www.konspekturoka.ru
13

14.

Задача
Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них
проведена плоскость. Сколько всего проведено плоскостей?
а
c
1 случай
O
b
Все прямые a, b, c - лежат в одной плоскости.
В этом случае (по следствию 2) можно провести плоскости, и через
три прямые проходит одна плоскость.
23.09.2018
www.konspekturoka.ru
14

15.

2
случай
Одна из трех прямых (с) не лежит в плоскости ,
определяемой другими прямыми a и b.
В этом случае через заданные три прямые проходят три
различные плоскости, определяемые парами прямых :
а
O
b
aиb
aиc
bиc
с
Ответ:
или три или одну плоскость
23.09.2018
www.konspekturoka.ru
15

16.

Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника,
если она: а) пересекает две стороны треугольника;
б) проходит через одну из вершин треугольника?
l
М
A
B
С
Решение
N
a) Если MN пересекает стороны ∆АВС, а ∆АВС , то М и N .
Из аксиомы А₂ прямая М N .
б) Если l пересекает в точке В, то не обязательно будет лежать в
ней.
Ответ: а) да; б) нет.
23.09.2018
www.konspekturoka.ru
16

17.

Назвать аксиомы стереометрии:
- о взаимном расположении точек,
- о взаимном расположении прямых,
- о взаимном расположении плоскостей
в пространстве.
Назвать следствия из аксиом стереометрии.
23.09.2018
www.konspekturoka.ru
17