Вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге

1.

2.

Аннотация.
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображены
различные фигуры. Необходимо найти площадь. Ответ записать в
квадратных сантиметрах.
Для того, чтобы быстро решать такие задания, надо знать формулы для
вычисления площадей треугольника, прямоугольника, трапеции,
параллелограмма, квадрата.
Часто при решении таких задач используются свойства площадей. Фигуру
надо разбить на части, площади которых можно найти по знакомым
формулам. Или наоборот, фигуру надо достроить. Получится большая
фигура, площадь которой мы сможем найти.

3.

Дан треугольник
Помощь
b
a
1
2
катет
6
S = ab
катет
5
1см
1
S 5 6 15
2
a, b – катеты прямоугольного
треугольника
Площадь прямоугольного треугольника
найти очень просто, длины катетов
сосчитаете по клеточкам.
В3
1 5
3
10 х
х

4.

Помощь
Дан треугольник
высота
h
a
5
основание
1
2
S = aha
a - основание
ha - высота
7
1см
Не сложно найти площадь треугольника, зная его основание и высоту,
проведенную к этому основанию.
1
S 5 7 17,5
2
В3
1 7 , 5
3
10 х
х

5.

Помощь
Дан треугольник
5
основание
h
a
8
высота
1
2
S = aha
a - основание
ha - высота
1см
1
S 5 8 20
2
В3
2 0
3
10 х
х

6.

Помощь
Дан треугольник
h
высота
5
a
основание
1
2
S = aha
a - основание
ha - высота
6
1см
Для тупоугольного треугольника высота может находиться во внешней области
треугольника.
1
S 5 6 15
2
В3
1 5
3
10 х
х

7.

Помощь
основание
Дан треугольник
высота
h
a
3
1
2
S = aha
a - основание
ha - высота
8
1см
Для тупоугольного треугольника высота может находиться во внешней области
треугольника.
1
S 3 8 12
2
В3
1 2
3
10 х
х

8.

Дан треугольник
2
3
S1
5
S2 3
S- ?
S3 2
5
1см
Помощь
Помощь
Я надеюсь,
что ты
помнишь:
Площадь
многих фигур
можно
найти,
разбивая их на части или, наоборот,
1
достраивая до более крупных, но
удобных для вычисления площадей
2
фигур.
S = ab
b
a
Достроим этот треугольник до
квадрата.
площадь
треугольника
a, b –Тогда
катеты
прямоугольного
можнотреугольника
найти следующим образом:
S = Sкв– S1 – S2 – S3
Sкв=a2
S = Sкв– S1 – S2 – S3
1
1
1
S 5 5 5 2 3 3 5 2
2
2
2
25 5 4,5 5 10,5
В3
1 0 , 5
3
10 х
х

9.

Дан треугольник
Не сложно заметить, что этот
треугольник равнобедренный.
Помощь
6
h
1
2
S = aha
a
a - основание
ha - высота
6
1см
Найдем основание по теореме Пифагора
Найдем высоту по теореме Пифагора
1
S 2 2 6 2 2 6 12
2
62 62 2 62 6 2
22 22 2 22 2 2
В3
1 2
3
10 х
х

10.

Дан треугольник
Можно решить задачу иначе. Эту
фигуру удобно достроить до
квадрата.
S3 S2
S1
S- ?
6
S4
Не сложно найти площади всех фигур:
квадрат со стороной 6,
два прямоугольных треугольника с
катетами 1 и 5,
квадратик со стороной 1.
S = Sкв– S1 – S2 – S3 – S4
6
1см
1
1
1
S 6 6 5 1 5 1 1 1 6 6 36 2,5 2,5 1
2
2
2
12
В3
1 2
3
10 х
х

11.

Дан треугольник
Эту фигуру удобно достроить до
большего треугольника.
высота
1
S1 8 7 28
2
1
S 2 8 4 16
2
основание
1см
S S1 S2 28 16 12
В3
1 2
3
10 х
х

12.

a
Дана трапеция
Помощь
h
b
4
высота
основание
1
2
S = (a+b)h
3
a, b – основания трапеции
h – высота
основание
9
1см
Площадь трапеции найти очень просто,
если знаешь формулу.
1
S (9 4) 3 19,5
2
В3
1 9 , 5
3
10 х
х

13.

a
Дана трапеция
9
высота
основание
6
основание
Помощь
h
b
1
2
S = (a+b)h
a, b – основания трапеции
h – высота
1
1см
1
S (9 1) 6 30
2
Площадь трапеции найти очень просто,
если знаешь формулу.
В3
3 0
3
10 х
х

14.

a
Дана трапеция
Помощь
h
8
основание
основание
2
высота
b
7
1см
1
S (7 2) 8 36
2
1
2
S = (a+b)h
a, b – основания трапеции
h – высота
Площадь трапеции найти очень просто,
если знаешь формулу.
В3
3 6
3
10 х
х

15.

a
Дана трапеция
6
высота
основание
h
b
5
основание
4
1см
1
S (6 4) 5 25
2
Помощь
1
2
S = (a+b)h
a, b – основания трапеции
h – высота
Площадь трапеции найти очень просто,
если знаешь формулу.
В3
2 5
3
10 х
х

16.

a
Дана трапеция
9
высота
основание
h
b
5
1
2
S = (a+b)h
a, b – основания трапеции
h – высота
основание
4
1см
Помощь
Площадь трапеции найти очень просто,
если знаешь формулу.
1
S (9 4) 5 32,5
2
В3
3 2 , 5
3
10 х
х

17.

a
Дана трапеция
Помощь
h
основание
высота
7
2
1см
основание
b
1
2
S = (a+b)h
4
a, b – основания трапеции
h – высота
Площадь трапеции найти очень просто,
если знаешь формулу.
1
S (2 4) 7 21
2
В3
2 1
3
10 х
х

18.

Выполним дополнительные построения так, чтобы получить фигуры,
Помощь
площади которых мы сможем вычислить.
a
7
S2
1 S3
S1
3
1
1
S1 3 7 h10,5
2
S2 1 7 7b
1
1
S 3 1 72 3,5
2
a, b – основания трапеции
S S1 h – Sвысота
2 S3 10,5 7 3,5
21
S = (a+b)h
Если
на экзамене
ты ответ,
разволновался
и
Ты получишь
тот же
но ты
забыл
формулу
длячто
вычисления
должен
понимать,
потратишь
площади
трапеции…
больше времени!
1см
А мне этот
способ не
понравился
!
В3
2 1
3
10 х
х

19.

высота
Дан четырехугольник
S1
высота
основание
S2
Многие задачи можно решить
разными способами.
Выполним дополнительные построения
так, чтобы получить фигуры, площади
которых мы сможем вычислить.
1
S1 9 4 18
2
1
S 2 9 3 13,5
2
1см
S S1 S2 31,5
А мне этот
способ не
понравился
!
В3
3 1 , 5
3
10 х
х

20.

Второй ученик увидит другую дорогу.
S1
S2
Конечно, он прав. Этот ученик знает
только как вычислить площадь
прямоугольного треугольника!
Помощь
S- ?
S4
S3
1
2
S = ab
b
a
a, b – катеты прямоугольного треугольника
А мне этот
способ не
понравился
!
1
S1 3 4 6
2
1
S 2 6 4 12
2
S S прям S1 S 2 S3 S 4
1см
S 9 7 6 12 9 4,5
В3
1
S3 3 6 9
2
1
S 4 3 3 4,5
2
3 1 , 5
3
10 х
х

21.

Дан четырехугольник
Третий ученик формул знает
значительно больше и он найдет
площадь быстрее!
Помощь
d1
d2
1
2
S = d1 d2
d1, d2 – взаимно перпендикулярные
диагонали четырехугольника
1см
Ученик, который
знает больше
формул решит
задачу быстрее
1
S3 7 9 31,5
2
В3
3 1 , 5
3
10 х
х

22.

высота
Дан параллелограмм
Первым решит задачу тот, кто знает
формулу для вычисления площади
параллелограмма.
Помощь
h
7
a
основание
1см
4
S = a ha
a – основание параллелограмма
ha – высота, проведенная к основанию
S 4 7 28
В3
2 8
3
10 х
х

23.

Дан четырехугольник
Некоторые фигуры необходимо
разбить на части или наоборот
достроить…
7
S1
1
S1 1 7 3,5
2
1
S2 2 7 7
2
1
S 3 1 4 2
2
1
S 4 1 5 2,5
2
S- ?
7
S4
S5 S3
S2
1см
S S квад S1 S 2 S3 S4 S5
S 5 1 1 1
S 7 7 3,5 7 2 2,5 1
В3
3 3
3
10 х
х

24.

Дан прямоугольник
Если нам сообщили, что данная
фигура прямоугольник, то найдем
его длину и ширину по теореме
Пифагора.
6
a 62 62 2 62 6 2
a
6
S- ?
b
b 32 32 2 32 3 2
1см
Sпрям 6 2 3 2 18 2 36
В3
3 6
3
10 х
х

25.

Дан прямоугольник
Если ты не знаешь теорему
Пифагора, то попробуй решить
задачу иначе...
Можно найти площадь каждого
треугольника, а затем сложить
результаты…
S1
S2
S3
1см

26.

Дан прямоугольник
Если ты не знаешь теорему
Пифагора, то попробуй решить
задачу иначе…
9
Можно достроить до большого
квадрата.
S1
S2
9
S- ?
Подумай, как найти площадь
прямоугольника теперь…
S4
S3
1см

27.

Формула Пика позволит вам с необычайной легкостью находить
площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге с
целочисленными вершинами.
Именно такие задания предлагают в В3.
Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна
Г
–1
B+
2
где
В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а
Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.
Формула Пика очень удобна когда сложно догадаться, как разбить
фигуру на удобные многоугольники или достроить…

28.

В + Г/2 − 1
В — есть количество целочисленных точек внутри многоугольника,
Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.
В=6
Г=4
4
6 1
2
В3
7
6 2 1
7
3
10 х
х

29.

В + Г/2 − 1
В — есть количество целочисленных точек внутри многоугольника,
Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.
В=4
Г=7
7
4 1
2
В3
4 3,5 1
6,5
6 , 5
3
10 х
х

30.

В + Г/2 − 1
В — есть количество целочисленных точек внутри многоугольника,
Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.
В = 10
Г = 12
12
10 1 10 6 1
2
15
В3
1 5
3
10 х
х