Векторы. Решение заданий №3 по ЕГЭ

1.

Решение заданий
№3
ВЕКТОРЫ
по материалам открытого банка 
задач ЕГЭ по математике 2016года
http://mathege.ru/or/ege/Main.html

2.

Прототип задания B3(№ 27717)
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и
16. Найдите длину вектора АО ВО .
Решение.
По правилу треугольника:
С
AO BO AO OD AD
Найдём длину AD из п/у ∆AOD
(т.к. ABCD – ромб, то АС ⊥ BD
и ВО = ОD = 6, АО = ОС = 8)
D
O
В
2
AD AD 2 AO 2 OD 2
АD 2 82 62 100
AD 100 10
А
Ответ: 10.

3.

Прототип задания B3 (27709)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 60 и 45. Найдите
длину разности векторов AB и AD .
Решение.
D
С
По правилу треугольника:
AB AD AB DA
А
60
45
DA AB DB
В
DB DB
AB 2 AD 2
DB 602 452 5625 75
Ответ: 75.

4.

Прототип задания B3 (27710)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 17 и 26. Найдите
скалярное произведение векторов AB и AD.
D
А
26
С
Решение.
17
Т.к. векторы AB ⊥AD , то
их скалярное произведение
В
AB AD 0
Ответ: 0.

5.

Прототип задания B3 (27711)
Две стороны прямоугольника равны 15 и 23. Диагонали
пересекаются в точке О. Найдите длину суммы векторов
и . AО ВО
Решение.
D
С
О
А
23
15
В
По правилу треугольника:
AО ВО AО ОD AD
АD 15
Ответ: 15.

6.

Прототип задания B3 (27712)
Две стороны прямоугольника равны 13 и 25.
Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину
разности векторов AО и ВО.
Решение.
D
С
О
А
25
13
В
По правилу треугольника:
AО ВО AО ОВ AВ
АВ 25
Ответ: 25.

7.

Прототип задания B3(№ 27713)
Диагонали ромба ABCD равны 54 и 72. Найдите длину
вектора АВ .
Решение.
С
B
O
Найдём длину АВ из п/у ∆AOB
(т.к. ABCD – ромб, то АС ⊥ BD
и ВО = ОD = 27, АО = ОС = 36)
AВ 2 AO 2 OВ 2
D
АВ AВ
AO 2 OВ 2
AВ 272 362 45
А
Ответ: 45.

8.

Прототип задания B3 (№ 27714)
Диагонали ромба ABCD равны 44 и 66. Найдите длину
вектора АВ AD .
Решение.
С
По правилу параллелограмма
АВ AD АС
AС 66
B
O
А
D
Ответ: 66.

9.

Прототип задания B3(27720)
Стороны правильного треугольника ABC равны 45 3.
Найдите длину вектора AВ АС.
М
С
AВ АС АМ 2 AО ,
где АО – высота, медиана,
биссектриса р/с ∆ АВС
О
а
Решение.
По правилу параллелограмма:
2
А
а
В
а 3
а
АО а
2
2
2
45 3 3 45 3
АО
67,5
2
2
АМ 135
Ответ: 135.

10.

Прототип задания B3(27722)
Стороны правильного треугольника ABC равны 18.
Найдите скалярное произведение векторов AВ и АС.
Решение.
С
По определению скалярного
произведения, имеем:
18
AВ АС AВ АС cos А,
60°
А
18
В
AВ АС 18 18 cos 60
1
AВ АС 324 162
2
Ответ: 162.

11.

Прототип задания B3 (№ 00000)
Дан вектор a.
Найдите: 1) координаты вектора; 2) длину вектора.
Решение.
1) координаты вектора a:
y
a x2 x1; y2 y1 ;
8
a
2
0 1
8–2
a 9 1; 8 2 ;
a 8; 6 .
2) длина вектора: a
или: a
9–1
9 x
x2 х1
2
x2 y2 ;
y2 у1 ;
a 82 62 100 10.
Ответ: 1) {8; 6}; 2) 10.
2

12.

Прототип задания B3 (№ 00000)
Даны векторы a и b .
Найдите: 1) скалярное произведение; 2) длины векторов.
Решение.
Координаты векторов a и b: a 2; 6 ; b 8; 4
1) скалярное произведение: a b x x y y
1
2
1
2
2) длины векторов: a x 2 y 2 ; b x 2 y 2
1
1
2
2
y
6
4
0
a
1) a b 2 8 6 4 40
b
2
2) a 22 62 40 ;
8 x
b 82 42 80 .
Ответ: 1) 40; 2) √40; √80.

13.

Прототип задания B3 (№ 00000)
Даны векторы a и b .
Найдите: 1) сумму координат вектора a b ;
2) найдите квадрат длины вектора a b .
Решение.
Координаты векторов a и b: a 2; 6 ; b 8; 4
1) сумма координат вектора a b: x1 x2 y1 y2
y
2
2) квадрат длины вектора: a b х 2 у 2
6
4
0
1) сумма векторов a b:
a
b
2
8 x
Ответ: 1) 20; 2) 200.
a 2; 6
b 8; 4
a b 10; 10
сумма координат вектора a b:
10 10 20
2
2) a b 102 102 200

14.

Прототип задания B3 (№ 27735)
Найдите угол между векторами a и b .
Ответ дайте в градусах.
Решение.
Координаты векторов a и b: a 2; 6 ; b 8; 4
Найдём угол между ними через скалярное
произведение:
y
6
4
0
cos φ
a
b
a b
a b
x1 x2 y1 y2
2
1
2
1
2
x y x2 y 2
2 8 6 4
2
40
40 80
2 2 6 2 82 4 2
40
40
1
2
8 x
⇒
3200 40 2
2
Ответ: 45.
⇒ φ 45

15.

Используемые материалы
http://mathege.ru/or/ege/Main.html − ????????? ????????? ????? ??????? ?? ?????????? 
2015 ????