Решение заданий по материалам ЕГЭ 2012 года. Математика (часть 3)

1. Решение заданий С2 по материалам ЕГЭ 2012 года (Часть 3)

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития»
г. Радужный
Решение заданий С2
по материалам
ЕГЭ 2012 года
(Часть 3)
Учитель математики Е.Ю. Семёнова

2.

Задача №1
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все рёбра которой
равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1.
Решение.
С1
Продлим плоскость ВСС1,
тогда искомый угол – AВ1D,
т. к. и C1В и B1D параллельны.
А1
В1
Найдем его из ∆AB1D по теореме
косинусов.
АВ1 = B1D = √2;
1
2 = AB2 + BD2 – 2·AB·BD ·cos120o
DA
С
DA2 = 12 + 12 – 2·1·1·(-1/2) = 3
А
1
2 + B D2 – AD2
AB
1
1
В
cos∠AB1D =
2·AB1·B1D
2+2–3
1
D cos∠AB1D = 2· 2 = 4
Ответ: 1/4 .

3.

Задача №2
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1,
стороны основания которой равны 5, а боковые рёбра равны 11,
найдите расстояние от точки С до прямой A1F1.
Решение.
С1
В1
Так как ABCDEF – правильный
шестиугольник, прямые AC и AF
А1 перпендикулярны. Поскольку
D1
E1
F1
прямые FA и F1A1 параллельны, то
CA⊥A1F1. Тогда по теореме о трёх
перпендикулярах CA1⊥A1F1, так что
11
длина отрезка CA1 равна искомому
С
В
расстоянию.
D
А
E
5
F
CA = 5√3; по условию AA1 = 11.
По теореме Пифагора для ∆CAA1:
CA1 2 = 75 + 121 = 196.
CA1 = 14
Ответ: 14.

4.

Задача №3
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и
плоскостью SAD.
Решение.
Так как ABCD – квадрат, то прямые
S
АВ ⊥ AD. Поэтому проекция AB на
плоскость (SAD) будет
перпендикулярна AD.
Значит, искомый угол – двугранный
угол при ребре основания AD.
D
С SM – высота боковой грани SAD,
SM = √3/2, MO ∥ AB; MO = ½AB = 0,5.
O
N
M
А
В
∠SMO – искомый угол, косинус
которого найдем из п/у ∆SMO
MO
0,5
1
cos∠SMO =
=
=
SM √3/2 √3
Ответ: √3/3

5.

Задача №4
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой AC1 и
плоскостью ВСC1.
Решение.
Проекцией прямой АС1 на
D1
С1 данную плоскость является
прямая ВС1, так как AB⊥(ВCС1),
А1
В1
а значит AB⊥ВС1;
т.е. ∆АВC1 – п/у.
Значит, искомый угол – ∠AС1В
Пусть АВ = а, тогда ВС1 = а√2
AB
a
1
С tg∠AC1B = BC1 = a√2 = √2
D
А
В
∠AC1B = arctg√2/2
Ответ: arctg√2/2

6.

Задача №5
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1,
стороны оснований которой равны 3, а боковые рёбра 4,
найдите угол между прямой АВ1 и плоскостью BDD1.
D1
С1
В1
А1
4
D
А
3
O
С
Решение.
Так как О середина отрезка BD,
то АО (BDD1). AB1О – искомый.
АО = 3√2 ; АВ1 = 5 (в п/у АВВ1).
2
sin AB1О = AO : AB1 = 3√2
10
AB1О = arcsin 3√2
10
В
Ответ: arcsin 3√2 .
10

7.

Задача №6
В правильной треугольной пирамиде SABC известны ребра:
АВ = 24√3, SC = 25. Найдите угол, образованный плоскостью
основания и прямой, проходящей через середины ребер АS и BC.
Решение.
S
Прямая AN является проекцией
прямой AS на плоскость основания.
Поэтому проекция точки М – точка
Н лежит на отрезке AN. Значит угол
M
25
MNH – искомый.
МН – средняя линия SAO,
AB 24√3
тогда NH = АО = R =
=
= 24.
С
А
√3
√3
H
O
2 – AO2 = ½√252 – 242
MH
=
½SO
=
½√SA
N
24√3
MH = 3,5; из п/у АМН:
В
Ответ: arctg 7/48.
tg MNH = MH : NH = 3,5 : 24 = 7/48.
MNH = arctg 7/48.

8.

Задача №7
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны
основания равны 1, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1
отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 2 : 3. Найдите угол между
плоскостями АВС и BED1.
Решение.
D1
С1 Плоскости BED1 и АВС
пересекаются по прямой PB.
1
Линейным углом двугранного
А1
В1
угла, образованного этими
5 плоскостями является угол АМЕ.
3
Стороны данного угла – высоты
ВЕР и AВР.
Значит, угол АMЕ – искомый.
E
D
С РDD ~ РAE (по углам) ⟹ АР = 2,
1
2
тогда РВ = √5,
В
P А M 1
АМ = (АР·АВ)/ РВ = 2/√5.
В п/у AМЕ tg АMЕ = AE/AM
tg АMЕ = √5 ⟹ АMЕ = arctg √5.

9.

Задача №8
Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между плоскостями
АВ1С1 и А1В1С.
Решение.
Плоскости АВ1С1 и А1В1С
пересекаются по прямой B1D.
С1
В1
Линейным углом двугранного
угла, образованного этими
D1
А1
плоскостями является угол
А1ОС1.Стороны данного угла –
высоты равных DС1B1 и DA1В1.
O
Значит, угол A1OС1 – искомый.
Пусть АВ = а, тогда B1D = a√3,
а
D = DC1 = A1C1 = a√2, OC1 = OA1 =
С А= 1(А
В
1B1 · DA1)/ DВ1 = a√6/3.
В р/б A1OC1 по теор. косинусов
cos A1OC1 = (A1О2 + C1О2 –А1C12) /
а
А
D
/ (2А1О · C1О) = − 0,5 ⟹
A1OC1 = 120º, значит, угол между плоскостями смежный с данным
углом. Искомый угол равен 180º – 120º = 60º.

10.

Задача №9
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1, является
равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС = 20, АС = 32.
Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р принадлежит ребру ВВ1, причем
ВР : РВ1 = 1 : 3. Найдите тангенс угла между плоскостями А1В1С1 и АСР.
В1
32
А1
Р
В
20
Н
А
16
Решение.
С1 Поскольку (АВС)∥(А1В1С1), то углом
между плоскостями А1В1С1 и АСР можно
считать угол между (АВС) и (АСР).
Т.к. ВН АС (высота р/б ∆), то по
24 теореме о трех перпендикулярах
РН АС.
Тогда ∠РНВ – линейный угол
двугранного угла РАСВ. Найдем его из
С п/у ∆РНВ.
16
РВ = ¼ ВВ1 = ¼ · 24 = 6, ВН2 = АВ2 – АН2
ВН2 = 202 – 162 = 144, ВН = 12;
tg∠РНВ = PB/HB = 6/12 = 0,5.
Ответ: 1/2 .

11.

Задача №10
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1,
все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между
плоскостями АВС и BD1F1.
E1
D1
P
F1
C1
A1
B1
1
D
E
F
C
A
1
B
Решение.
Поскольку (АВС)∥(А1В1С1), то углом
между плоскостями А1В1С1 и BD1F1
можно считать угол между (А1В1С1) и
(BD1F1).
Т.к. В1E1 F1D1 (в правильном
шестиугольнике), то по теореме о
трех перпендикулярах ВР F1D1.
Тогда ∠BРВ1 – линейный угол
двугранного угла BF1D1В1.
PB1 – высота р/с ∆В1F1D1, сторона
которого равна √3, значит PB1 = 1,5.
tg∠BРВ1 = BB1/PB1 = 1/1,5 = 2/3.
Ответ: 2/3.

12.

Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания
АВС. Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через
середины ребер АВ, АС и АD, если АD = 2 5, АВ = АС = 10, ВС = 4 5.
D
К
Н
A
F
М
Задача №10
Решение. (1 способ)
Искомое расстояние равно высоте АН, опущенной в
пирамиде АКМN из вершины А на основание КМN.
Найдем объем этой пирамиды
V = 1/3 · SAMN · AK
V = 1/3 · 1/2 · AF · MN = 10 5/3, где
MN = ½ BC = 2 5, AF2 = AM2 – MF2
C AF2 = 25 – 5 = 20, АК = ½ AD = 5
N
С другой стороны,
V = 1/3 · SKMN · AH, откуда найдем
высоту АН:
Р
АН = 3V/SKMN где SКMN = ½ MN · KF,
KF2 = KM2 – MF2 =
= AK2 + AM2 – MF2 = 5 + 25 – 5 = 25
B
KF = 5.
Итак, АН = 3·(10 5/3)/ 5 5 = 2.

13.

Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания
АВС. Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через
середины ребер АВ, АС и АD, если АD = 2 5, АВ = АС = 10, ВС = 4 5.
D
L
К
Н
A
C
N
F
Р
Решение. (2 способ)
Искомое расстояние AH равно
половине расстояния от
вершины А до плоскости BCD,
т.к. (KMN)∥(BCD) и
KF – средняя линия ∆ ADP.
AL = (AD · AP)/ DP, где
AP2 = AB2 – BP2 = 100 – 20 = 80
DP2 = AD2 + AP2 = 20 + 80 = 100
DP = 10; AL = (2 5 · 4 5)/10 = 4
Итак, АН = ½ AL = 2.
М
B
Задача №10
Ответ: 2.

14.

Задача №11
В пирамиде DABC известны длины ребер: АВ = АС = DВ = DС = 10,
BC = АD = 12. Найдите расстояние между прямыми DA и ВС.
Решение.
Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти, как длину
их общего перпендикуляра. Так как АВ = АС, то ∆ АВС – р/б и медиана АN
одновременно является и высотой.
Аналогично, и с ∆ DBC: DN является в нем
D
медианой и высотой. А потому ВС⊥АN и
ВС⊥DN, а значит, ВС⊥(ADN),
6
следовательно, и любой прямой в этой
плоскости.
10
M
Таким образом, MN⊥ВС.
Так как ∆ АВС = ∆ DBC, то АN = DN = 8, а
6
поэтому MN – медиана и высота в р/б
∆ АDN, а потому MN⊥AD.
С
А Значит, MN – общий перпендикуляр к
скрещивающимся прямым.
6
Используя теорему Пифагора, получаем,
N
10
что MN2 = AN2 – AM2 = 64 – 36 = 28,
6
MN = 2 7
В

15.

В основании четырехугольной пирамиды SАВСD лежит квадрат АВСD со
стороной 3 10/5. Длины всех боковых ребер 3, точка М – середина ребра
AS. Через прямую ВМ параллельно диагонали АС проведена плоскость.
Определите величину угла (в градусах) между этой плоскостью и SAC.
S
N
P
М
3
С
B
О
A
3√10
5
Задача №12
D
Решение.
Поскольку плоскость проведена через
прямую ВМ параллельно диагонали
АС, то ей принадлежит и прямая,
параллельная AC и проходящая через
точку M (назовём её MN).
Таким образом, нам нужно найти угол
между плоскостями SAC и BMN,
пересекающимися по прямой MN.
По условию, пирамида SABCD –
правильная, а значит, высота SO
делит диагонали основания пополам.
Кроме того, точка N делит ребро SC
пополам, ⟹ BM = BN, а точка P делит
пополам отрезки MN и SO.

16.

В основании четырехугольной пирамиды SАВСD лежит квадрат АВСD со
стороной 3 10/5. Длины всех боковых ребер 3, точка М – середина ребра
AS. Через прямую ВМ параллельно диагонали АС проведена плоскость.
Определите величину угла (в градусах) между этой плоскостью и SAC.
S
N
P
М
3
С
B
О
A
3√10
5
Задача №12
D
Решение.
Отрезок BP⊥MN (BP ∈ (BMN)),
отрезок OP⊥MN (OP ∈ (SAC)).
Поэтому угол между плоскостями
– это BPO, который мы найдём
из п/у ∆ BPO.
BO = AO = 3 10/5 · 2/2 = 3 5/5.
PO = ½ SO (в п/у ∆ ASO)
SO2 = AS2 – AO2 = 9 – 9/5 = 36/5,
PO = 3 5/5.
То есть, BO = PO, а значит, ∆ BPO не
только п/у, но и р/б,
⟹ BPO = 45º.
Ответ: 45º.

17.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC
проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S.
Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды
равно 7, а сторона основания равна 8.
S
7
A
C
O
M
В
Задача №13
4
N
4
Решение.
Искомое сечение – р/б ∆MSN,
SO – его высота, проведенная к
основанию MN.
MN – средняя линия ∆ABC ⟹
MN = 4.
Рассмотрим р/б ∆BSA.
В нем SM2 = SA2 – AM2 = 49 – 16 = 33
В р/б ∆ МSN SO – также медиана.
Значит, MO = 2.
SO = √SM2 – МO2 = √33 – 22 = √29
S∆ МSN = ½ MN · SO
S∆ МSN = ½ · 4 · √29 = 2√29.
Ответ: 2√29.

18.

Задача №14
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны
ребра: AB = 5 , AD = 12 , CC1 = 3.
Найдите угол между плоскостями (BDD1) и (AD1B1).
D1 Решение.
С1
Н
А1
B1
3
С
М
B
5
А
Плоскости (BDD1) и (AD1B1)
имеют общую прямую D1B1 .
Проведем AH⊥D1B1 и AM⊥BD.
Прямая HM (проекция прямой AH
на плоскость (BDD1).
Значит, D1B1⊥HM (по теореме,
D обратной теореме о трех
перпендикулярах).
12
⇒ ∠AHM − линейный угол
двугранного угла,
образованного плоскостями
(BDD1) и (AD1B1).

19.

Задача №14
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны
ребра: AB = 5 , AD = 12 , CC1 = 3.
Найдите угол между плоскостями (BDD1) и (AD1B1).
D1 Решение.
С1
∆ BAD – п/у. Площадь ∆BAD равна:
Н
А1
B1
3
С
М
B
5
А
S∆BAD = ½ AD⋅ AB.
С другой стороны,
S∆BAD = ½ AМ⋅ BD.
Отсюда, АМ = (AD⋅ AB)/BD, т.е.
BD = √52 + 122 = 13;
D АМ = (12⋅ 5)/13 = 60/13.
∆ AМН – п/у, ⇒
12
tg∠AHM = AM/HM = 20/13.
Откуда ∠AHM = arctg 20/13.
Ответ: arctg 20/13.

20.

Для самостоятельного решения
1.
2.
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1, является
равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС = 10, АС = 16.
Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р – середина ребра ВВ1. Найдите
тангенс угла между плоскостями А1В1С1 и АСР.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости DEA1.