Метод многих масштабов. (Лекция 10)

1. Введение в асимптотические методы. Лекция 10

Метод многих масштабов

2. 1. Характеризация метода

Метод многих масштабов (МММ) – общий метод, приложимый к
широкому классу задач, характеризуемых наличием 2-х
физических процессов, которые
1) Обладают существенно различными характерными
пространственными (временными) масштабами
2) Действуют одновременно
В методе сращивания асимптотических разложений мы также
имели дело с 2-мя физическими процессами различных
пространственных масштабов, действующих, однако, раздельно
– каждый в своем пространственном (временном) интервале.

3. 2. Осциллятор Ван-дер-Поля: трудности

x x x 2 1 x 0
x(0) 1, x(0) 0
t 0
Регулярное разложение:
x(t ; )
1
3
cos t t cos t sin t sin 3t 3sin t
32
8
Резонансный
член
несправедливо при t 1
Трудность связана с тем, что слабое затухание изменяет амплитуду
осцилляций на временах 1 за счет медленного накопления
малых эффектов. Имеем 2 физических процесса
1) Базовые осцилляции с временным масштабом 1 из-за инерции
2) Изменение амплитуды (и может быть фазы) с временным
масштабом 1 из-за “трения”

4. 3. Осциллятор Ван-дер-Поля: основная идея

Введение 2-х временных переменных вместо одной
t
T t
быстрое время осцилляций
медленное время изменения амплитуды
x t; X , T ;
Вместо ОДУ на полуоси получим уравнение в частных производных в
квадранте T 0, 0
Целью является получение разложения, равномерно пригодного по Tи .
Это потребует ограниченности членов асимптотического разложения.
Если удастся построить такое разложение, то, будучи равномерно
пригодным во всем квадранте, оно будет пригодно и вдоль линии T ,
дающей исходную связь между быстрой и медленной переменной.
d
,
dt
T
2
d2
2
2
2 2
2 2
2
dt
T
T

5. 4. Осциллятор Ван-дер-Поля: первый шаг

x x x 2 1 x 0
x(0) 1, x(0) 0
t 0
X X 2 X T X X 2 1 2 X TT X T X 2 1 0
X (0,0) X T (0,0) 0
X (0,0) 1,
X
X 0 , T X1 , T
0 : X 0 X 0 0,
X 0 (0,0) 1,
X 0 R(T )cos (T )
X 0 (0,0) 0
R(0) 1, (0) 0
R(T ), (T ) на данном шаге остаются неопределенными

6. 5. Осциллятор Ван-дер-Поля: второй шаг

1 : X 1 X 1 2 X 0 T X 0 X 02 1
2 R T cos 2 RT 14 R 3 R sin 14 R3 sin 3
Для равномерной пригодности разложения нужно за счет выбора R,
удалить из правой части резонансные члены
T 0, (0) 0 0
dR 1 3
2
4 R R 0, R(0) 1 R 2 1 3e T
dT
1 3
X 1 R sin 3 S (T ) sin (T ) Найдутся при анализе 2 -члена
32
Характерная особенность: главный член разложения находится на втором
шаге метода из условия разрешимости задачи (существование ограниченного
при решения задачи для X 1 )

7. 6. Осциллятор Ван-дер-Поля: график

2
0.1
A(t )
1
x
0
-1
A(t )
-2
0
20
40
t

8. 7. Введение большего числа масштабов

Может случиться так, что в следующем порядке нет достаточного
количества свободных функций, чтобы удалить все резонансные члены из
правых частей. Эта трудность может быть преодолена введением еще
2
одного медленного времени T2 t
x 2 x x 0
t 0
x(0) 1, x(0) 0
x e t cos t 12 2t
Если интересны времена t
Если интересны времена t
Если интересны времена t
x e t cos
e T1 cos 12 T2
1 2 t
t , Tk k t
x cos
1, достаточно взять 1 масштаб
2, нужно брать 2 масштаба ,T1
x e T cos
3, нужно брать 3 масштаба , T1 , T2
x e T cos 12 T2
1
1

9. 8. Неустойчивость уравнения Матье: постановка задачи

Уравнение Матье описывает колебания математического маятника при
слабом периодическом изменении его длины. В том случае когда частота
с которой изменяется длина близка к частоте собственных колебаний
маятника, амплитуда колебаний будет неограниченно возрастать. Этот
эффект называется параметрическим возбуждением.
x 2 cos t x 0
?
В каком интервале 14 , 14 должна находиться величина 2
с тем, чтобы амплитуда колебаний неограниченно возрастала?
k1, 2k2,
x
1
x k1 cos t 2k2
4
x

10. 9. Неустойчивость уравнения Матье: регулярное разложение

x
1
x k1 cos t 2k2
4
x
x x0 x1
x0 14 x0 0 x0 cos 12 t
x1 14 x1 k1 cos 12 t cos t cos 12 t 12 cos 23 t k1 12 cos 12 t
несправедливо при t 1
t
T t
из-за наличия резонансных членов
быстрое время осцилляций
медленное время изменения амплитуды
x t; X , T ;

11. 10. Неустойчивость уравнения Матье: двухмасштабное разложение

x(t; ) X T , ; X 0 T , X1 T ,
x
1
x k1 cos t 2k2
4
X 0,
X 1,
1
X0 0
4
x
X
,
t, T t
1
X 2 X T k1 cos X O 2
4
X 0 A(T )sin 12 B(T ) cos 12
1
X 1 A cos 12 B sin 12 k1 A sin 12 B cos 12
4
12 A sin 23 sin 12 12 B cos 23 cos 12
12 k1 A
A 0
Исключаем резонансные члены
1
0 B
B 2 k1
A
t
t
2
1
C
e
C
e
Собственные числа 4 k1
Решение
B
Если
k1 1/ 2 решение экспоненциально растет по T
O 2
1
2

12. 11. Тейлоровская дисперсия

Рассматривается эволюция подкрашенного пятна в ламинарном потоке
жидкости внутри длинной трубки.
Пятно 1) переноситься вдоль по потоку со средней скоростью движения
жидкости и 2) размываться.
При малых коэффициентах молекулярной диффузии основной механизм
размытия пятна обусловлен тем, что краска в ядре потока и в пристенных
слоях переноситься с разными скоростями.
Роль слабого диффузионного механизма сводится к выравниванию
концентрации в поперечном сечении трубки.
В результате на больших временах наблюдается одномерный
диффузионный режим его размытия с эффективным коэффициентом
диффузии, зависящим как от коэффициента молекулярной диффузии, так и
от средней скорости потока.

13. 12. Тейлоровская дисперсия: постановка задачи

2c 1 c
c
R 2 r 2 c
2V
d 2
r ,
2
t
R
x
r r r
x
c
c
lim r 0,
0
r 0 r
r r R
Безразмерные переменные
x Vt
td
r
, 2,
L
L
R
2
c
1 c
2 c
2 c
Pe 1-2
,
2
2
R/ L
Pe VRd 1
0 r R, x
0 1,

14. 13. Тейлоровская дисперсия: решение

2
c
1 c
2 c
2 c
Pe 1-2
,
2
0 1,
2
c c0 , , c1 , ,
0 :
0 1:
: 0 1:
1
1 c0
c
0, 0
0
1 c1
c
f ( ), 1
c0
0
c0 c0 ,
0
1
c
1
f ( ; , ) Pe 1-2 2
0
1
c0
1
Задача имеет решение
f ( ) d 0
0
Условие разрешимости выполнено,
c1 , ,
Pe c0
2 2 4 C1 ,
8

15. 14. Тейлоровская дисперсия: решение

:
2
0 1:
1 c2
c
f ( ), 2
0
c2
0
1
c1 c0 2c0
f ( ; , ) Pe 1-2
2
2
Условие разрешимости
c0 2c0 Pe2 2c0
2
1 2 2 4 2 2 rdr 0
2
4 0
1
c0
2c0
Deff
,
2
Deff
c0
c0
2c0
V
d eff 2 ,
t
x
x
Pe2
1
48
d eff
V 2 R2
d
48d

16. 15. Упражнение к лекции 10

1.
Получить АР, пригодное на временах t 1
x x3 x 0,
2.
x(0) 1, x(0) 0
1
Получить АР, пригодное на временах t
x yx x y 2
y 1 x y y 2
x(0) 1,
x(0) y (0) 0